福建厦门市2016年高一数学下学期期末试卷（带解析）

2015-2016学年福建省厦门市高一（下）期末数学试卷
　
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．  =（　　）
A．  B．  C．  D．
2．已知向量 =（1，2），向量 =（x，﹣2），且 ⊥（ ﹣ ），则实数x等于（　　）
A．﹣4 B．4 C．0 D．9
3．已知圆C1：x2+y2=1，圆C2：x2+y2+4x﹣6y+4=0，则圆C1与圆C2的位置关系是（　　）
A．外离 B．相切 C．相交 D．内含
4．函数y=tan（ ﹣ ）在一个周期内的图象大致是（　　）
A．  B．  C．  D．
5．已知O为坐标原点，点A的坐标为（3，﹣4），将线段OA绕点O逆时针旋转 至OB，则点B的纵坐标为（　　）
A．﹣4 B．﹣3 C．3 D．4
6．为了得到函数y=2cos2x的图象，可以将函数y=1+cosx图象上所有的点（　　）
A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
B．横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变
C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变
D．纵坐标缩短到原来的 倍，横坐标不变
7．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，下列命题中正确的是（　　）
A．α∥β⇒l∥m B．α⊥β⇒l∥m C．l∥m⇒α⊥β D．l⊥m⇒α⊥β
8．在△ABC中，| |=1，| |=3，∠BAC=60°，则| |=（　　）
A．1 B．  C．3 D．
9．如图，长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AA′=3，AB=4，AD=5，E、F分别是线段AA′和AC的中点，则异面直线EF与CD′所成的角是（　　）
 
A．30° B．45° C．60° D．90°
10．直线l：3x+4y+4=0与圆C：（x﹣2）2+y2=9交于A，B两点，则cos∠ACB=（　　）
A．﹣  B．  C．﹣  D．
11．如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，D为BC的中点，BE平分∠ABC，AD与BE交于点P，若 =λ +μ ，则λ等于（　　）
 
A．  B． ﹣1 C．  D．
12．如图，一个无盖圆台形容器的上、下底面半径分别为1和2，高为 ，AD，BC是圆台的两条母线（四边形ABCD是经过轴的截面）．一只蚂蚁从A处沿容器侧面（含边沿线）爬到C处，最短路程等于（　　）
 
A．2  B．π+2 C．  +2  D．  +2
　
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．已知sinθ+cosθ= ，则sin2θ的值为　　　　　　．
14．已知斜率为2的直线l过点P（1，3），将直线l沿x轴向右平移m个单位得到直线l′，若点A（2，1）在直线l′上，则实数m=　　　　　　．
15．已知| |=1，| + |= ，| |=2，则 在 方向上的投影等于　　　　　　．
16．如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥底面BCD，BC⊥CD，AB=BC=CD=2．该三棱锥外接球的表面积等于　　　　　　．
 
　
三、解答题（共6小题，满分70分）
17．已知O（0，0），A（2，﹣1），B（1，2）．
（1）求△OAB的面积；
（2）若点C满足直线BC⊥AB，且AC∥OB，求点C的坐标．
18．长方体截去一个三棱锥后的直观图和部分三视图如图所示．
（1）画出这个几何体的俯视图，并求截面AEF的面积；
（2）若M为EF的中点，求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．
 
19．已知函数f（x）=Asinx+cosx，A＞0．
（1）若A=1，求f（x）的单调递增区间；
（2）函数f（x）在x=x0处取得最大值 ，求cosx0的值．
20．在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为平行四边形，AB=1，AC= ，AD=2，M、N分别为棱PA、BC的中点．
（1）求证：MN∥平面PCD；
（2）若二面角P﹣CD﹣B等于30°，求四棱锥P﹣ABCD的体积．
 
21．如图，已知函数f（x）=msin（ x+ ）（m＞0）的图象在y轴右侧的最高点从左到右依次为B1、B2、B3、…，与x轴正半轴的交点从左到右依次为C1、C2、C3、…．
（1）若m=1，求 • ；
（2）在△OB1C1，△OB2C3，△OB3C5，…，△OBiC2i﹣1，（i=1，2，3，…）中，有且只有三个锐角三角形，求实数m的取值范围．
 
22．已知动点M与两点P1（ ，0），P2（2r，0）的距离之比为 ，r＞0．
（1）求动点M的轨迹Γ的方程；
（2）已知菱形ABCD的一个内角为60°，顶点A，B在直线l：y=2x+3上，顶点C，D在Γ上，当直线l与Γ无公共点时，求菱形ABCD的面积S的取值范围．
　
 

