【真题】2018年新课标III卷高考数学试题（文有答案）

2018年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学

注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，不规则选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答案卡一并交回。

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给的四个选项中，只有一项符合）
1．已知集合 ， ，则 （    ）
A．     B．  

3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫棒头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是棒头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（    ）
 

4．若 ，则 （    ）
A．     B．     C．     D．
 

5．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为（    ）
A．0.3    B．0.4    C．0.6    D．0.7

6．函数  的最小正周期为（    ）
A．     B．     C．     D．

7．下列函数中，其图像与函数 的图像关于直线 对称的是（    ）
A．   B．   C．   D．

8．直线 分别与 轴， 轴交于 ， 两点，点 在圆 上，则 面积的取值范围是（    ）
A．    B．    C．   D．

9．函数 的图像大致为（    ）
 

10．已知双曲线 （ ）的离心率为 ，则点 到 的渐近线的距离为（    ）
A．     B．     C．     D．

11． 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ．若 的面积为 ，则 （    ）
A．     B．     C．     D．

12．设 ， ， ， 是同一个半径为4的球的球面上四点， 为等边三角形且其面积为 ，则三棱锥 体积的最大值为（    ）
A．    B．    C．    D．

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知向量 ， ， ．若 ，则 ________．

14．某公司有大量客户，且不同龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________．

15．若变量 满足约束条件 则 的最大值是________．

16．已知函数 ， ，则 ________．

三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~31题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22.23题为选考题，考生根据要求作答．）
（一）必考题：共60分。
17．（12分）
等比数列 中， ．
⑴求 的通项公式；
⑵记 为 的前 项和．若 ，求 ．
 
18．（12分）
某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：
 
⑴根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；
⑵求40名工人完成生产任务所需时间的中位数 ，并将完成生产任务所需时间超过 和不超过 的工人数填入下面的列联表：
 超过
不超过

第一种生产方式  
第二种生产方式  

⑶根据⑵中的列表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？
附： ， ．
 

19．（12分）
如图，矩形 所在平面与半圆弧 所在平面垂直， 是 上异于 ， 的点．
⑴证明：平面 古面 ；
⑵在线段 上是否存在点 ，使得 平面 ？说明理由．
 
 

20．（12分）
已知斜率为 的直线 与椭圆 交于 ， 两点．线段 的中点为 ．
⑴证明： ；
⑵设 为 的右焦点， 为 上一点,且 ．证明:  ．
 

21．（12分）
已知函数 ．
⑴求由线 在点 处的切线方程；
⑵证明：当 时， ．
 

（二）选考题：共10分，请考生在第22.23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系 中， 的参数方程为 （ 为参数），过点 且倾斜角为 的直线 与 交于 两点．
⑴求 的取值范围；
⑵求 中点 的轨迹的参数方程．

23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
设函数 ．
⑴画出 的图像；
⑵当 ，  ，求 的最小值．
 

答案
单选题
1.  C 2.  D 3.  A 4.  B 5.  B 6.  B 7.  A 8.  A 9.  D 10.  D 11.  C 12.  B
填空题
13.