2016年新余市高一数学下学期期末试卷（理科含解析）

2015-2016学年江西省新余市高一（下）期末数学试卷（理科）
　
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．函数 的定义域是（　　）
A．  B．
C．  D．
2．某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输入为15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是（　　）
A．35 B．﹣3 C．3 D．﹣0.5
3．如图所给的程序运行结果为S=35，那么判断框中应填入的关于k的条件是（　　）
 
A．k=7 B．k≤6 C．k＜6 D．k＞6
4．已知ω＞0，函数 在 上单调递减．则ω的取值范围是（　　）
A．  B．  C．  D．（0，2]
5．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，|φ|＜ ）其中的图象如图所示，为了得到g（x）=cos（2x﹣ ）的图象，只需将f（x）的图象（　　）
 
A．向左平移 个单位 B．向右平移 个单位
C．向左平移 个单位 D．向右平移 个单位
6．采用系统抽样方法从1000人中抽取50人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，1000，适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8．抽到的50人中，编号落入区间[1，400]的人做问卷A，编号落入区间[401，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C．则抽到的人中，做问卷C的人数为（　　）
A．12 B．13 C．14 D．15
7．若tanα=2tan ，则 =（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．某教育机构随机某校20个班级，调查各班关注汉字听写大赛的学生人数，根据所得数据的茎叶图，以组距为5将数据分组成[0，5），[5，10），[10，15），[15，20），[20，25），[25，30），[30，35），[35，40]时，所作的频率分布直方图如图所示，则原始茎叶图可能是（　　）
 
A．  B．  C．  D．
9．口袋内有一些大小、形状完全相同的红球、黄球和白球，从中任意摸出一球，摸出的球是红球或黄球的概率为0.4，摸出的球是红球或白球的概率为0.9，那么摸出的球是黄球或白球的概率为（　　）
A．0.5 B．0.7 C．0.3 D．0.6
10．三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC且PA=2，△ABC是边长为 的等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为（　　）
A．  B．4π C．8π D．20π
11．已知函数f（x）=cos（ x），a为抛掷一颗骰子所得的点数，则函数f（x）在[0，4]上零点的个数小于5或大于6的概率为（　　）
A．  B．  C．  D．
12．P是△ABC内一点，△ACP，△BCP的面积分别记为S1，S2，已知 ，其中λ∈（0，1），则 =（　　）
A．  B．  C．  D．
　
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。请将正确答案填在答题卷相应位置
13．已知向量 =（2，3）， =（﹣1，2），若m + 与 ﹣2 平行，则m等于　　　　　　．
14．如果f（tanx）=sin2x﹣5sinxcosx，那么f（2）=　　　　　　．
15．将一根长为10cm的细铁丝用剪刀剪成两段，然后再将每一段剪成等长的两段，并用这四段铁丝围成一个矩形，则所围成矩形的面积大于6cm2的概率为　　　　　　．
16．已知 为平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 满足 （λ∈R），则 的最小值为　　　　　　．
　
三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知| |=4，| |=8， 与 的夹角是120°，
（1）求| ﹣2 |；
（2）若（ +2 ）⊥（k ﹣ ），求实数k的值．
18．某电子原件生产厂生产的10件产品中，有8件一级品，2件二级品，一级品和二级品在外观上没有区别．从这10件产品中任意抽检2件，计算：
（1）2件都是一级品的概率；
（2）至少有一件二级品的概率．
19．某学校为倡导全体学生为特困学生捐款，举行“一元钱，一片心，诚信用水”活动，学生在购水处每领取一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱．现统计了连续5天的售出和收益情况，如表：
售出水量x（单位：箱） 7 6 6 5 6
收益y（单位：元） 165 142 148 125 150
（Ⅰ）求y关于x的线性回归方程；
（Ⅱ）预测售出8箱水的收益是多少元？
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：  = ，  = ﹣  ，
参考数据：7×165+6×142+6×148+5×125+6×150=4420．
20．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，|φ|＜ ）的部分图象如图所示．
（1）求f（x）＞ 在x∈[0，π]上的解集；
（2）设g（x）=2 cos2x+f（x），g（α）= + ，α∈（ ， ），求sin2α的值．
 
