八年级数学上册《探索勾股定理》教案

八年级数学上册《探索勾股定理》教案

教材分析：

勾股定理是直角三角形特有的重要性质，它把三角形有一个直角的“形”的特点，转化为三边之间的“数”的关系，充分体现了数形结合的数学思想方法，体现了数学抽象的数学素养。它可以解决许多直角三角形中的计算问题，它是直角三角形一条重要的性质，也是初中数学教学内容的重点之一。本节课的重点是发现勾股定理，难点是说明勾股定理的正确性。

学生分析：

1.三角尺学生天天在用，较为熟悉，但真正能仔细研究过三角尺的同学并不多，通过这样的情景设计，能非常简单地将学生的注意力引向本节课的内质。

2.以与勾股定理有关的人文历史知识为背景展开对直角三角形三边关系的讨论，能激发学生的学习兴趣，提高学生数学学习的主观能动性。

设计理念：本教案以学生手中舞动的三角尺为知识背景展开，以探究活动为载体，以勾股定理在古今中外的发展史为主线贯穿课堂始终， 让学生对勾股定理的发展过程有所了解，让他们感受勾股定理的丰富文化内涵，体验勾股定理的探索和运用过程，激发学生学习数学的兴趣，特别是通过向学生介绍我国古代在勾股定理研究和运用方面的成就，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想感情，培养他们的民族自豪感和探究创新的精神。

教学目标：

1、经历用面积割、补法探索勾股定理的过程，培养学生主动探究意识，发展合理推理能力，体现数形结合思想。

2、经历用多种割、补图形的方法验证勾股定理的过程，发展用数学的眼光观察现实世界和有条理地思考能力以及语言表达能力等，感受勾股定理的文化价值。

二、教学准备阶段：

学生准备：若干正方形网格纸，若干全等的直角三角形纸片，彩笔、直角三角尺等。

老师准备：毕达哥拉斯、赵爽、刘徽等证明勾股定理的图片以及其它有关人物历史资料等投影图片。

三．教学流程：

（一）问题导入

同学们，当你每天手握三角尺绘图时，你是否想过：他们的边有什么关系呢？今天我们来探索这一奥秘。（板书课题）

（二）探究新知

探究活动一：

画一个直角边为3cm和4cm的直角ABC，用刻度尺量出AB的长。你发现了什么？

你是否发现32+42与52的关系？

对于任意的直角三角形也有这个性质吗？

探究活动二：

探究等腰直角三角形的情况

观察下图并填写：（图中每个小方格代表一个单位面积）

正方形的面积

（单位面积）

正方形的面积

（单位面积）

正方形的面积

（单位面积）

较大的图

较小的图

探究活动三

1．取方格纸片，在上面先设计任意格点直角三角形，再以它们的每一边分别向三角形外作正方形，如图，设网格正方形的边长为1，直角三角形的直角边分别为a、b ，斜边为c ，观察并计算每个正方形的面积。

以四人小组为单位填写下表：

a

b

c

   a2+b2
 

     c2
 

  关   系

1

2

3

4

（讨论难点：以斜边为边的正方形的面积找法）

交流后得出一般结论：                   （用关于a、b、c的式子表示）

我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.
 

因此就把这个命题称为勾股定理.

（讨论难点：以斜边为边的正方形的面积找法）

交流后得出一般结论：                   （用关于a、b、c的式子表示）

我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.

因此就把这个命题称为勾股定理.

勾股定理  如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2

推理格式：   因为 ABC为直角三角形
      所以  AC2+BC2＝AB2.

      或者   a2+b2＝c2

（三）探索所得结论的正确性

当直角三角形的直角边分别为a 、b，斜边为c时， a2+b2＝c2是否一定成立？

1．指导学生运用拼图、或正方形网格纸构造或设计合理分割（或补全）图形，去探索本结论的正确性（以四人小组为单位进行）。

2、在学生所创作图形中选择有代表性的割、补图，展示出来交流讲解，并引导学生进行说理。

3、介绍几种割补的方法：

如图（用补的方法说明）：

介绍：（出示图片）毕达哥拉斯，公元前约500年左右，古西腊一位哲学家、数学家。一天，他应邀到一位朋友家做客，他一进朋友家门就被朋友家的豪华的方形大理石地砖的形状深深吸引住了，于是他立刻找来尺子和笔又量又画，他发现以每块大理石地砖的相邻两直角边向三角形外作正方形，它们的面积和等于以这块大理石地砖的对角线为边向形外作正方形的面积。于是他回到家里立刻对他的这一发现进行了探究证明……，终获成功。后来西方人们为了纪念他的这一发现，将这一定理命名为“毕达哥拉斯定理”。1952年，希腊政府为了纪念这位伟大的数学家，特别选用他设计的这种图形为主图发行了一枚纪念邮票。

如图（用割的方法去探索）：

介绍: （出示图片） 中国古代数学家们很早就发现并运用这个结论。早在公元前2000年左右，大禹治水时期，就曾经用过此方法测量土地的等高差，公元前1100年左右，西周的数学家商高就曾用“勾三、股四、弦五”测量土地，他们对这一结论的运用至少比古希腊人早500多年。公元200年左右，三国时期吴国数学家赵爽曾构造此图验证了这一结论的正确性。他的这个证明，可谓别具匠心，极富创新意识，他用几何图形的割、来证明代数式之间的相等关系，既严密，又直观，为中国古代以“形”证“数”，形、数统一的独特风格树立了一个典范。他是我国有记载以来第一个证明这一结论的数学家。我国数学家们为了纪念我国在这方面的数学成就，将这一结论命名为“勾股定理”。（点题）

  2002年，世界数学家大会在中国北京召开，当时选用这个图案作为会场主图，它标志着我国古代数学的辉煌成就。

如图4（构造新图形的方法去探索）：

介绍：（出示图片）勾股定理是数学史上的一颗璀璨明珠，它的证明在数学史上屡创奇迹，从毕达哥拉斯到现在，吸引着世界上无数的数学家、物理学家、数学爱好者对它的探究，甚至政界要人——美国第20任总统加菲尔德，也加入到对它的探索证明中，如图是他当年设计的证明方法。据说至今已经找到的证明方法有四百多种，且每年还会有所增加。

四．当堂检测

1、判断：直角三角形两直角边分别为3和4，则斜边是7     （   ）

2、在ABC中，AC＝3，BC＝4，你能求出AB的长吗？

3、在RtABC中，a、b、c为边长，则下列关系正确的是（   ）

A.a2+b2＝c2  B.a2＝b2+c2   C.b2＝a2+c2  D.以上都有可能

4、在RtABC中，∠C是直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c．已知a：b＝3：4，c＝15，求a、b.

五．作业：

1.继续收集、整理有关勾股定理的证明方的探索问题并交流。

2．探索勾股定理的运用。