2016年长春11中高一数学下学期期末试卷（理科有答案）

长春市十一高中2015-2016学年度高一下学期期末考试
数学（理科）试题
（本试卷满分120分，答题时间120分钟）
第Ⅰ卷（选择题  共60分）
一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．
1．直线 的倾斜角是                                     （    ）
    A.            B.            C．          D．
2.下列直线中与直线 平行的是                               （    ）
    A．       B．
C．      D．
3.在空间直角坐标系中,以点 和 为端点的线段长是        （    ）
     A.      B.          C.        D.
4．若点 到直线 的距离是 ，则实数 为                  （    ）
    A．－1          B．5             C．－1或5         D．－3或3
5．已知点 与点 关于直线 对称，则直线 的方程为              （    ）    
A． 　　　　　       B.
C．                    D． 
6．已知 成等差数列， 成等比数列，点  ，则直线 的方程是                                                     （    ）
Ａ．   Ｂ．    Ｃ．    Ｄ．
7.经过点 的直线 被圆 所截得的弦长为 ，则直线
   的方程为                                                          （    ）
    A. 或     B. 或
  C. 或     D. 或
8．对于直线 ， 和平面 ，以下结论正确的是                        （    ）
    A.如果 、 是异面直线，那么 ∥
B.如果  与 相交，那么 、 是异面直线
C.如果  ∥ ， 、 共面，那么 ∥
D.如果 ∥ ， ∥ ， 、 共面，那么 ∥
9．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为                 （    ）
  A．   B．  
C．   D． 

10．如图，边长为 的正方形 中，     ，将 ，
分别沿 折起，使 两点重合于 点，则三棱锥 － 的体积为（   ）
 A.      B.       
 C.       D.

11．一个蜂巢里有一只蜜蜂，第 一天，它飞出去找回了5个伙伴；第2天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有蜜蜂数为                                  （    ）
  A．          B．         C.               D.
12．已知 且 ，则 的最小值是          （    ）
    Ａ．9　　　　　Ｂ．8　　　　　  Ｃ． 　　　　　　　   Ｄ．6
第Ⅱ卷（非选择题  共70分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知长方形 的三个顶点的坐标分别为 ，则第四个顶点 的坐标为          ．
14．设 满足约束条件 ，则 的最大值为_______．
15.已知圆 上一点 ，则 的最小值是_______．
16．在直角坐标系中，定义两点 ， 之间的“直角距离”为     ，现有下列四个命题：
① 已知两点 ，则 为定值；
②原点 到直线 上任意一点 的直角距离 的最小值为 ；
③若 表示 两点间的距离，那么  ；
④设点 ，且 ，若点 在过 的直线上，且点 到点 与
 的“直角距离”之和等于 ，那么满足条件的点 只有 个．
其中正确的命题是                         ．（写出所有正确命题的序号）
三、解答题：本大题共5小题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分10分）在△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若   ．
（1）求角 的大小；
（2）求△ 的面积．

18．（本小题满分10分）如图，已知△ 的三顶点 ,  是△ 的中位线，求 所在直线的方程．

19．（本小题满分10分）已知圆 ： ，直线 过定点 ．
（Ⅰ）若 与圆 相切，求 的方程；           
（Ⅱ）若 与圆 相交于 、 两点，求 的面积的最大值，并求此时直线 的方程．

20.（本小题满分10分）如图，已知四棱锥 ，底面 为菱形， 平面 ， ， 分别是 的中点．
（Ⅰ）证明： ；
（Ⅱ）若 ,求二面角 的余弦值．

21．附加题（本小题满分10分）设数列 的各项都是正数，且对于 ，都有 ，其中 为数列 的前 项和．
 (1)求 ；
（2）求数列 的通项公式；
 (3)若 （ 为非零常数）,问是否存在整数 ，使得对任意 ， 都有 ？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由．

长春市十一高中2015-2016学年度高一下学期期末考试
数学（理科）试题评分标准
（
一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．
1． C    2. D   3.  C4． C  5A  6 B  7. D   8C   9 A   10 B  11 B  12 A 
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
14． (2,3)          14． 5
15.        16．   ①  ③        
四、解答题：本大题共5小题，共50分
17． 解;(1)
 
                                 --------------5分
(2)
 
                               --------------------------10分
18．解：由已知，直线AB的斜率 k＝ ＝ ．
因为EF∥AB，所以直线EF的斜率为 ．----------------------5分
因为 是△ 的中位线,所以E是CA的中点．点E的坐标是(0， )．
直线EF的方程是 y－ ＝ x，即x－2y＋5＝0． --------------10分

19解：
 
 
 --------------10分

20.解：（Ⅰ）证明：由四边形 为菱形， ，可得 为正三角形．
因为 为 的中点，所以 ．
又 ，因此 ．
因为 平面 ， 平面 ，所以 ．
而 平面 ， 平面 且 ，
所以 平面 ．又 平面 ，
所以 ． --------------------------------------------5分
（Ⅱ）解法一：因为 平面 ， 平面 ，
所以平面 平面 ．
过 作 于 ，则 平面 ，
过 作 于 ，连接 ，
则 为二面角 的平面角，

在 中， ， ，
又 是 的中点，在 中， ，
又 ，  在 中， ，
即所求二面角的余弦值为 ．   --------------------------10分
解法二：由（Ⅰ）知 两两垂直，以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又 分别为 的中点，所以
 ，
 ，
所以 ．
设平面 的一法向量为 ，
则 因此
取 ，则 ，
因为 ， ， ，
所以 平面 ，
故 为平面 的一法向量．
又 ，
所以 ．
因为二面角 为锐角，
所以所求二面角的余弦值为 ．----------10分

21．
 
                    ------------------------------------- 3分
 
-----------------------6分
 
----------------------10分