21．已知A，B分别是直线y=x和y=﹣x上的两个动点，线段AB的长为2 ，D是AB的中点．
（1）求动点D的轨迹C的方程；
（2）若过点（1，0）的直线l与曲线C交于不同两点P、Q，
①当|PQ|=3时，求直线l的方程；
②试问在x轴上是否存在点E（m，0），使 • 恒为定值？若存在，求出E点的坐标及定值；若不存在，请说明理由．
22．已知定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数f（x）满足f（2）=0，且在（﹣∞，0）上是增函数；又定义行列式 ； 函数 （其中 ）．
（1）若函数g（θ）的最大值为4，求m的值．
（2）若记集合M={m|恒有g（θ）＞0}，N={m|恒有f[g（θ）]＜0}，求M∩N．
　
 

2015-2016学年江西省新余市高一（下）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
　
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．函数 的定义域是（　　）
A．  B．
C．  D．
【考点】函数的定义域及其求法．
【分析】直接求无理式的范围，解三角不等式即可．
【解答】解：由2cosx+1≥0得 ，∴ ，k∈Z．
故选D．
　
2．某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输入为15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是（　　）
A．35 B．﹣3 C．3 D．﹣0.5
【考点】众数、中位数、平均数．
【分析】在输入的过程中错将其中一个数据105输入为15少输入90，在计算过程中共有30个数，所以少输入的90对于每一个数来说少3，求出的平均数与实际平均数的差可以求出．
【解答】解：∵在输入的过程中错将其中一个数据105输入为15
少输入90，
而 =3
∴平均数少3，
∴求出的平均数减去实际的平均数等于﹣3．
故选B．
　
3．如图所给的程序运行结果为S=35，那么判断框中应填入的关于k的条件是（　　）
 
A．k=7 B．k≤6 C．k＜6 D．k＞6
【考点】程序框图．
【分析】根据程序，依次进行运行得到当S=35时，满足的条件，即可得到结论．
【解答】解：当k=10时，S=1+10=11，k=9，
当k=9时，S=11+9=20，k=8，
当k=8时，S=20+8=28，k=7，
当k=7时，S=28+7=35，k=6，
此时不满足条件输出，
∴判断框中应填入的关于k的条件是k＞6，
故选：D．
　
4．已知ω＞0，函数 在 上单调递减．则ω的取值范围是（　　）
A．  B．  C．  D．（0，2]
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【分析】法一：通过特殊值ω=2、ω=1，验证三角函数的角的范围，排除选项，得到结果．
法二：可以通过角的范围，直接推导ω的范围即可．
【解答】解：法一：令： 不合题意 排除（D）
 合题意 排除（B）（C）
法二： ，
得： ．
故选A．
　
5．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，|φ|＜ ）其中的图象如图所示，为了得到g（x）=cos（2x﹣ ）的图象，只需将f（x）的图象（　　）
 
A．向左平移 个单位 B．向右平移 个单位
C．向左平移 个单位 D．向右平移 个单位
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】根据图象求出φ的值，再由“左加右减”法则判断出函数图象平移的方向和单位长度．
【解答】解：∵由函数图象可得：A的值为1，周期T=4×（ ﹣ ）=π，
∴ω= = =2，
又函数的图象的第二个点是（ ，0），
∴2× +φ=π，
于是φ= ，则f（x）=sin（2x+ ）=sin[2（x+ ）]，
∵g（x）=cos（2x﹣ ）=sin2x，
∴为了得到g（x）=cos（2x﹣ ）的图象，只需将f（x）的图象向右平移 个单位即可．
故选：D．
　
6．采用系统抽样方法从1000人中抽取50人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，1000，适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8．抽到的50人中，编号落入区间[1，400]的人做问卷A，编号落入区间[401，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C．则抽到的人中，做问卷C的人数为（　　）
A．12 B．13 C．14 D．15
【考点】系统抽样方法．
【分析】由题意可得抽到的号码构成以8为首项、以20为公差的等差数列，求得此等差数列的通项公式为an，由751≤an≤1000 求得正整数n的个数，即为所求．
【解答】解：由1000÷50=20，故由题意可得抽到的号码构成以8为首项、以20为公差的等差数列，
且此等差数列的通项公式为an=8+（n﹣1）20=20n﹣12．
由 751≤20n﹣12≤1000 解得 38.2≤n≤50.6．
再由n为正整数可得  39≤n≤50，且 n∈Z，
故做问卷C的人数为12，
故选A．
　
7．若tanα=2tan ，则 =（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】三角函数的积化和差公式；三角函数的化简求值．
【分析】直接利用两角和与差的三角函数化简所求表达式，利用同角三角函数的基本关系式结合已知条件以及积化和差个数化简求解即可．
【解答】解：tanα=2tan ，则 = =
= = = = = = = = = = =3．
故答案为：3．
　
8．某教育机构随机某校20个班级，调查各班关注汉字听写大赛的学生人数，根据所得数据的茎叶图，以组距为5将数据分组成[0，5），[5，10），[10，15），[15，20），[20，25），[25，30），[30，35），[35，40]时，所作的频率分布直方图如图所示，则原始茎叶图可能是（　　）
 
