2018年高考数学理科真题(全国卷II)

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2018年高考数学理科真题(全国卷II)

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2018年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
本试卷共23题,共150分


一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是复合题目要求的。
1. (   )
A.    B.    C.    D.

2.已知集合 ,则 中元素的个数为(   )
A.9     B.8    C.5    D.4

3.函数 的图象大致是(   )
 

4.已知向量 满足, , ,则 (   )
A.4     B.3    C.2    D.0
5.双曲线 的离心率为 ,则其渐近线方程为(   )
A.    B.    C.   D.
6.在 中, , , ,则 =(   )
A.     B.     C.     D.
7.为计算 ,设计了右侧的程序框图,
  则在空白框中应填入(   )
A.
B.
C.
D.

 

 

8.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如 .在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是(   )
A.     B.     C.     D.

9.在长方体 中, , ,则异面直线 与 所成角的余弦值为(   )
A.     B.     C.     D.

10.若 在 是减函数,则 的最大值是(   )
A.     B.     C.     D.

11.已知 是定义域为 的奇函数,满足 .若 ,则 (   )
A.     B.     C.     D.

12.已知 , 是椭圆 的左、右焦点交点, 是 的左顶点,点 在过 且斜率为 的直线上, 为等腰三角形, ,则 的离心率为(   )
A.     B.     C.     D.
二、填空题,本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.曲线 在点 处的切线方程为__________.


14.若 满足约束条件 ,则 的最大值为_________.


15.已知 , ,则 __________.


16.已知圆锥的顶点为 ,母线 , 所成角的余弦值为 , 与圆锥底面所成角为 .若 的面积为 ,则该圆锥的侧面积为_________.

 


三、解答题:共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题。每个试题考生都必须作答,第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必答题:60分。
17.(12分)
记 为等差数列 的前 项和,已知 , .
(1)求 的通项公式;
(2)求 ,并求 的最小值.

 

 

 

 

 


18.(12分)
下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额 (单位:亿元)的折线图.
 
为了预测改地区2018年的环境基础设施投资额,建立了 与时间变量 的两个线性回归模型.根据2000年至2016年数据(时间变量 的值依次为 )建立模型①: :根据2010年至2016年的数据(时间变量 的值依次为 )建立模型②: .
(1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值;
(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.

 

 

 

19.(12分)
设抛物线 的焦点为 ,过 且斜率为 的直线 与 交于 两点。 .
(1)求 的方程;
(2)求过点 且与 的准线相切的圆的方程.

 

 

 


20.(12分)
如图,在三棱锥 中, , , 为 的中点.
(1)证明: 平面 ;
(2)若点 在棱 上,且二面角 为 ,求 与平面 所成角的正弦值.
 

 

 

 

 

21.(12)
已知函数 .
(1)若 ,证明:当 时, ;
(2)若 在 只有一个零点,求 .

 

 

 


 

(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一部分计分。
22.【选修4-4:坐标系与参数方程】(10分)
在直角坐标系 中,曲线 的参数方程为 ( 为参数),直线 的参数方程为 ( 为参数).
(1)求 和 的直角坐标方程;
(2)若曲线 截直线 所得线段的中点坐标为 ,求 的斜率.

 

 

 

 

 

23.【选修4-5:不等式选讲】(10分)
设函数 .
(1)当 时,求不等式 的解集;
(2)若 ,求 的取值范围.


 

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