2015-2016学年福建省厦门市高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．  =（　　）
A．  B．  C．  D．
【考点】运用诱导公式化简求值．
【分析】根据诱导公式可知cos =cos（π+ ），进而求得答案．
【解答】解：cos =cos（π+ ）=﹣cos =﹣
故选D．
　
2．已知向量 =（1，2），向量 =（x，﹣2），且 ⊥（ ﹣ ），则实数x等于（　　）
A．﹣4 B．4 C．0 D．9
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】①把 转化为 ②用坐标运算公式 =x1x2+y1y2
【解答】解：∵ ∴ ，
∴ ，
∴1+2×2﹣（1×x﹣2×2）═0，
∴x=9．
故选D．
　
3．已知圆C1：x2+y2=1，圆C2：x2+y2+4x﹣6y+4=0，则圆C1与圆C2的位置关系是（　　）
A．外离 B．相切 C．相交 D．内含
【考点】圆与圆的位置关系及其判定．
【分析】把圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，根据两圆的圆心距，大于半径之差，而小于半径之和，可得两个圆关系．
【解答】解：圆C1：x2+y2=1，表示以C1（0，0）为圆心，半径等于1的圆．
圆C2：x2+y2+4x﹣6y+4=0，即 （x+2）2+（y﹣3）2=9，表示以C2（﹣2，3）为圆心，半径等于3的圆．
∴两圆的圆心距d= = ，
∵3﹣1＜ ＜3+1，故两个圆相交．
故选：C．
　
4．函数y=tan（ ﹣ ）在一个周期内的图象大致是（　　）
A．  B．  C．  D．
【考点】正切函数的图象．
【分析】根据函数y=tan（ ﹣ ）在包含原点的一个周期内是增函数，故排除C、D；令﹣ ＜ ﹣ ＜ ，求得x的范围，从而得出结论．
【解答】解：根据函数y=tan（ ﹣ ）在包含原点的一个周期内是增函数，故排除C、D；
令﹣ ＜ ﹣ ＜ ，求得﹣ ＜x＜ ，结合所给的选项，
故选：A．
　
5．已知O为坐标原点，点A的坐标为（3，﹣4），将线段OA绕点O逆时针旋转 至OB，则点B的纵坐标为（　　）
A．﹣4 B．﹣3 C．3 D．4
【考点】简单曲线的极坐标方程．
【分析】设B（m，n），（m，n＞0），由OA⊥OB，且|OA|=|OB|，运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，及两点的距离公式计算即可得到所求．
【解答】解：设B（m，n），（m，n＞0），
由OA⊥OB，且|OA|=|OB|，
可得﹣ • =﹣1，  = ，
解得m=4，n=3．
即B的纵坐标为3．
故选：C．
　
6．为了得到函数y=2cos2x的图象，可以将函数y=1+cosx图象上所有的点（　　）
A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
B．横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变
C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变
D．纵坐标缩短到原来的 倍，横坐标不变
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；二倍角的余弦．
【分析】利用二倍角公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．
【解答】解：由于函数y=2cos2x=2• =cos2x+1，
∴要得到得函数y=2cos2x的图象，
可以将函数y=1+cosx图象上所有的点横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，
故选：B．
　
7．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，下列命题中正确的是（　　）
A．α∥β⇒l∥m B．α⊥β⇒l∥m C．l∥m⇒α⊥β D．l⊥m⇒α⊥β
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
【分析】直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，当α∥β有l⊥m，当α⊥β有l∥m或l与m异面或相交，当l∥m有α⊥β，当l⊥m有α∥β或α∩β，得到结论
【解答】解：直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，
当α∥β有l⊥β，进而可得l⊥m，故A不正确
当α⊥β有l∥m或l与m异面或相交，故B不正确
当l∥m有直线m⊥平面α，因为直线m⊂平面β，α⊥β，故C正确，
当l⊥m有α∥β或α∩β，故D不正确，
故选：C．
　
8．在△ABC中，| |=1，| |=3，∠BAC=60°，则| |=（　　）
A．1 B．  C．3 D．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】可知， ，根据条件对上式两边平方进行数量积的运算即可得出 ，从而得出 的值．
【解答】解：
=
=
=7；
∴ ．
故选：B．
　
9．如图，长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AA′=3，AB=4，AD=5，E、F分别是线段AA′和AC的中点，则异面直线EF与CD′所成的角是（　　）
 