A．  B．  C．  D．
【考点】茎叶图．
【分析】根据频率分布直方图，分别计算每一组的频数即可得到结论．
【解答】解：由频率分布直方图可知：第一组的频数为20×0.01×5=1个，
[0，5）的频数为20×0.01×5=1个，
[5，10）的频数为20×0.01×5=1个，
[10，15）频数为20×0.04×5=4个，
[15，20）频数为20×0.02×5=2个，
[20，25）频数为20×0.04×5=4个，
[25，30）频数为20×0.03×5=3个，
[30，35）频数为20×0.03×5=3个，
[35，40]频数为20×0.02×5=2个，
则对应的茎叶图为A，
故选：A．
　
9．口袋内有一些大小、形状完全相同的红球、黄球和白球，从中任意摸出一球，摸出的球是红球或黄球的概率为0.4，摸出的球是红球或白球的概率为0.9，那么摸出的球是黄球或白球的概率为（　　）
A．0.5 B．0.7 C．0.3 D．0.6
【考点】互斥事件的概率加法公式．
【分析】设摸出红球的概率是P（A），摸出黄球的概率是P（B），摸出白球的概率是P（C），求出P（B），P（C），相加即可．
【解答】解：设摸出红球的概率是P（A），摸出黄球的概率是P（B），摸出白球的概率是P（C），
∴P（A）+P（B）=0.4，P（A）+P（C）=0.9，
∴P（C）=1﹣P（A）﹣P（B）=0.6，
P（B）=1﹣P（A）﹣P（C）=0.1，
∴P（B）+P（C）=0.7，
故选：B．
　
10．三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC且PA=2，△ABC是边长为 的等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为（　　）
A．  B．4π C．8π D．20π
【考点】球的体积和表面积．
【分析】由已知结合三棱锥和正三棱柱的几何特征，可得此三棱锥外接球，即为以△ABC为底面以PA为高的正三棱柱的外接球，分别求出棱锥底面半径r，和球心距d，代入R= ，可得球的半径R，由此能求出该三棱锥外接球的表面积．
【解答】解：根据已知中底面△ABC是边长为 的正三角形，PA⊥底面ABC，
可得此三棱锥外接球，即为以△ABC为底面以PA为高的正三棱柱的外接球
∵△ABC是边长为 的正三角形，
∴△ABC的外接圆半径r= =1，
球心到△ABC的外接圆圆心的距离d=1，
故球的半径R= = ，
故三棱锥P﹣ABC外接球的表面积S=4πR2=8π，
故选：C．
　
11．已知函数f（x）=cos（ x），a为抛掷一颗骰子所得的点数，则函数f（x）在[0，4]上零点的个数小于5或大于6的概率为（　　）
A．  B．  C．  D．
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；余弦函数的图象．
【分析】求出函数f（x）=cos（ x）的周期，根据函数f（x）在[0，4]上零点的个数小于5或大于6，求出a的值，即可求出概率．
【解答】解：函数f（x）=cos（ x）的周期为T= ，∵函数f（x）在[0，4]上零点的个数小于5或大于6，
∴a=1、2、3、5、6．
共计5个，
故函数f（x）在[0，4]上零点的个数小于5或大于6的概率为 ．
故选B．
　
12．P是△ABC内一点，△ACP，△BCP的面积分别记为S1，S2，已知 ，其中λ∈（0，1），则 =（　　）
A．  B．  C．  D．
【考点】向量的线性运算性质及几何意义．
【分析】设 ， ，作出平行四边形CEPD，则CD= ，CB= ，根据S△CDP=S△CEP列出方程，整理可得 的比值．
【解答】解：设 ， ，以CD，CE为邻边作平行四边形CEPD，则CD= ，CB= ，
∵S△CDP=S△CEP，∴ = ，∴ = ，
∵S1= ，S2= ，
∴ = ，∴ = ．
故选C．
 
