北师大版七年级数学上册全册知识点汇总

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北师大版七年级数学上册全册知识点汇总

七上第一章丰富的图形世界

1.生活中常见的立体图形：圆柱、圆锥、棱柱、棱锥、球

       1）圆柱与棱柱

相同点：圆柱和棱柱都有两个底面且两个底面的形状、大小完全相同。

不同点：①圆柱的底面是圆，棱柱的底面是多边形。

             ②圆柱的侧面是一个曲面，棱柱的侧面是由几个平面围成的，且每个平面都是平行四边形，棱柱的底面是多边形，而圆柱的底面是圆。

       2）棱柱的有关概念及特点

     （1）棱柱的有关概念：在棱柱中相邻两个面的交线叫做棱，相邻两个侧面的交线叫做侧棱。

        （2）棱柱的三个特征：一是棱柱的所有侧棱长都相等；二是棱柱的上、下底面的形状相同，并且都是多边形；三是侧面的形状都是平行四边形。

        （3）棱柱的分类：棱柱可分为直棱柱和斜棱柱。本书只讨论直棱柱（简称棱柱），直棱柱的侧面是长方形。人们通常根据底面图形的边数将棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱……它们的底面图形的形状分别是三角形、四边形、五边形……

        （4）棱柱中的点、棱、面之间的关系：底面多边形的边数n确定该棱柱是n棱柱，它有2n个顶点，3n条棱，其中有n条侧棱，有（n+2）个面，n个侧面。

       3）点、线、面构成立体图形（图形的构成元素）

图形是由点、线、面构成的，其中面有平面，也有曲面；线有直线也有曲线。

点、线、面、体之间的关系是：点动成线，线动成面、面动成体，面与面相交得到线，线与线相交得到点。

2．展开与折叠

1）棱柱的表面展开图是由两个相同的多边形和一些长方形组成的。沿棱柱表面不同的棱剪开，可得到不同组合方式的表面展开图。

2）圆柱的表面展开图是由两个大小相同的圆（底面）和一个长方形（侧面）组成，其中侧面展开图长方形的一边的长是底面圆的周长，另一边的长是圆柱的高。

3）圆锥的表面展开图是由一个扇形（侧面）和一个圆（底面）组成，其中扇形的半径长是圆锥母线的长，而扇形的弧长则是圆锥底面圆的周长。

4）正方体是特殊的棱柱，它的六个面都是大小相同的正方形，将一个正方形的表面展开，可得到11个不同的展开图。（其中“一四一”的6个，“二三一”3个，“二二二”1个，“三三”1个）

3.截一个几何体

1）用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面，截面的形状既与被截面的几何体有关，还与截面的角度和方向有关。

2）用平面去截正方体，其截面形状：三角形、四边形、五边形、六边形

3）用平面去截圆柱，截面形状：圆、椭圆、长方形、梯形、类似于拱形

4）用平面去截圆锥，截面形状：圆、椭圆、三角形、类似于拱形

5）用平面去截球，截面形状：圆

4.从三个方向看物体的形状：正面看到的形状、左面看到的形状、上面看到的形状

题型：

题型一：识别立体图形

题型二：判断几何图形是如何构成的

例如：1.一只蚂蚁行走的路线可解释为点动成线

      2.自行车的辐条运动可解释为线动成体

3.一个圆以它的一条直径所在直线为轴旋转可解释为面动成体

 

七年级上册第二章有理数及其运算

1.有理数:

           有理数=整数+分数(包括有限小数+无限循环小数)

  整数=正整数+0+负整数    分数=正分数+负分数

 有理数=正有理数+0+负有理数

 正有理数=正整数+正分数  负有理数=负整数+负分数

l  正数的概念：数轴上0右边的数即比0大的数叫正数，形如+1，+0.5，+10.1，0.001…

l  负数的概念：数轴上0左边的数，形如-3，-0.2，-100…（负号不能省略）.

l  0既不是正数也不是负数，0是整数也是偶数.

①  正负数的表示方法：

盈利，亏损；  足球比赛胜，负；  收入，支出；   提高，降低； 上升，下降；

② 不投入不支出，不盈也不亏，海平面的海拔，某一个标准或基准….用0表示；

2.数轴：概念：规定了原点，正方向和单位长度的直线

数轴是一条可以向两端无限延伸的直线，数轴有三要素：原点，正方向，单位长度；

画法：首先画一条直线；在这条直线上任取一点，作为原点；再确定正方向，一般规定向右为正，画上箭头，反方向为负方向；最后选取适应的长度作为单位长度；

 数轴上的点与有理数的关系：任意一个有理数都可以用数轴上的点来表示。

有理数的大小比较：在数轴上表示的两个数，右边的数比左边的数大，正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数.

