2018年秋沪科版九年级数学上《第22章相似形》复习试题含答案

第22章 相似形
类型之一　比例线段与比例性质
1．如果x∶(x＋y)＝3∶5，那么x∶y等于(　　)
A. 85     B. 38     C. 23    D. 32
2．如图22－X－1，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交直线l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交直线l1，l2，l3于点D，E，F.若DE＝3，EF＝6，AB＝4，则AC的长是(　　)
A．6    B．8     C．9     D．12
 
图22－X－1
3．如图22－X－2，在▱ABCD中，AC与BD相交于点O，E是OD的中点，连接AE并延长交CD于点F，则DF∶FC等于(　　)
A．1∶4    B．1∶3    C．1∶2    D．1∶1
　　　
图22－X－2
4．如图22－X－3，在△ABC中，AM∶MD＝4∶1，BD∶DC＝2∶3，求AE∶EC的值．
 

类型之二　相似三角形的判定与性质
5．如图22－X－4，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是(　　)
 
图22－X－4
A．①和②        B．②和③
C．①和③        D．②和④
6．如果两个相似三角形的面积比是1∶2，那么它们的周长比是(　　)
A．1∶2     B．1∶4      C．1∶2      D．2∶1
7．在△ABC与△A′B′C′中，有下列条件：(1)ABA′B′＝BCB′C′；(2)BCB′C′＝ACA′C′；(3)∠A＝∠A′；(4)∠C＝∠C′.如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC∽△A′B′C′的共有(　　)
A．1组    B．2组     C．3组      D．4组

8．如图22－X－5，在直角梯形ABCD中，AB＝7，AD＝2，BC＝3，若在线段AB上取一点P，使得以P，A，D为顶点的三角形和以P，B，C为顶点的三角形相似，则这样的P点有(　　)
A．1个    B．2个   C．3个     D．4个
                                 
图22－X－5
9．［2016·泰安］如图22－X－6，△ABC是边长为4的等边三角形，P为BC边上的任意一点(不与点B，C重合)，且∠APD＝60°，PD交AB于点D，设BP＝x，BD＝y，则y关于x的函数图象大致是(　　)
 
10．［2016·宿州二模］在▱ABCD中，M，N是AD边上的三等分点，连接BD，MC相交于点O，则S△MOD∶S△COB＝________．
11．如图22－X－8，在矩形ABCD中，AB＝10 cm，AD＝20 cm，两只小虫P和Q分别从点A，B同时出发沿AB，BC向终点B，C方向前进，小虫P的速度为1 cm/s，小虫Q的速度为2 cm/s.它们同时出发多少秒时，以P，B，Q为顶点的三角形与以A，C，D为顶点的三角形相似？
 

12．如图22－X－9所示，先把一张矩形纸片ABCD对折，设折痕为MN，再把点B叠在折痕线上，得到△ABE，过点B折纸片使点A叠在直线AD上，得折痕PQ.
(1)求证：△PBE∽△QAB.
(2)你认为△PBE和△BAE相似吗？如果相似，给出证明；如果不相似，请说明理由．
 

类型之三　相似三角形的实际应用
13．如图22－X－10，身高为1.5米的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去．当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC＝3米，CA＝1米，则树的高度为(　　)
A．3米       B．4米
C．4.5米     D．6米
 
图22－X－10
14．如图22－X－11，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S在一条直线上，且直线PS与河垂直，在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，PT与过点Q且与PS垂直的直线b的交点为R.如果QS＝60 m，ST＝120 m，QR＝80 m，则河的宽度PQ为(　　)
A．40 m       B．60 m
C．120 m      D．180 m
 
图22－X－11

15．如图22－X－12，小军在地面上合适的位置平放了一块平面镜(平面镜的高度忽略不计)，刚好在平面镜中的点C处看到旗杆顶部E，此时小军的站立点B与点C的水平距离为2 m，旗杆底部D与点C的水平距离为12 m．若小军的眼睛距离地面的高度为1.5 m(即AB＝1.5 m)，则旗杆的高度为________m.
　　　
     图22－X－12

16．如图22－X－13所示的示意图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行并使直角边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE＝0.5米，EF＝0.25米，且测点D到地面的距离DG＝1.5米，到旗杆的水平距离DC＝25米，求旗杆AB的高度．
 
