2018年高考数学理科真题（全国卷II）

2018年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
本试卷共23题，共150分

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是复合题目要求的。
1． （   ）
A．    B．    C．    D．

2．已知集合 ，则 中元素的个数为（   ）
A．9     B．8    C．5    D．4

3．函数 的图象大致是（   ）
 

4．已知向量 满足， ， ，则 （   ）
A．4     B．3    C．2    D．0
5．双曲线 的离心率为 ，则其渐近线方程为（   ）
A．    B．    C．   D．
6．在 中， ， ， ，则 =（   ）
A．     B．     C．     D．
7．为计算 ，设计了右侧的程序框图，
  则在空白框中应填入（   ）
A．
B．
C．
D．

8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如 ．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（   ）
A．     B．     C．     D．

9．在长方体 中， ， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为（   ）
A．     B．     C．     D．

10．若 在 是减函数，则 的最大值是（   ）
A．     B．     C．     D．

11．已知 是定义域为 的奇函数，满足 ．若 ，则 （   ）
A．     B．     C．     D．

12．已知 ， 是椭圆 的左、右焦点交点， 是 的左顶点，点 在过 且斜率为 的直线上， 为等腰三角形， ，则 的离心率为（   ）
A．     B．     C．     D．
二、填空题，本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．曲线 在点 处的切线方程为__________．

14．若 满足约束条件 ，则 的最大值为_________．

15．已知 ， ，则 __________．

16．已知圆锥的顶点为 ，母线 ， 所成角的余弦值为 ， 与圆锥底面所成角为 ．若 的面积为 ，则该圆锥的侧面积为_________．

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题。每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必答题：60分。
17．（12分）
记 为等差数列 的前 项和，已知 ， ．
（1）求 的通项公式；
（2）求 ，并求 的最小值．

18．（12分）
下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额 （单位：亿元）的折线图．
 
为了预测改地区2018年的环境基础设施投资额，建立了 与时间变量 的两个线性回归模型．根据2000年至2016年数据（时间变量 的值依次为 ）建立模型①： ：根据2010年至2016年的数据（时间变量 的值依次为 ）建立模型②： ．
（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；
（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．

19．（12分）
设抛物线 的焦点为 ，过 且斜率为 的直线 与 交于 两点。 ．
（1）求 的方程；
（2）求过点 且与 的准线相切的圆的方程．

20．（12分）
如图，在三棱锥 中， ， ， 为 的中点．
（1）证明： 平面 ；
（2）若点 在棱 上，且二面角 为 ，求 与平面 所成角的正弦值．
 

21．（12）
已知函数 ．
（1）若 ，证明：当 时， ；
（2）若 在 只有一个零点，求 ．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一部分计分。
22．【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分）
在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），直线 的参数方程为 （ 为参数）．
（1）求 和 的直角坐标方程；
（2）若曲线 截直线 所得线段的中点坐标为 ，求 的斜率．

23．【选修4-5：不等式选讲】（10分）
设函数 ．
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若 ，求 的取值范围．