3. 相反数：

（1）  只有符号不同的两个数叫做互为相反数（在数轴上互为相反数的两点位于原点两侧，并且到原点的距离相等），0的相反数是0；

a,b互为相反数 a+b=0;

（2）  求一个数的相反数，只要在它的前面添上负号“-”即得原数的相反数，当原数是多个数的和差时，要用括号括起来再添“-”； 下面的a,b即可以是数字，字母，也可以是代数式；

（3）  一般地，数a的相反数是-a,这里的a表示任意一个数，可以是正数、负数、0.

4. 绝对值：

（1）    几何定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值 ；

（2）    代数定义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0；互为相反数的两个数的绝对值相等.

（3）    对于任何有理数a，都有a的绝对值≥0 ,即绝对值非负性； 若几个数的绝对值的和等于0，则这几个数同时为0；

（4）    比较两个负数，绝对值大的反而小；

5.倒数：（1）乘积为1的两个数互为倒数，所以数a(a≠0) 的倒数是 1/a，0没有倒数；

              （2）求一个整数的倒数，写成这个整数分之一；求一个小数的倒数，先将其化成分数，再求其倒数；求一个带分数的倒数，先将其化为假分数，再求出倒数.

             （3）用1除以一个非0数，商就是这个数的倒数.

6. 有理数的四则运算：

⑴ 加法法则：

①  同号两数相加，符号不变，把绝对值相加；

②  异号两数相加，绝对值相等时（即互为相反数的两个数）相加得0；绝对值不相等时，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.

③  一个数同0相加，仍得这个数；

有理数加法运算律：交换律和结合律（互为相反数的可先相加；相加可得整数的可先相加；同分母的分数可先相加；符号相同的可先相加；易于通分的可先相加）.

⑵ 减法法则：

①  减去一个数，等于加上这个数的相反数，依据加法法则

②  加减混合运算，通过减法法则将减法转化为加法，统一成只含有加法运算的和式；

减法没有交换律.

⑶ 乘法法则：

①   两数相乘，同号得正，异号得负，把绝对值相乘；

②   任何数同0相乘，得0；（另外1乘任何数都等于这个数本身；-1乘以任何数都等于这个数的相反数.）

③   几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数是奇数时，积为负；当负因数的个数是偶数时，积为正.

乘法的运算律：交换律、结合律、乘法对加法的分配律.

⑷ 除法法则：

①  两数相除，同号得正，异号得负，把绝对值相除；

②  0除以任何非0的数都得0.

③  除以一个数，等于乘上这个数的倒数，即 .

⑸ 乘方：

①  求几个相同因数积的运算，叫做乘方；乘方的结果叫做幂；， 表示n个相同因数乘积的运算；

②  负数乘方要用括号括起来；分数乘方要用括号括起来 ；当指数是1时，可省略不写；

③  正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数（奇次幂 2n+1,2n-1; 偶次幂  2n）；0的正整数次幂都是0.

⑹ 混合运算：

①  从左到右的顺序进行；

②  先乘方，再乘除，后加减；如有括号，应先算括号里面的；

7.  科学记数法

（1）  把一个大于10的数表示成 的形式（其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数,它的值等于原数的整数位数减1， ），这种记数方法叫科学记数法；

（2）  准确数与近似数：与实际完全相符的数是准确数；与实际相接近的数是近似数；

（3）  精确度：近似数与准确数的接近程度，可以用精确度表示；一般地，把一个数四舍五入到哪一位，就说这个数精确到了那一位；所以，精确度是描述一个近似数的近似程度的量；

（4）  有效数字：在近似数中，从左边第一个不是0的数字起，到精确的数位止，所有的数字都叫做这个数的有效数字；一共包含的数字的个数，叫做有效数字的个数；

七上第三章 整式及其加减

1.字母表示数

1）字母表示运算律     2）字母表示计算公式

字母可以表示任何数

2.代数式

  1）概念：像4+3（x-1），x+x+(x+1),a+b,ab,2(m+n),s/t 等式子都是代数式，单独一个数或一个字母也是代数式，如-5，a,b等.

2）书写要求：①字母与字母相乘时，乘号通常简写作“ ”或省略不写；数字与字母相乘时，数字在前；带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数后再与字母相乘；数字与数字相乘仍用“×”.

           ②除法一般写成分数形式

       ③     如果代数式是积或商的形式，单位直接写在后面；如果是和或差的形式，必须先把代数式用括号括起来再写单位。

3.整式

1）单项式：表示数字和字母的积，单独的一个数或一个字母也是单项式.