图22－X－13

类型之四　位似图形的性质及作法
17．如图22－X－14，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的14，那么点B′的坐标是(　　)
A．(－2，3)               B．(2，－3)
C．(3，－2)或(－2，3)     D．(－2，3)或(2，－3)
 
图22－X－14
18．如图22－X－15所示，正方形OEFG和正方形ABCD是位似图形，若点F的坐标为(－1，1)，点C的坐标为(－4，2)，则这两个正方形的位似中心的坐标是____________．
　　　
图22－X－15

19．［2017·包河区二模］如图22－X－16，在边长为1个单位的小正方形组成的网格中，给出了格点四边形ABCD(顶点是网格线的交点)和直线l，按要求画图．
(1)作出四边形ABCD关于直线l成轴对称的四边形A′B′C′D′；
(2)以B为位似中心，在点B的下方将四边形ABCD放大2倍得到四边形A1B1C1D1，画出四边形A1B1C1D1.
 

类型之五　阅读理解型的相似问题
20．如图22－X－17(a)，P为△ABC所在平面上一点，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，则点P叫做△ABC的费马点．
(1)如果△ABC是锐角三角形，点P为△ABC的费马点，且∠ABC＝60°.
①求证：△ABP∽△BCP；
②若PA＝3，PC＝4，则PB＝________．
(2)如图(b)，已知△ABC是锐角三角形，分别以AB，AC为边向外作△ABE和△ACD，△ABE和△ACD均为等边三角形，且CE和BD相交于点P.
①求∠CPD的度数；
②求证：点P为△ABC的费马点．
 

21．［2016·宁波］从三角形(不是等腰三角形的)一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．
(1)如图22－X－18①，在△ABC中，CD为∠ACB的平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD为△ABC的完美分割线；
(2)在△ABC中，若∠A＝48°，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数；
(3)如图22－X－18②，△ABC中，AC＝2，BC＝2，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．
 

类型之六　数学活动
22．类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整．
原题：如图22－X－19①，在▱ABCD中，E是BC边的中点，F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G.若AFEF＝3，求CDCG的值．
(1)尝试探究
在图22－X－19①中，过点E作EH∥AB，交BG于点H，则AB和EH的数量关系是________，CG和EH的数量关系是________，CDCG的值是________．
(2)类比延伸
如图22－X－19②，在原题的条件下，若AFEF＝m(m＞0)，则CDCG的值是____________(用含m的代数式表示)，试写出解答过程．
(3)拓展迁移
如图22－X－19③，四边形ABCD中，DC∥AB，E是BC延长线上的一点，AE和BD相交于点F.
若ABCD＝a，BCBE＝b(a＞0，b＞0)，则AFEF的值是________(用含a，b的代数式表示)．
                   
图22－X－19
 

1．D　[解析] ∵x∶(x＋y)＝3∶5，∴5x＝3x＋3y，整理，得2x＝3y，∴x∶y＝3∶2.
2．D　[解析] ∵l1∥l2∥l3，
∴ABBC＝DEEF，即4BC＝36.
∴BC＝8，
∴AC＝AB＋BC＝12.
故选D.
3．C　[解析] 在▱ABCD中，AB∥CD，则△DFE∽△BAE，∴DEBE＝DFAB.
∵O为对角线的交点，∴DO＝BO.
又∵E为OD的中点，∴DE＝14BD，
则DE∶BE＝1∶3，∴DF∶AB＝1∶3.
∵CD＝AB，∴DF∶CD＝1∶3，
∴DF∶FC＝1∶2.
 