A．30° B．45° C．60° D．90°
【考点】异面直线及其所成的角．
【分析】以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA′为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线EF与CD′所成的角．
【解答】解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA′为z轴，建立空间直角坐标系，
则E（0，0， ），F（2， ，0），C（4，5，0），
D′（0，5，3），
 =（2， ，﹣ ）， =（﹣4，0，3），
∴cos＜ ＞= = =﹣ ，
∴异面直线EF与CD′所成的角45°．
故选：C．
 
　
10．直线l：3x+4y+4=0与圆C：（x﹣2）2+y2=9交于A，B两点，则cos∠ACB=（　　）
A．﹣  B．  C．﹣  D．
【考点】圆与圆的位置关系及其判定．
【分析】求出圆心、半径，圆心到直线的距离，利用三角函数进行求解．
【解答】解：圆C：（x﹣2）2+y2=9的圆心坐标为（2，0），半径为3，
圆心到直线的距离为 =2，
∴cos ∠ACB= ，
∴cos∠ACB=2cos2 ∠ACB﹣1= ﹣1=﹣ ，
故选：A．
　
11．如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，D为BC的中点，BE平分∠ABC，AD与BE交于点P，若 =λ +μ ，则λ等于（　　）
 
A．  B． ﹣1 C．  D．
【考点】平面向量的基本定理及其意义．
【分析】可以BC，DA所在直线为x，y轴，建立平面直角坐标系，并设 ，从而可根据条件求出A，B，C三点的坐标，并可求出 ，可写出直线BE的方程，从而求出点P的坐标，进而得出向量 的坐标，带入 即可建立关于λ，μ的方程，解出λ即可．
【解答】解：以BC，DA所在直线为x，y轴，建立如图所示平面直角坐标系，设AB= ，则：
 
A（0，1），B（﹣1，0），C（1，0）；
根据正切的二倍角公式：设tan22.5=x，则 ，且x＞0；
∴解得x= ；
∴直线BE的方程为 ；
∴令x=0，y= ，即 ；
∴ ， ；
∴ ；
∴ ；
解得 ．
故选D．
　
12．如图，一个无盖圆台形容器的上、下底面半径分别为1和2，高为 ，AD，BC是圆台的两条母线（四边形ABCD是经过轴的截面）．一只蚂蚁从A处沿容器侧面（含边沿线）爬到C处，最短路程等于（　　）
 
A．2  B．π+2 C．  +2  D．  +2
【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题．
【分析】由题意求出圆台所在圆锥的母线长，利用弧长公式求出圆心角，把最短路程转化为三角形的边长求解．
【解答】解：沿母线AD剪开并展开如图，
∵圆台形容器的上、下底面半径分别为1和2，高为 ，
∴OB=4，OE=2．
设展开图的圆心角为α，则2π•1=2α，
∴α=π，
∴∠AOE=90°，
∴AE= =2 ．
∴经过的最短路程为2 ．
故选：A．
 
　
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．已知sinθ+cosθ= ，则sin2θ的值为　﹣ 　．
【考点】二倍角的正弦；同角三角函数间的基本关系．
【分析】将已知的等式左右两边平方，利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简，整理后即可求出sin2θ的值．
【解答】解：将sinθ+cosθ= 左右两边平方得：
（sinθ+cosθ）2= ，
整理得：sin2θ+2sinθcosθ+cos2θ=1+sin2θ= ，
则sin2θ= ﹣1=﹣ ．
故答案为：﹣
　
14．已知斜率为2的直线l过点P（1，3），将直线l沿x轴向右平移m个单位得到直线l′，若点A（2，1）在直线l′上，则实数m=　2　．
【考点】直线的一般式方程．
【分析】由已知直线l的斜率且过点P，根据直线方程的点斜式求出其解析式，然后根据平移的性质：左加右减，上加下减，得到直线l′，再根据点A在直线l′上，代入直线l′方程计算即可得答案．
【解答】解：由直线l斜率为2且过点P（1，3），
得y﹣3=2（x﹣1），
即y=2x+1，将直线l沿x轴向右平移m个单位得到直线l′，
则直线l′即y=2（x﹣m）+1，
又点A（2，1）在直线l′上，
∴2×（2﹣m）+1=1，解得m=2．
故答案为：2．
　
15．已知| |=1，| + |= ，| |=2，则 在 方向上的投影等于　 　．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】根据条件对 的两边平方即可求出 的值，这样根据一个向量在另一个向量方向上的投影的计算公式便可得出所要求的投影的值．
【解答】解：根据条件，  = =3；
∴ ；
 在 方向上的投影为：
 =
=
= ；
∴ 在 方向上的投影等于 ．
故答案为： ．
　
16．如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥底面BCD，BC⊥CD，AB=BC=CD=2．该三棱锥外接球的表面积等于　12π　．
 
