高考数学好题速递400题（第201—250题含答案和解释)

好题速递201题
解析几何模块4．已知曲线 的方程 ， ，存在一定点 和常数 ，对曲线 上的任意一点 ，都有 成立，则点 到直线 的最大距离为                 ．
解法一：由 得
即
故 ，将 代入 得 ，得 ，
又直线 恒过定点 ，所以由几何性质知点 到直线 的最大距离为点 与 的距离为
解法二：作为小题，由 知是阿氏圆轨迹，故取圆 直径上的两个点 ，即可得 ，解得 ，
好题速递202题
解析几何模块5．已知 是 的对称轴和准线的交点，点 是其焦点，点 在该抛物线上，且满足 ，当 取得最大值时，点 恰在以 、 为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为                   ．
解：作 ，由抛物线定义
 ，其中
要使 取得最小值，即 最小，即 最大值，即 最小，此时 是抛物线的切线．
设 的方程为 ，
与 联立得
因为相切，故 ，解得
故 ，
由 ，得

好题速递203题
解析几何模块6． 已知斜率为1的直线 过双曲线 的左焦点 ，且与双曲线左、右支分别交于 两点，若 是线段 的中点，则双曲线的离心率为              ．
解：由题意知
 
 
所以 ，所以

好题速递204题
解析几何模块7． 已知点 是双曲线 上的动点， 是其左、右焦点， 坐标原点，若 的最大值是 ，则此双曲线的离心率是               ．
 解：设 ，则
又 ，所以
所以
 
所以
所以 的最大值在 时取到，所以
所以 ，即

好题速递205题
解析几何模块8．在平面直角坐标系 中，圆 的方程为 ，直线 与圆 相交于 两点， 为弦 上一动点，以 为圆心，2为半径的圆与圆 总有公共点，则实数 的取值范围是           ．
解：两圆有公共点的充要条件是 ，而 恒成立，故只要 时两圆必有公共点．由平面几何知识可知， 为点 到直线 的距离 ，所以 ，解得

好题速递206题
解析几何模块9．已知点 ， ，若圆 上存在一点 ，使得 ，则 的最大值为                    ．
解：由 得 在以 中点 为圆心， 为半径的圆上，所以 的轨迹方程为 ，所以圆 的半径为 ，又由 在圆 上， 的圆心 ，半径为1，当圆 与圆 内切时， 最大为

好题速递207题
立体几何模块1．如图，在正方体 中， 是棱 的中点， 是侧面 上的动点，并且 平面 ，则动点 的轨迹是（        ）
A．圆         B．椭圆         C．抛物线         D．线段
解：如图，取 的中点 ， 的中点 ，显然可证明平面 平面 ，当 在线段 上时，均有 平面 ，即动点 的轨迹是线段 。
点评：善于转化是解决立体几何中平行与垂直问题的关键。例如，考虑“线线平行”时，可转化为“线面平行”或“面面平行”；考虑“线面平行”时，可转化为“线线平行”或“面面平行”；考虑“面面平行”时，可转化为“线线平行”或“线面平行”。
在斜二测画法画图时，平行关系不会改变，因为要找平行线，可以考虑在图象上推平行线，然后关注哪个位置看起来比较特殊，例如中点，中位线之类。

好题速递208题
立体几何模块2．如图，在三棱柱 的侧棱 与 上各有一个动点 ， ，且满足 ， 是棱 上的动点，则 的最大值是                ．
解法一：设 ，则
（注：这里用到了梯形 的面积与 的面积相等。）
即 与 重合时， 最大，
解法二：设 ， 为定值，则 是关于 的增函数
所以

好题速递209题
立体几何模块3．已知线段 ，且 与平面 的距离为4，点 是平面 上的动点，且满足 ，若 ，则线段 长度的取值范围是               ．
解：如图，将线段 投影到平面 上，得到射影 ，将空间问题平面化，则动点 的轨迹是以 为圆心，半径为 的圆，
又 ， ， ，
所以 ，即
好题速递210题
立体几何模块4．已知 为正方体 对角线 上的一点，且 ，下面结论：
① ；②若 平面 ，则 ；③若 为钝角三角形，则 ；
④若 ，则 为锐角三角形．
其中正确结论的序号为                   ．
解：在正方体 中， 平面 ，又 平面 ，故 ，①正确；
由题可知 ，若 平面 ，则
设正方体的棱长为1，则 ， ， ，在 中，
所以 ，所以 ，②正确；
在正方体 中，以 为 轴， 为 轴， 为 轴建系，设棱长为2，则
设 ，由 ，得
所以 ， ，
若 为钝角三角形，则 为钝角， ，解得 ，③错；
同理，当 时， ，所以 为锐角三角形，④正确。
所以正确结论为①②④。