　
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。请将正确答案填在答题卷相应位置
13．已知向量 =（2，3）， =（﹣1，2），若m + 与 ﹣2 平行，则m等于　﹣ 　．
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．
【分析】由向量坐标的数乘及加减法运算求出m + 与 ﹣2 ，然后利用向量共线的坐标表示列式求解．
【解答】解：由向量 =（2，3）和 =（﹣1，2），
所以m + =m（2，3）+（﹣1，2）=（2m﹣1，3m+2）．
 ﹣2 =（2，3）﹣2（﹣1，2）=（4，﹣1）．
由m + 与 ﹣2 平行平行，所以4（3m+2）+（2m﹣1）=0．
解得m=﹣ ．
故答案为：﹣ ．
　
14．如果f（tanx）=sin2x﹣5sinxcosx，那么f（2）=　﹣ 　．
【考点】函数的值．
【分析】由已知得f（tanx）=sin2x﹣5sinxcosx= = ，由此能求出f（2）．
【解答】解：f（tanx）=sin2x﹣5sinxcosx
=
= ，
令tanx=2，
得f（2）= =﹣ ．
故答案为：﹣ ．
　
15．将一根长为10cm的细铁丝用剪刀剪成两段，然后再将每一段剪成等长的两段，并用这四段铁丝围成一个矩形，则所围成矩形的面积大于6cm2的概率为　 　．
【考点】几何概型．
【分析】10厘米剪成两段，设为x，10﹣x（0＜x＜10）．S= x（10﹣x）＞6，可得4＜x＜6，即可得出结论．
【解答】解：10厘米剪成两段，设为x，10﹣x（0＜x＜10）．
S= x（10﹣x）＞6，
∴4＜x＜6
所以概率为 = ．
故答案为： ．
　
16．已知 为平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 满足 （λ∈R），则 的最小值为　 　．
【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．
【分析】由题意得 ，故将 化简得（1﹣λ） ，再判断出λ≠1，求出 的表达式，再将此时两边平方并化简，再构造函数y= ，利用判别式法求出此函数的最小值，再开方后就是所求的最小值．
【解答】解：由 得，（1﹣λ） ①，
∵ 为平面内两个互相垂直的单位向量，
∴ ≠ ，即λ≠1，且 ，且| |=| |=1，
由①得，  = ，
将上式两边平方得，
 = + = ，
令y= = 得，（y﹣1）x2﹣2yx+y﹣1=0，此方程有实根，
由△=4y2﹣4（y﹣1）2≥0得，2y﹣1≥0，解得y ，
即 ，即 ，
则 的最小值为： ．
　
三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知| |=4，| |=8， 与 的夹角是120°，
（1）求| ﹣2 |；
（2）若（ +2 ）⊥（k ﹣ ），求实数k的值．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】（1）可进行向量数量积的运算，从而可求出 的值，进而便可求出 的值；
（2）（2）根据条件即可得出 ，这样进行向量数量积的运算即可得到关于k的方程，解出k即可．
【解答】解：（1）根据条件，  =
=16+4×16+4×64
=336；
∴ ；
（2）∵ ；
∴ 
=16k﹣16（2k﹣1）﹣128
=0；
解得k=﹣7．
　
18．某电子原件生产厂生产的10件产品中，有8件一级品，2件二级品，一级品和二级品在外观上没有区别．从这10件产品中任意抽检2件，计算：
（1）2件都是一级品的概率；
（2）至少有一件二级品的概率．
【考点】等可能事件的概率；互斥事件的概率加法公式．
【分析】（1）本题是一个等可能事件的概率，从10件产品中抽取2件，共有C102个基本事件，而满足条件的事件的结果有C82，根据等可能事件的概率公式得到结果．
（2）至少有一件二级品包括抽取的2件产品中包含了一件一级品，一件二级品与抽取的2件产品均为二级品，这两种情况是互斥的，根据互斥事件的概率公式和等可能事件的概率公式得到结果．
【解答】解：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率，
设2件都是一级品为事件A．…
从10件产品中抽取2件，共有C102=45个基本事件，且都是等可能的
而事件A的结果有C82=28种，…
则P（A）= ．       …
（2）设至少有一件二级品为事件B，…
则B是两个互斥事件：“抽取的2件产品中包含了一件一级品，
一件二级品（记为B1）”与“抽取的2件产品均为二级品（B2）”的和． …
而P（B1）= ，P（B2）= ，…
∴P（B）=P（B1+B2）=P（B1）+P（B2）          …
= ．               …
答：2件都是一级品的概率为 ；至少有一件二级品的概率为 ．
　
19．某学校为倡导全体学生为特困学生捐款，举行“一元钱，一片心，诚信用水”活动，学生在购水处每领取一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱．现统计了连续5天的售出和收益情况，如表：
售出水量x（单位：箱） 7 6 6 5 6
收益y（单位：元） 165 142 148 125 150
（Ⅰ）求y关于x的线性回归方程；
（Ⅱ）预测售出8箱水的收益是多少元？
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：  = ，  = ﹣  ，
参考数据：7×165+6×142+6×148+5×125+6×150=4420．
【考点】线性回归方程．
【分析】（Ⅰ）首先求出x，y的平均数，得到样本中心点，利用最小二乘法做出线性回归方程的系数，即可写出线性回归方程．
（Ⅱ）当自变量取8时，把8代入线性回归方程，求出销售额的预报值，这是一个估计数字．
【解答】解：（Ⅰ） 由所给数据计算得 = （7+6+6+5+6）=6，
 = =146，
  =72+62+62+52+62=182，
 = = =20，
 = ﹣  =146﹣20×6=26，
所求回归直线方程为 =20x+26；
（Ⅱ）将x=8代入回归方程可预测售出8箱水的收益为
 =20×8+26=186（元）．
　
20．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，|φ|＜ ）的部分图象如图所示．
（1）求f（x）＞ 在x∈[0，π]上的解集；
（2）设g（x）=2 cos2x+f（x），g（α）= + ，α∈（ ， ），求sin2α的值．
 