【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．
【分析】由题意将三棱锥补全为正方体，且正方体的对角线为该三棱锥外接球的直径，即2R=2 ，得到三棱锥A﹣BCD外接球的半径大小，即可求出三棱锥外接球的表面积．
【解答】解：由题意将三棱锥补全为正方体，且正方体的对角线为该三棱锥外接球的直径，即2R=2 ，
∴R=
∴三棱锥外接球的表面积为4πR2=12π．
故答案为：12π．
　
三、解答题（共6小题，满分70分）
17．已知O（0，0），A（2，﹣1），B（1，2）．
（1）求△OAB的面积；
（2）若点C满足直线BC⊥AB，且AC∥OB，求点C的坐标．
【考点】正弦定理；两点间距离公式的应用．
【分析】（1）由两点之间的距离公式求出|OA、|OB|，由向量的坐标运算、数量积运算得到 =0，判断出OA⊥OB，由三角形的面积公式求出△OAB的面积；
（2）点C的坐标为（x，y），由向量的坐标运算求出 、 、 ，根据条件、向量垂直和平行的坐标条件列出方程组，求出x，y的值，可得点C的坐标．
【解答】解：（1）由题意得，|OA|=|OB|= ，
∵ =（2，﹣1）， =（1，2）， =0，
∴OA⊥OB，则△OAB的面积S= ；
（2）设点C的坐标为（x，y），
则 =（x﹣1，y﹣2）， =（x﹣2，y+1），且 =（﹣1，3），
∵直线BC⊥AB，且AC∥OB，
∴ =0， ，则 ，
解得 ，
∴点C的坐标为（4，3）．
　
18．长方体截去一个三棱锥后的直观图和部分三视图如图所示．
（1）画出这个几何体的俯视图，并求截面AEF的面积；
（2）若M为EF的中点，求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．
 
【考点】直线与平面所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】（1）根据直观图，可得俯视图，根据三角形的三条边，即可求截面AEF的面积；
（2）将几何体补充为长方体，则∠AMG为直线AM与平面ABCD所成角，即可求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．
【解答】解：（1）俯视图如图所示，截面AEF中AF=EF=2 ，AE=2 ，面积为 =6；
（2）将几何体补充为长方体，则∠AMG为直线AM与平面ABCD所成角．
∵GM= ，GA=2，
∴tan∠AMG= ．
 
　
19．已知函数f（x）=Asinx+cosx，A＞0．
（1）若A=1，求f（x）的单调递增区间；
（2）函数f（x）在x=x0处取得最大值 ，求cosx0的值．
【考点】两角和与差的余弦函数；正弦函数的图象．
【分析】（1）由题意利用两角和的正弦函数公式可得f（x）= sin（x+ ），由2kπ﹣ ≤x+ ≤2kπ+ ，k∈Z，即可解得f（x）的单调递增区间．
（2）由两角和的正弦函数公式可得f（x）= sin（x+φ），其中tanφ= ，由题意可求sin（x0+φ）=1，其中tanφ= ，  = ，进而解得A，sinφ的值，解得x0=2kπ+ ﹣φ，k∈Z，利用诱导公式即可解得cosx0的值．
【解答】解：（1）∵由题意可得：f（x）=sinx+cosx= sin（x+ ），
∴由2kπ﹣ ≤x+ ≤2kπ+ ，k∈Z，解得：2kπ﹣ ≤x≤2kπ+ ，k∈Z，
可得单调递增区间为：[2kπ﹣ ，2kπ+ ]，k∈Z．
（2）∵f（x）=Asinx+cosx= sin（x+φ），其中tanφ= ，
且函数f（x）在x=x0处取得最大值 ，
∴sin（x0+φ）=1，其中tanφ= ，  = ，
∴由A＞0，解得：A=2 ，sinφ= = ，
x0+φ=2kπ+ ，k∈Z，
∴x0=2kπ+ ﹣φ，k∈Z，
∴cosx0=cos（2kπ+ ﹣φ）=sinφ= ．
　
20．在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为平行四边形，AB=1，AC= ，AD=2，M、N分别为棱PA、BC的中点．
（1）求证：MN∥平面PCD；
（2）若二面角P﹣CD﹣B等于30°，求四棱锥P﹣ABCD的体积．
 
