2017-2018高一数学下学期期末试卷（含答案四川遂宁市）

遂宁市高中2020级第二学期期末教学水平监测
数 学 试 题
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。总分150分。考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，满分60分）
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。并检查条形码粘贴是否正确。
2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
3．考试结束后，将答题卡收回。

一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）
1.   的值是
A．            B．           C．           D．
2.  已知 ，则下列不等式正确的是
A．      B．       C．      D． 
3.  已知等比数列 中， ， ，则
A．4            B．－4         C．           D．16
4.  若向量 ， ， ，则 等于
A.                      B.      
C.                        D．
5.  在 中， ＝60°， ， ，则 等于
A．45°或135°                  B．135°         
C．45°                        D．30°
6.  在 中，已知 ，那么 一定是
A. 等腰三角形                  B. 直角三角形        
C. 等腰直角三角形              D．正三角形
7.  不等式 对任何实数 恒成立，则 的取值范围是
A.  (﹣3，0 )                   B.  (﹣3，0]      
C.  [﹣3，0 )                   D.  [﹣3，0]
8. 《莱茵德纸草书》(Rhind Papyrus)是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100磅面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的两份之和的 是较小的三份之和，则最小的1份为
A.  磅        B.  磅        C.  磅        D.  磅
9.  如图，为测得河对岸塔 的高，先在河岸上选一点 ，使 在塔底 的正东方向上，此时测得点 的仰角为 再由点 沿北偏东 方向走 到位置 ，测得 ，则塔 的高是
A.  10    
B.  102  
C.  103  
D.  10 

10. 已知两个等差数列 和 的前 项和分别为 和 ，且 ，则使得 为质数的正整数 的个数是
A．2            B．3           C．4           D．5
11. 如图，菱形 的边长为 为 中点，若 为菱形内任意一点（含边界），则 的最大值为

A.             B.           C.             D.  
12．对于数列 ，定义 为数列 的“诚信”值，已知某数列 的“诚信”值 ,记数列 的前 项和为 ，若 对任意的 恒成立，则实数 的取值范围为
A.                        B.     
C.                        D.   

第Ⅱ卷（非选择题，满分90分）
注意事项：
1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。
2．试卷中横线及框内注有“▲”的地方，是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答。

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 不等式 的解集为  ▲   .
14. 化简   ▲   .
15. 已知 ，并且 ， ， 成等差数列，则 的最小值为  ▲   .
16. 已知函数 的定义域为 ,若对于  、 、 分别为某个三角形的边长，则称 为“三角形函数”。给出下列四个函数：
① ； ② ；
③ ；④ .
其中为“三角形函数”的数是  ▲   .
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（本题满分10分）
已知 , 是互相垂直的两个单位向量， ， .
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）当 为何值时， 与 共线.
▲

18．（本题满分12分）
已知 是等比数列， ，且 ， ， 成等差数列.
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）设 ，求数列 的前n项和 .
▲

19．（本题满分12分）
已知函数 .
（Ⅰ）求 的单调递增区间；
（Ⅱ）若 ， ，求 的值.
▲

20．（本题满分12分）
建设生态文明是关系人民福祉、关乎民族未来的大计，是实现中国梦的重要内容.习近平指出：“绿水青山就是金山银山”。某乡镇决定开垦荒地打造生态水果园区，其调研小组研究发现：一棵水果树的产量 （单位：千克）与肥料费用 （单位：元）满足如下关系： 。此外，还需要投入其它成本（如施肥的人工费等） 元.已知这种水果的市场售价为16元/千克，且市场需求始终供不应求。记该棵水果树获得的利润为 （单位：元）。
（Ⅰ）求 的函数关系式；
（Ⅱ）当投入的肥料费用为多少时，该水果树获得的利润最大？最大利润是多少？
▲

21．（本题满分12分）
如图：在 中， ，点 在线段 上，且 .
（Ⅰ）若 ， ．求 的长；
（Ⅱ）若 ，求△DBC的面积最大值．

▲

22．（本题满分12分）
已知数列 的前 项和为 且   .
（Ⅰ）求证 为等比数列，并求出数列 的通项公式；
（Ⅱ）设数列 的前 项和为 ，是否存在正整数 ，对任意 ，不等式 恒成立？若存在，求出 的最小值，若不存在，请说明理由.
▲
遂宁市高中2020级第二学期期末教学水平监测
数学试题参考答案及评分意见

一、选择题（5′×12=60′）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C B A D C A B D B A D C
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.            14.1            15.9           16. ①④
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17．（10分）
解：（1）因为 , 是互相垂直的单位向量，所以  ,
 ;                                           …………2分
   ∴    …5分
                      
（2） ∵ 与 共线，
∴ ，又 不共线；                        …………8分
∴                                      …………10分
【解法二】
解：设 与 的夹角为 ，则由 ，  是互相垂直的单位向量，不妨设 , 分别为平面直角坐标系中 轴、 轴方向上的单位向量，则   …………1分
（1）
      ∴                                 …………5分
（2） ，
 
∵ 与 共线，∴               …………8分
∴                                                   …………10分
18．（12分）
（1）设等比数列 的公比为 ，由 ， ， 成等差数列
∴ ，                                      …………2分
即   ∴                       
∴ .                                         …………6分
（2）由
                  
                 …………8分
     两式作差：
                        …………10分
∴                                       …………12分

19．（12分）
解:（1）  
                                         ……………3分
令 ，           ……………5分
所以， 的单调递增区间为 ，  .     ……………6分
（2）  ，
∵ ∴ ∴        ……………9分
∴                               ……………10分
  
   .       ……………12分
20．（12分）
（1）         ……………6分
（2）当                          ……………8分
当   
当且仅当 时，即 时等号成立               ……………11分
答：当投入的肥料费用为30元时， 种植该果树获得的最大利润是430元. …12分
21．（12分）
∵               ……………1分
 (1)法一、在 中,设 , 由余弦定理可得：  ①
 ……………2分
在 和 中，由余弦定理可得：
 
又因为
∴ 得  ②           ……………4分
由①②得   ∴ .                              ……………6分
 法二、向量法： 得    ……………3分
 得   ……5分
∴                                   ……………6分
（2）              ……………7分
由
∴  （当且仅当 取等号）                          ……………10分
由 ，可得
∴ 的面积最大值为 .                              ……………12分
22．（12分）
解析：（1)证明：当 时，                  ……………1分
当 时，             ……………2分
    两式作差：  
得  ，               ……………4分
 以1为首项，公比为2的等比数列;   ……………5分
（2） 代入 得              ……………6分
       由
       ∴ 为递增数列，                        ……………7分
   ∴
           ………9分
        当 时，  ；
        当 时， ；
当 时，
 ；    ∵               ……………11分
∴存在正整数 对任意 ，不等式 恒成立，
正整数 的最小值为1                                       ……………12分