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【分析】（1）利用函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．
（2）利用三角恒等变换求得 sin（2α+ ）的值，可得cos（2α+ ）的值，再利用两角和差的正弦公式求得 sin2α=sin[（2α+ ）﹣ ]的值．
【解答】解：（1）由函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，|φ|＜ ）的部分图象知A=1，
且 = = + ，
∴ω=2．
再根据五点法作图可得2• +φ= ，求得φ=﹣ ，
∴f（x）=sin（2x﹣ ）．
∵f（x）=sin（2x﹣ ）＞ ，∴ +2kπ＜2x﹣ ＜2kπ+ ，求得 kπ+ ＜x＜kπ+ ，k∈Z．
再根据x∈[0，π]，可得 ＜x＜ ，故原不等式的解集为（ ， ）．
（2）设g（x）π=2 cos2x+f（x），g（α）=2 cos2α+sin（2α﹣ ）= + cos2α+ sin2α﹣ cos2α
= sin2α+ cos2α+ = +sin（2α+ ）= + ，
∴sin（2α+ ）= ．
∵α∈（ ， ），∴2α+ ∈（ ， ），∴cos（2α+ ）=﹣ =﹣ ，
∴sin2α=sin[（2α+ ）﹣ ]=sin（2α+ ）cos ﹣cos （2α+ ）sin = ﹣（﹣ ）= ．
　
21．已知A，B分别是直线y=x和y=﹣x上的两个动点，线段AB的长为2 ，D是AB的中点．
（1）求动点D的轨迹C的方程；
（2）若过点（1，0）的直线l与曲线C交于不同两点P、Q，
①当|PQ|=3时，求直线l的方程；
②试问在x轴上是否存在点E（m，0），使 • 恒为定值？若存在，求出E点的坐标及定值；若不存在，请说明理由．
【考点】向量在几何中的应用；轨迹方程；直线和圆的方程的应用．
【分析】（1）设D（x，y），A（a，a），B（b，﹣b），然后根据线段AB的长为2 ，D是AB的中点消去a与b，得到x与y的等量关系，即为动点D的轨迹C的方程；
（2）①讨论直线l与x轴是否垂直，然后利用点到直线的距离公式建立等式关系，从而求出直线方程；
②讨论直线l的斜率是否存在，不存在时直接求 • ，存在时，将直线与圆联立方程组，消去y，然后设P（x1，y1），Q（x2，y2），将 • 表示出来，使其与k无关即可求出m的值．
【解答】解：（1）设D（x，y），A（a，a），B（b，﹣b），
∵D是AB的中点，∴x= ，y= ，
∵|AB|=2 ，∴（a﹣b）2+（a+b）2=12，
∴（2y）2+（2x）2=12，∴点D的轨迹C的方程为x2+y2=3．
（2）①当直线l与x轴垂直时，P（1， ），Q（1，﹣ ），此时|PQ|=2 ，不符合题意；
当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k（x﹣1），由于|PQ|=3，所以圆心C到直线l的距离为 ，
由 = ，解得k=± ．故直线l的方程为y=± （x﹣1）．
②当直线l的斜率存在时，设其斜率为k，则l的方程为y=k（x﹣1），
由消去y得（k2+1）x2﹣2k2x+k2﹣3=0，
设P（x1，y1），Q（x2，y2）则由韦达定理得x1+x2= ，x1x2= ，
则 =（m﹣x1，﹣y1）， =（m﹣x2，﹣y2），
∴ • =（m﹣x1）（m﹣x2）+y1y2=m2﹣m（x1+x2）+x1x2+y1y2