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．
【分析】（1）取PD中点E，连结NE，CE，可证MNEC为平行四边形，由MN∥CE即可判定MN∥平面PCD；
（2）证明AC⊥CD，确定∠PCA是二面角P﹣CD﹣B的平面角，求出PA，即可求四棱锥P﹣ABCD的体积．
【解答】（1）证明：取PD中点E，连结NE，CE．
∵N为PA中点，∴NE∥AD，NE= AD，
又M为BC中点，底面ABCD为平行四边形，∴MC∥AD，MC= AD．
∴NE∥MC，NE=MC，即MNEC为平行四边形，
∴MN∥CE．
∵EC⊂平面PCD，且MN⊄平面PCD，∴MN∥平面PCD．
（2）解：∵AB=1，AC= ，AD=2，
∴AB2+AC2=AD2，∴AC⊥CD，
∵PA⊥平面ABCD，
∴PC⊥CD，
∴∠PCA是二面角P﹣CD﹣B的平面角，即∠PCA=30°，
∴PA= tan30°=1，
∴四棱锥P﹣ABCD的体积= × = ．
 
　
21．如图，已知函数f（x）=msin（ x+ ）（m＞0）的图象在y轴右侧的最高点从左到右依次为B1、B2、B3、…，与x轴正半轴的交点从左到右依次为C1、C2、C3、…．
（1）若m=1，求 • ；
（2）在△OB1C1，△OB2C3，△OB3C5，…，△OBiC2i﹣1，（i=1，2，3，…）中，有且只有三个锐角三角形，求实数m的取值范围．
 
【考点】正弦函数的图象．
【分析】（1）利用正弦函数的图象的特征求得B1、B2、B3、…，与C1、C2、C3、…的坐标，利用两个向量的数量积公式求得 • 的值．
（2）由题意可得∠OB3C5为锐角，且∠OB4C7为钝角，故有 + ﹣OC5＞0，且 + ﹣OC7＜0，从而求得m的范围．
【解答】解：（1）若m=1，则令 x+ 分别等于 ， ， …，
可得B1（ ，1）、B2（ ，1）、B3（ ，1）…，
令 x+ 分别等于π，2π，3π，…，C1（ ，0）、C（ ，0）、C3（ ，0）…，
∴ • =（ ，1）•（1，﹣1）= ﹣1=﹣ ．
（2）由题意可得 函数f（x）=msin（ x+ ）（m＞0）的周期为 =4，
△OB3C5为锐角三角形，且△OB4C7为钝角角三角形，即∠OB3C5为锐角，且∠OB4C7为钝角，
∴ + ﹣OC5＞0，且 + ﹣OC7＜0，
即 +m2+ +m2﹣ ＞0，且 +m2+ +m2﹣ ＜0，
求得 ＜m＜ ，即 ＜m＜ ．
　
22．已知动点M与两点P1（ ，0），P2（2r，0）的距离之比为 ，r＞0．
（1）求动点M的轨迹Γ的方程；
（2）已知菱形ABCD的一个内角为60°，顶点A，B在直线l：y=2x+3上，顶点C，D在Γ上，当直线l与Γ无公共点时，求菱形ABCD的面积S的取值范围．
【考点】轨迹方程．
【分析】（1）利用直接法，求动点M的轨迹Γ的方程；
（2）求出0＜r＜ ，可得得0＜b＜3，求出a的范围，即可求菱形ABCD的面积S的取值范围．
【解答】解：（1）设M（x，y），则
∵动点M与两点P1（ ，0），P2（2r，0）的距离之比为 ，
∴ = ，
化简可得x2+y2=r2；
（2）∵直线l与Γ无公共点，∴圆心到直线的距离 ＞r，∴0＜r＜
设AB=a，直线CD的方程为y=2x+b，则圆心到直线的距离为d= ＜r，
∴0＜b＜3，
∵ = ，∴b=3﹣ a，
∴0＜a＜ ，
∴菱形ABCD的面积S=2 = ∈（0， ）．
　
2016年8月10日