①  系数：单项式中的数字因数(包括其前面的符号)

②  次数：单项式中，所有字母的指数的和；单独的数字是0次单项式.

注意：（1）单项式中数与字母之间都是乘积关系，凡字母出现在分母中的式子一定不是单项式，如1/x不是单项式；（2）单项式中不含加减运算；（3）π是常数，在单项式中相当于数字因数；（4）定义中的“数”可以是小数，也可以是分数、整数.

2）多项式：几个单项式的和；在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫常数项；一个多项式含有几项，就叫几项式；

次数： 多项式里，次数最高项的次数，是多项式的次数；

注意：（1）确定多项式的项时，不要忽略它的符号；（2）关于某个字母的n次m项式，要求是合并同类项后的最简多项式.

3) 整式：单项式和多项式统称为整式.

4）同类项：① 概念：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项；与它们的系数大小无关，与字母顺序无关；几个常数也是同类项.

②合并同类项法则：同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变.

4.整式的加减：

1）整式加减是求几个整式的和或差的运算，其实质是去括号，合并同类项

2）法则：几个整式相加减，用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接，然后去括号，合并同类项.

3）化简求值：一是相加减化简，二是用具体数值代替整式中的字母，三是按式子的运算关系计算，计算其结果.

5.探索与表达规律：图形中的规律、数字中的规律、算式中的规律.

 

七上第四章 基本平面图形

1. 线段、射线、直线

1）线段

   （1）概念：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段，这两个点叫做线段的端点；有长度，有方向性；

（2）表示法：一条线段可以用它的两个端点的大写字母来表示，以A，B为端点的线段，可以记作“线段AB”或“线段BA”；用一个小写字母表示，如“线段a”.

   （3）线段基本性质：两点之间，线段最短.

（4）两点间的距离：两点之间线段的长度

（5）线段大小的比较方法：叠合法、度量法

2）射线

  ①概念：直线上的一点和它一旁的部分叫做射线，这点叫做射线的端点；可以向一端无限延伸，有方向性；

  ②表示法：一个射线可以用它的端点和射线上的另一点来表示，点O是端点，点A是射线上异于端点的另一点，记作“射线OA”；

3）直线

 （1）概念：直线是直的，没有端点，可以向两边无限延伸.

 （2）表示法：一条直线可以用一个小写字母表示，如“直线a”； 也可以用在直线上的两个点来表示，如“直线AB” .

 （3）性质：经过一点可以画无数条直线；经过两点有且只有一条直线

 （4）点与直线关系：点在直线上，或者说直线经过这个点；

                 点在直线外，或者说直线不经过这个点；

 （5）直线与直线关系： 平行，相交，垂直；

2.角

1）角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边.

2）从运动的观点看，角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形.

3）平角和周角：一条射线绕它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫做平角，终边继续旋转，当它又和始边重合时，所成的角叫做周角.

4）角的表示方法：

（1）用三个大写字母表示，记作∠AOB 或∠BOA其中O是角的顶点，写在中间；A，B分别是角的两条边上一点，写在两边，可以交换位置.

（2）用大写的英文字母表示，记作 ∠O，用这种方法表示角的前提是以这个点做顶点的角只有一个，否则容易引起歧义.

（3）用数字或小写希腊字母表示，在靠近顶点处加上弧线注上阿拉伯数字或小写希腊字母；

    5）角的度量：

        量角器：对中（顶点对中心），重合（角的一边与量角器上零刻度重合），读数（读出角的另一边所在线的度数）

角的单位换算：度分秒是常用的角的度量单位，把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作 1°，把一度的角60等分，每一份叫做1分的角，记作1′ ；把1分的角60等分，每一份叫做1秒的角，叫做1″ ； 1周角=2平角=4直角； 1°=60′ ，1′ =60″； 两级之间进阶是60.

6）角的分类：锐角大于0度小于90度，直角90度，钝角大于90度小于180度，平角180度，周角360度.

     7）角的比较：度量法、叠合法

3.多边形和圆的初步认识：

1）三角形

（1）定义：由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形，组成三角形的线段叫三角形的边，相邻两边的公共端点是三角形的顶点，相邻两边组成的角是三角形的内角，简称三角形的角；

（2）表示方法：三角形用符号“ △”表示，顶点为A，B，C的三角形记作“△ ABC”，读作“三角形ABC”； ABC的三边，有时也用a,b,c；顶点A所对的边BC用a表示，顶点B所对的边AC用b表示，顶点C所对的边AB用c表示.