=m2﹣m（x1+x2）+x1x2+k2（x1﹣1）（x2﹣1）
=m2﹣ + +k2 （ ﹣ +1）=
要使上式为定值须 =1，解得m=1，∴ • 为定值﹣2，
当直线l的斜率不存在时P（1， ），Q（1，﹣ ），
由E（1，0）可得 =（0，﹣ ）， =（0， ），
∴ • =﹣2，
综上所述当E（1，0）时，  • 为定值﹣2．
　
22．已知定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数f（x）满足f（2）=0，且在（﹣∞，0）上是增函数；又定义行列式 ； 函数 （其中 ）．
（1）若函数g（θ）的最大值为4，求m的值．
（2）若记集合M={m|恒有g（θ）＞0}，N={m|恒有f[g（θ）]＜0}，求M∩N．
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【分析】（1）由已知可判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，由定义表示出g（θ），根据二次函数的性质分类讨论可表示出其最大值，令其为4可求m值；
（2）由f[g（θ）]＜0，得g（θ）＜﹣2，或2＞g（θ）＞0，则M={m|恒有g（θ）＞0}，N={m|恒有f[g（θ）]＜0}={m|恒有g（θ）＜﹣2，或2＞g（θ）＞0}，从而M∩N={m|恒有0＜g（θ）＜2}，转化为不等式0＜﹣cos2θ+mcosθ﹣3m+1＜2在θ∈[0， ]恒成立，分离出参数m后，转化为求函数的最值即可，变形后借助“对勾函数”的性质可求得最值；
【解答】解：（1）f（x）在（﹣∞，0）上是增函数，又f（x）是奇函数，
∴f（x）在（0，+∞）也是增函数，
g（θ）=sin2θ﹣m（3﹣cosθ）=﹣cos2θ+mcosθ﹣3m+1=﹣ ，
∵θ∈[0， ]，∴cosθ∈[0，1]，
g（θ）的最大值只可能在cosθ=0（ ），cosθ=1（ ）， 处取得，
若cosθ=0，g（θ）=4，则有1﹣3m=4，m=﹣1，此时 ，符合；
若cosθ=1，g（θ）=4，则有﹣2m=4，m=﹣2，此时 ，不符合；
若 ，g（θ）=4，则有 ，m=6+4 或m=6﹣4 ，此时 或3 ，不符合；
综上，m=﹣1．
（2）∵f（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，且满足f（2）=0，∴f（﹣2）=0，
又f（x）在（﹣∞，0），（0，+∞）上均是增函数，
由f[g（θ）]＜0，得g（θ）＜﹣2，或2＞g（θ）＞0，
又M={m|恒有g（θ）＞0}，N={m|恒有f[g（θ）]＜0}={m|恒有g（θ）＜﹣2，或2＞g（θ）＞0}，
∴M∩N={m|恒有0＜g（θ）＜2}，即不等式0＜﹣cos2θ+mcosθ﹣3m+1＜2在θ∈[0， ]恒成立，
当m＞ =
=﹣（3﹣cosθ）﹣（ ）+6=﹣[（3﹣cosθ）+（ ）]+6，
∵θ∈[0， ]，∴cosθ∈[0，1]，3﹣cosθ∈[2，3]，
∴7≥（3﹣cosθ）+（ ） ，﹣[（3﹣cosθ）+（ ）]+6∈[﹣1，﹣ ]，
此时，m＞﹣ ；
当m＜
=﹣（3﹣cosθ）﹣（ ）+6
=﹣[（3﹣cosθ）+（ ）]+6，
∴6≥（3﹣cosθ）+（ ） ，﹣[（3﹣cosθ）+（ ）]+6∈[0，6﹣4 ]，
此时，m＜0；
综上，m∈（﹣ ，0）．
　
2016年8月12日