4．解：如图，过点D作DF∥ BE交AC于点F，则EF∶FC＝BD∶DC，AM∶MD＝AE∶EF.
∵BD∶DC＝2∶3，
∴EF∶FC＝2∶3.
设EF＝2a，则CF＝3a.
∵AM∶MD＝4∶1，∴AE∶EF＝4∶1，
∴AE＝8a，∴AE∶EC＝8a∶5a＝8∶5.
5．C
6．C　[解析] ∵两个相似三角形的面积比是1∶2，
∴这两个相似三角形的相似比是1∶2，
∴它们的周长比是1∶2.
故选C.
7．C　[解析] 共有3组，其组合分别是(1)和(2)，根据是三边成比例的两个三角形相似；
(2)和(4)，根据是两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；
(3)和(4)，根据是两角分别相等的两个三角形相似．
8．C　[解析] ①当△DAP∽△CBP时，AD∶AP＝BC∶BP，即2AP＝7－AP3，解得AP＝145；
②当△DAP∽△PBC时，AD∶AP＝BP∶BC，即2AP＝7－AP3，解得AP＝1或AP＝6.
综上可得，这样的点P有3个．
9．C　[解析] ∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°.
又∵∠BPD＋∠APD＝∠C＋∠CAP，∠APD＝60°，
∴∠BPD＝∠CAP，∴△BPD∽△CAP，
∴BP∶AC＝BD∶PC.
∵△ABC的边长为4，
BP＝x，BD＝y，
∴x∶4＝y∶(4－x)，
∴y＝－14x2＋x.
故选C.
 
10．4∶9或1∶9　[解析] 已知M，N是AD边上的三等分点．
(1)当DMBC＝23时，如图①所示．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴△MOD∽△COB，
∴S△MOD∶S△COB＝(DMBC)2＝4∶9.
 
(2)当DMBC＝13时，如图②所示．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴△MOD∽△COB，
∴S△MOD∶S△COB＝(DMBC)2＝1∶9.
故答案为4∶9或1∶9.
11．解：设它们同时出发t s时，以P，B，Q为顶点的三角形与以A，C，D为顶点的三角形相似，则AP＝t cm，BQ＝2t cm，PB＝(10－t)cm.
(1)当△PBQ∽△ADC时，有PBAD＝BQDC，
即10－t20＝2t10，解得t＝2；
(2)当△PBQ∽△CDA时，有PBCD＝BQDA，
即10－t10＝2t20，解得t＝5.
综上可得，当它们同时出发2 s或5 s时，以P，B，Q为顶点的三角形与以A，C，D为顶点的三角形相似．
12．解：(1)证明：∵∠PBE＋∠ABQ＝180°－90°＝90°，∠PBE＋∠PEB＝90°，
∴∠ABQ＝∠PEB.
又∵∠BPE＝∠AQB＝90°，
∴△PBE∽△QAB.
(2)相似．
证明：∵△PBE∽△QAB，∴BEAB＝PEBQ.
由折叠可知BQ＝PB，
∴BEAB＝PEPB，即BEPE＝ABPB.
又∵∠ABE＝∠BPE＝90°，
∴△PBE∽△BAE.
13．D
14．C　[解析] ∵RQ⊥PS，TS⊥PS，
∴RQ∥TS，
∴△PQR∽△PST，
∴PQPS＝QRST，即PQPQ＋60＝80120，
∴PQ＝120(m)．
故选C.
15．9　[解析] 由题意可得AB＝1.5 m，BC＝2 m，DC＝12 m.
易得△ABC∽△EDC，
则ABED＝BCDC，即1.5ED＝212，解得ED＝9.
故答案为9.
16．解：∵∠ADC＝∠FDE，∠ACD＝∠FED＝90°，∴△ACD∽△FED，
∴ACEF＝CDDE，即AC0.25＝250.5，
解得AC＝12.5.
∵AB⊥BG，DG⊥BG，DC⊥AB，
∴∠ABG＝∠BGD＝∠DCB＝90°，
∴四边形BGDC是矩形，
∴BC＝DG＝1.5，
∴AB＝AC＋BC＝12.5＋1.5＝14(米)．
答：旗杆AB的高度是14米．
17．D　[解析] ∵矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，∴矩形OA′B′C′∽矩形OABC.∵矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的14，
∴矩形OA′B′C′与矩形OABC的相似比为1∶2.∵点B的坐标为(－4，6)，∴点B′的坐标是(－2，3)或(2，－3)．
故选D.
18．(2，0)或(－43，23)　[解析] ①当两个位似图形在位似中心同旁时，位似中心就是CF与x轴的交点．设直线CF所对应的函数表达式为y＝kx＋b，将C(－4，2)，F(－1，1)代入，
得－4k＋b＝2，－k＋b＝1，解得k＝－13，b＝23，
即y＝－13x＋23.令y＝0，得x＝2，
∴点O′的坐标是(2，0)．
②当位似中心点O′在两个正方形之间时，可求得直线OC所对应的函数表达式为y＝－12x，直线DE所对应的函数表达式为y＝14x＋1.联立得y＝－12x，y＝14x＋1，解得x＝－43，y＝23，即点O′的坐标是(－43，23)．
综上可知，点O′的坐标为(2，0)或(－43，23)．
19．解：(1)如图，四边形A′B′C′D′即为所求．
(2)如图，四边形A1B1C1D1即为所求．
 
