2017年必修5数学《1.1.1数列的概念》习题精选(北师大含答案)

1.1　数列的概念
课后篇巩固探究
A组
1.将正整数的前5个数作如下排列:①1,2,3,4,5;②5,4,3,2,1;③2,1,5,3,4;④4,1,5,3,2.则可以称为数列的是 (　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.① B.①② C.①②③ D.①②③④
解析:4个都构成数列.
答案:D
2.已知数列{an}的通项公式为an= ,则该数列的前4项依次为(　　)
A.1,0,1,0 B.0,1,0,1
C. ,0, ,0 D.2,0,2,0
解析:把n=1,2,3,4分别代入an= 中,依次得到0,1,0,1.
答案:B
3.数列1, ,…的一个通项公式是(　　)
A.an=  B.an=
C.an=  D.an=
解析:1=12,4=22,9=32,16=42,1=2×1-1,3=2×2-1,5=2×3-1,7=2×4-1,故an=  .
答案:A
4.已知数列{an}的通项公式an= ,若ak= ,则a2k= (　　)
A.  B.99 C.  D.143
解析:由ak= ,于是k=6(k=-6舍去).
因此a2k=a12= .
答案:C
5.已知数列 ,…,则三个数0.98,0.96,0.94中属于该数列中的数只有(　　)
A.1个 B.2个
C.3个 D.以上都不对
解析:由已知可得该数列的一个通项公式an= .令an=0.98,解得n=49,令an=0.96,解得n=24,令an=0.94,解得n= ∉N+.故只有0.98和0.96是该数列中的项.
答案:B
6.已知曲线y=x2+1,点(n,an)(n∈N+)位于该曲线上,则a10=　　　　　.
解析:由题意知an=n2+1,因此a10=102+1=101.
答案:101
7.数列 ,3, ,3 ,…的一个通项公式是　　　　　　　　　　.
解析:数列可化为 ,…,即 ,…,每个根号里面可分解成两数之积,前一个因式为常数3,后一个因式为2n-1,故原数列的通项公式为an= ,n∈N+.
答案:an=
8.已知数列{an}的通项公式an= ,则 -3是此数列的第　　　　　项.
解析:令 -3,得 -3,解得n=9.
答案:9
9.写出下列各数列的一个通项公式:
(1)4,6,8,10,…
(2) ,…
(3) ,-1, ,- ,- ,…
(4)3,33,333,3 333,…
解(1)各项是从4开始的偶数,所以an=2n+2.
(2)数列中的每一项分子比分母少1,而分母可写成21,22,23,24,25,…,2n,故所求数列的通项公式可写为an= .
(3)所给数列中正、负数相间,所以通项中必须含有(-1)n+1这个因式,忽略负号,将第二项1写成 ,则分母可化为3,5,7,9,11,13,…,均为正奇数,分子可化为12+1,22+1,32+1,42+1,52+1,62+1,…,故其通项公式可写为an=(-1)n+1• .
(4)将数列各项写为 ,…,分母都是3,而分子分别是10-1,102-1,103-1,104-1,…,所以an= (10n-1).
10.已知数列{an}的通项公式为an=3n2-28n.
(1)写出数列的第4项和第6项;
(2)问-49是不是该数列的一项?如果是,应是哪一项?68是不是该数列的一项呢?
解(1)a4=3×16-28×4=-64,
a6=3×36-28×6=-60.
(2)设3n2-28n=-49,解得n=7或n= (舍去),∴n=7,即-49是该数列的第7项.
设3n2-28n=68,解得n= 或n=-2.
∵ ∉N+,-2∉N+,
∴68不是该数列的项.
B组
1.数列2,- ,4,- ,…的通项公式是(　　)
A.an=2n(n∈N+) B.an= (n∈N+)
C.an= (n∈N+) D.an= (n∈N+)
解析:将数列各项改写为 ,- ,- ,…,观察数列的变化规律,可得an= (n∈N+).
答案:C
2.已知数列{an}的通项公式an= ,则an•an+1•an+2等于(　　)
A.  B.  C.  D.
解析:∵an= ,an+1= ,an+2= ,
∴an•an+1•an+2= .
答案:B
3.根据下列5个图形中相应点的个数的变化规律,猜测第n个图形中有(　　)个点.
 
A.n2-n+1 B.2n2-n
C.n2 D.2n-1
解析:观察图中5个图形点的个数分别为1,1×2+1,2×3+1,3×4+1,4×5+1,故第n个图形中点的个数为(n-1)n+1=n2-n+1.
答案:A
4.用火柴棒按下图的方法搭三角形:
 
按图示的规律搭下去,则所用火柴棒数an与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是　　　　　　　　　　.
解析:∵a1=3,a2=3+2=5,a3=3+2+2=7,a4=3+2+2+2=9,…,∴an=2n+1.
答案:an=2n+1
5.在数列 ,…中,有序数对(a,b)可以是　　　　　　　　.
解析:从上面的规律可以看出分母的规律是:1×3,2×4,3×5,4×6,…,分子的规律是:5,5+5,5+5+7,5+5+7+9,…,
所以 解得a= ,b=- .
答案:
6. 导学号33194000已知数列{an}的通项公式an=a•2n+b,且a1=-1,a5=-31,则a3=　　　　　.
解析:由已知得 解得
即an=-2n+1,于是a3=-23+1=-7.
答案:-7
7.如图,有m(m≥2)行(m+1)列的士兵队列.
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(1)写出一个数列,用它表示当m分别为2,3,4,5,6,…时队列中的士兵人数;
(2)写出(1)中数列的第5,6项,用a5,a6表示;
(3)若把(1)中的数列记为{an},求该数列的通项公式an;
(4)求a10,并说明a10所表示的实际意义.

解(1)当m=2时,表示2行3列,人数为6;
当m=3时,表示3行4列,人数为12,依此类推,故所求数列为6,12,20,30,42,….
(2)队列的行数比数列的序号大1,因此第5项表示的是6行7列,第6项表示7行8列,故a5=42,a6=56.
(3)根据对数列的前几项的观察、归纳,猜想数列的通项公式.
前4项分别为6=2×3,12=3×4,20=4×5,30=5×6.因此an=(n+1)(n+2).
(4)由(3)知a10=11×12=132,a10表示11行12列的士兵队列中士兵的人数.
8. 导学号33194001在数列{an}中,a1=2,a17=66,通项公式是关于n的一次函数.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求a2 017;
(3)是否存在m,k∈N+,满足am+am+1=ak?若存在,求出m,k的值,若不存在,说明理由.
解(1)设an=kn+b(k≠0),则由a1=2,a17=66得,
 解得
所以an=4n-2.
(2)a2 017=4×2 017-2=8 066.
(3)由am+am+1=ak,得4m-2+4(m+1)-2=4k-2,
整理后可得4m=2k-1,
因为m,k∈N+,所以4m是偶数,2k-1是奇数,
故不存在m,k∈N+,使等式4m=2k-1成立,
即不存在m,k∈N+,使am+am+1=ak.