2017-2018高二数学理科下学期期末试题（附答案河北武邑中学）

河北武邑中学2017～2018学年下学期高二期末考试
数  学  试  题（理科）

一．选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分， 在每小题给出的四个选项中只有一个选项符合题目要求）
1. 若直线 的倾斜角为 ，则 （  ）
A.等于         B.等于        C.等于       D.不存在
2.已知实数a、b、c、d成等差数列,且曲线y=ln(x+2)-x取得极大值的点坐标为(b,c),则a+d  等于（    ）
  A. -1           B. 0            C. 1           D. 2
3.已知函数f(x)=sinx-cosx,且 ,其中 ，则
 =（   ）[来源:学科网]
A          B.            C.            D.   
4.设 是不同的直线， 是不同的平面，有以下四个命题：
 ①若 ， ，则        ②若 ， ，则
 ③若 ， ，则         ④若 ， ，则  .
其中真命题的序号为（    ）
A. ① ③        B. ②③      C. ①④        D. ②④
5．某  学校有男、女学生各500名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否 存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的 抽样方法是（  ）
A．抽签法    B．随机数法     C．系统抽样法      D．分层抽样法
6.焦点为 且与双曲线 有相同渐近线的双曲线方程是(  )
A.   B.   C.   D.
7.如图，已知三棱柱 的侧棱与底面边长都
相等， 在底面 上的射影为 的中点，则异面
直线 与 所成的角的余弦值为（    ）
A.       B.      C.           D.           
8．椭圆 的左、右焦点分别为 ，弦 过 ，若 的内切圆的周长为 ，  两点的坐标分别为 ，  ，则 （   ） 
A.         B．       C．      D．
9.如图，正方形 内的图形来自中国古代的太极图.正方形 内切圆中的黑色部分和白色部分位于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是(   )
A.       B      C        D 
10. 在同一直角坐标系中，表示直线 与  正确的是（　　）
  A．　　　　 　B．　　     　C．　　　　　D．
11.如图，P是正四面体V- ABC的面VBC上一点，点P到平面ABC距离与到点V的距离相等，则动点P的轨迹是(   )
A．直线                   B．抛物线  
C．离心率为 的椭圆    D．离心率为3的双曲线
12. 设直线l1， l2分别是函数f(x)＝－lnx，0＜x＜1，lnx，x＞1 图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是(　　)
A．(0，1)     B．(0，2)   C．(0，＋∞)   D．(1，＋∞)
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共2 0分）
13．设复数 ，则                  。
14. 已知 是函数f(x)的导函数， ,则 ________.
15.已知抛物线 的准线与双曲线 交于 两点，点 为抛物线的交点，若 为正三角形，则双曲线的离心率是                ．
16.已知直线 上总存在点 ，使得过 点作的圆 ：  的两条切线互相垂直， 则实数 的取值范围是                ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17. （本小题满分10分）命题 方程 表示双曲线；命题 不等式 的解集 是 .  为假，  为真，求  的取值范围.

18．（本小题满分12分）三棱柱 中， 分别是  、 上的点，且 ， 。设 ， ， .
（Ⅰ）试用 表示向量 ；
（Ⅱ）若 ， ， ，求M N的长.。

 
19．(本小题满分12分)已知点P(2,2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为 坐标原点．
(1)求M的轨迹方 程；
(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程.

20．（本小题满分12分）已知曲线 
（1）求曲线 在点  处的切线方程；
（2）求与直线 平行的曲线 的切线方程．

21.（本小题满分12分）已知函数  ．
（1）讨论函数 在定义域内的极值点的个数；
（2）若函数 在 处取得极值，且对任意 , 恒成立，
求实数 的取值范围；
（3）当 时，求证： ．
22．（本题满分12分）如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，且PA＝AD＝2，E、F分别为棱AD、PC的中点.
(1)求异面直线EF和PB所成角的大小;
(2)求证:平面PCE⊥平面PBC;
(3)求二面角E－PC－D的大小.

 
理科数学评分细则 
1.C   2.D   3. A   4. D   5.D. 6.B   7.D    8．B  9.D   10. C.   11. C．  12.A
13．1          14.    15.        16.    
17. （本小题满分10分）
解： 真          ，
 真   或        ∴
 真 假       假 真   
∴ 范围为
18．（本小题满分12 分）
解：（Ⅰ） 
 。…………6分
（Ⅱ）
 ，
 ， …………12分
19．(本小题满分12分)
解：(1)圆 C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16 ，所以圆心为C(0,4)，半径为4．
设M(x，y)，则CM→＝(x，y－4)，MP→＝(2－x,2－y)．
由题设知CM→•MP→＝0，故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝2．…………6分
由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2．
(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心，2为半径的圆．
由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上， 从而ON⊥PM．
因为ON的斜率为3，所以l的斜率为－13，故l的方程为x＋3y－8＝0．………12分
20．（本小题满分12分）
解：（1）∵ ，∴ ，求导数得 ，
∴切线的斜率为 ，
∴所求切线方程为 ，即 ．………6分
（2）设与直线 平行的切线的切点为 ，
则切线的斜率为 ．
又∵所求切 线与直线 平行，∴ ，
解得 ，代入曲线方程 得切点为 或 ，∴所求切线方程为 或 ，
即 或 ．………12分
21.（本小题满分12分）
解：（1） ，
当 时， 在 上恒成立，
函数  在 单调递减，∴ 在 上没有极值点；
当 时， 得 ， 得 ，
∴ 在 上递减 ，在 上递增，即 在 处有极小值．
∴当 时 在 上没有极值点，
当 时， 在 上有一个极值点． 4分
（注：分类讨论少一个扣一分。）
（2）∵函数 在 处取得极值，∴ ， ………………………………………5分
∴ ，     ……………………………………………………6分
令 ，可得 在 上递减，在 上递 增，………………7分
∴ ，即 ． 8分
（3）证明： ， 9分
令 ，则只要证明 在 上单调递增，
又∵ ，
显然函数 在 上单调递增．
∴ ，即 ，
∴ 在 上单调递增，即 ，
∴当 时，有 ． ..........................................................12分
22．（本题满分12分）
22、