20．解：(1)①证明：∵∠PAB＋∠PBA＝180°－∠APB＝60°，∠PBC＋∠PBA＝∠ABC＝60°，
∴∠PAB＝∠PBC.
又∵∠APB＝∠BPC＝120°，
∴△ABP∽△BCP.
②∵△ABP∽△BCP，∴PAPB＝PBPC，
∴PB2＝PA·PC＝12，∴PB＝2 3.
 
(2)①如图，∵△ABE与△ACD都为等边三角形，
∴BAE＝∠CAD＝60°，AE＝AB，AC＝AD，
∴∠BAE＋∠BAC＝∠CAD＋∠BAC，
即∠EAC＝∠BAD.
在△ACE与△ADB中，∵AC＝AD，∠EAC＝∠BAD，AE＝AB，
∴△ACE≌△ADB，∴∠1＝∠2.
∵∠3＝∠4，∴∠CPD＝∠5＝60°.
②证明：如图，连接AP，设AC与BD交于点F.
易证△ADF∽△PCF，∴AFPF＝DFCF.
又∵∠AFP＝∠CFD，
∴△AFP∽△DFC，
∴∠APF＝∠DCF ＝60°.
∴∠APC＝∠CPD＋∠APF＝60°＋60°＝120°.同理可得∠BPA＝120°，
∴∠BPC＝360°－∠BPA－∠APC＝120°，
∴点P为△ABC的费马点．
21．解：(1)证明：如图①.
∵∠A＝40°，∠B＝60°，
∴∠ACB＝80°，
∴△ABC不是等腰三角形．
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD＝12∠ACB＝40°，
从而∠ACD＝∠A＝40°，
∴△ACD为等腰三角形．
∵∠BCD＝∠A＝40°，∠CBD＝∠ABC，
∴△BCD∽△BAC，
∴CD是△ABC的完美分割线．
 
(2)(i)当AD＝CD时，如图①，∠ACD＝∠A＝48°.
∵△BDC∽△BCA，
∴∠BCD＝∠A＝48°，
∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝48°＋48°＝96°.
 
(ii)当AD＝AC时，如图②，∠ACD＝∠ADC＝180°－48°2＝66°.
∵△BDC∽△BCA，
∴∠BCD＝∠A＝48°，
∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝66°＋48°＝114°.
(iii)当AC＝CD时，如图③，∠ADC＝∠A＝48°.
 
∵△BDC∽△BCA，
∴∠BCD＝∠A＝48°.
∵∠ADC应大于∠BCD，∴此种情况不存在．
综上可知∠ACB的度数为96°或114°.
(3)由已知得AC＝AD＝2.
∵△BCD∽△BAC，
∴BCBA＝BDBC.设BD＝x，从而2x＋2＝x2，
即(2)2＝x(x＋2)．
∵x>0，∴x＝3－1，即BD＝3－1.
∵△BCD∽△BAC，∴CDAC＝BDBC，
即CD2＝3－12，
∴CD＝3－12×2＝6－2.
 
22．[解析] (1)体现了“特殊”的情形，AFEF＝3是一个确定的数值．如图a，过点E作AB的平行线，构造相似三角形，利用相似三角形和中位线的性质，分别将各相关线段统一用EH来表示，即可求得比值．
 
(2)体现了“一般”的情形，AFEF＝m不再是一个确定的数值，但(1)问中的方法仍适用，如图b所示．
 
(3)体现了“类比”与“转化”的情形，将(1)(2)问中的方法推广转化到梯形中，如图c所示．
解：(1)AB＝3EH　CG＝2EH　32　
(2)m2　过点E作EH∥AB，交BG于点H，则△ABF∽EHF，∴ABEH＝AFEF＝m，则AB＝m·EH，CD＝m·EH.易得EH为△BCG的中位线，则CG＝2EH.∴CDCG＝m·EH2EH＝m2.
(3)ab