2）多边形

（1）定义：若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形；多边形有几条边就叫做几边形，只讨论凸多边形.

（2）内角：相邻两条边组成的角叫做多边形的内角，n边形有n个角.

（3）多边形的对角线：连接不相邻两个顶点的线段

（4）多边形的分割：任何一个多边形都可以分割成若干个三角形，一个n边形从一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以将其分割成（n-2）个三角形.

（5）正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.

    3）圆

（1）定义：在平面上，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点形成的图形叫做圆

（2）确定圆的条件：圆心（确定圆的位置）和半径（确定圆的大小），二者缺一不可.

（3）圆弧：圆上任意两点之间的部分叫做圆弧.

（4）扇形：由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径组成的图形.

（5）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角

七上第五章 一元一次方程

1.一元一次方程

1)概念：在一个方程中，只含有一个未知数，而且方程中的代数式都是整式，未知数的指数都是1，这样的方程叫做一元一次方程.

2）方程的解：使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解.

3）等式的基本性质1:等式两边同时加（或减）同一个代数式，所得结果仍是等式。

   等式的基本性质2：等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式.

4)利用等式的基本性质解一元一次方程：利用等式的性质把方程ax+b=0(a≠0)进行变形，最后化为x=-b/a的形式，它一般先运用基本性质1，将ax+b=0变形为ax=-b，然后运用基本性质2，将ax=-b变形为x=-b/a即可。

2.求解一元一次方程

  1）移项：方程中任何一项，都可以在改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项.(注意：移项要变号)

2)解一元一次方程的基本思想：根据等式的基本性质把一元一次方程化简为ax=b（a,b为常数，且a≠0）的形式，再得到方程的解为x=b/a.

3）解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1

3.列一元一次方程解应用题

步骤：审清题意、找出等量关系、设未知数、列一元一次方程、解一元一次方程、检验解的合理性、写出答案.

七上第六章 数据的收集与整理

1.数据的收集

1）方式：问卷调查、访谈、查阅资料、实地调查、试验、网上搜索等（根据具体情况合理地选择数据收集的方式）.

2）步骤：（1）明确调查的问题和目的；（2）确定调查对象；（3）选择调查方式；（4）设计调查问题；（5）展开调查；（6）收集并整理数据；（7）分析数据，得出结论.

2.普查和抽样调查

1）普查：对所有考察对象进行全面调查叫普查

   优点：可以直接获得总体情况；

   缺点：总体中个体数目较多时，普查的工作量较大.

2）总体：所要考察的对象的全体叫总体

个体：组成总体的每一个考察对象叫做个体

1）抽样调查：从总体中抽取部分个体进行调查，这种调查叫做抽样调查

优点：调查范围小，节省时间、人力、物力及财力

缺点：没有普查得到的结果准确

样本：从总体中抽取的部分个体叫做总体的一个样本，为了获得较为准确的调查结果，抽样时要注意样本的代表性和广泛性.

3.数据的表示

1）扇形统计图

概念：用圆代表总体，圆中的各个扇形分别代表总体中的不同部分，扇形的大小反映部分占总体的百分比的大小.

特点：（1）反映具体问题中的部分与总体的数量关系.

（2）只能得到各部分的百分比，得不到具体数量.

（3）在扇形统计图中，每部分占总体的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360度的比.

绘制扇形统计图的步骤：计算各部分占总体的百分比

                      计算各部分对应的扇形的圆心角的度数

                      画出扇形统计图，表上百分比

                      写出扇形统计图的名称

2)条形统计图：一般是由两条互相垂直的数轴和若干长方形组成，两条数轴分别表示两个不同的项目，长方形的高表示其中一个项目的数据.

特点：能清楚地表示出每个项目的具体数据.

3）频数直方图

（1）频数：在数据统计中每个对象出现的次数称为频数

   （2）注意：频数能反映每个对象出现的频繁程度；所有对象的频数之和等于数据总数.

（3）绘制频数直方图的步骤：计算所给数据的最大值与最小值的差；决定组距和组数；确定分点；列频数分布表；绘制频数直方图

（4）频数直方图是一种特殊的条形统计图，它将统计对象的数据进行了分组，画在横轴上；纵轴（即长方形的高）表示各组数据的频数.

（5）频数直方图的优点：能更清晰、更直观地反映数据的整体状况.

4）折线统计图：用折线的起伏表示数据的增减变化.

4.统计图的选择

条形统计图：清楚地表示每个项目的具体数目

折线统计图：清楚地反映事物的变化情况

扇形统计图：清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比

频数直方图: 能更清晰、更直观地反映数据的整体状况.

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