好题速递211题
立体几何模块5．如图，在棱长为1的正方体 中，若点 是棱上一点，则满足 的点有               个．
解：点 既在以 为焦点，长轴为2的椭球上，又在正方体的棱上。
因为 ，故点 在以 为焦点，长轴为2的椭球外，所以椭球必与线段 相交（交点就是 的中点），同理在 上各有一个交点满足条件
又若点 在 上，则 ，故 上不存在满足条件的点 ，同理 上也不存在满足条件的点 。
好题速递212题
立体几何模块6．将一个长宽分别为 的铁皮的四个角切去相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体的盒子（不计粘合处），若这个长方体的外接球的面积存在最小值，则 的取值范围是                  ．
解：设切去的小正方形的边长为 ，长方体的外接球的半径为
则
因为长方体的外接球的面积存在最小值，所以 ，解得

好题速递213题
在直角梯形 中， ， ， ， ，动点 在以 为圆心且过点 的圆内运动（不含边界），设 ，则 的取值范围是                  ．
解：建立直角坐标系， ，  ， ， ，
由 得
动点 在 内运动，所以
求目标函数 的取值范围是

好题速递214题
在曲线 上任取 两点，则 的最小值为                ．
解：记 ，则
且 ， ，
同时满足 ，即 ，
 
当且仅当 时取得“=”，故 的最小值为2．
好题速递215题
已知函数 是定义在 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数 都有 ，则                 ．
解：令 ，则 ，所以
令 ，则
当 时，由 得
则 ，故

好题速递216题
已知实数 ，设函数 的两个零点分别为 ，则下列关系中恒成立的是（        ）
（A）                    （B）
（C）                    （D）
解： 的两个零点，
即 的两个零点
因为 开口向上， ，又 ，所以
即函数 的零点一个大于 ，一个小于 ，且 ，
所以根据“一上一下，中间一点”的原则，可知 ，选C

好题速递217题
已知点 在抛物线 上，若 的三个顶点都在抛物线 上，记三边 所在直线的斜率分别为 ，则               ．
解： ，设 ，
所以
点评：抛物线题目的计算量相对于椭圆、双曲线要小一些，主要是基于抛物线上的点的设法 ，在化简过程中利用好平方差公式，可以使得计算简便。这个过程要做到比较熟练。

好题速递218题
已知函数 与函数 在区间 上都有零点，则 的最小值为                           ．
解：由题意知， ，两式相加得
 ，两式相加得
所以
当且仅当 时取得等号。
点评：这里用到了基本不等式，如果一下子看不出来，也可以先利用齐次化思想，将分子分母同除以 ，令 ，将式子简化，就容易发现了。

好题速递219题
已知函数 ，若 在 上既有最大值又有最小值，且最大值与最小值的和为4，则                 ．
解：
已知 在 上既有最大值又有最小值，故
又 是奇函数，且最大值与最小值的和为4，则 ，
故

好题速递220题
对于函数 ，如果存在区间 ，同时满足下列条件：① 在 内是单调的；②当定义域是 时， 的值域也是 ，则称 是该函数的“和谐区间”．若 存在“和谐区间”，则 的取值范围是               ．
解：因为 在 和 上是增函数，所以 或 ，且 ，
因此 是方程 的两个不相等且同号的实数根，即 有两个不相等且同号的实数根
又 且 ，故只需 ，解得
又 ，故

好题速递221题
已知以 为周期的函数 ，其中 ，若 恰有5个实数解，则 的取值范围是               ．
解：当 时，原函数式化为方程 ，表示一个半椭圆，当 时，是两线段 和 组成的折线，再根据周期性画出大致图象如图所示。
由图象可知，当直线 与第二个半椭圆 相交，而与第三个半椭圆 无交点时，方程 恰有5个实数解，
由方程组 消去 得
由 ，解得
由方程组 消去 得
由 ，解得 ，所以
好题速递222题
（2015重庆理科第16题）若函数 的最小值为5，则  ________．
解法一：按照 两类分类讨论，画出 的折线图，图象最低点的纵坐标为5，求得 或
解法二：由题意得 ，从而
设
 的图象是以 为顶点的开口向上的“V”形图。
 的图象是以 为顶点的开口向下（开口比 的图象开口大）的“V”形图，且与 轴交点的坐标为 。
当 或 时， ，所以若函数 的最小值为5，则 或

好题速递223题
若动点 在直线 上，动点 在直线 上，设线段 的中点为 ，且 ，则 的取值范围是________．
解法一：设点 满足 ，点 满足
两式相加得点 的轨迹是直线
同时点 满足
所以满足条件的点 在线段 上，其中点 ， 分别为直线 与圆 的交点， 表示线段 上的点与坐标原点连线距离的平方，所以当 运动到 或 时， 取得最大值为16，当 运动到圆心 时， 取得最小值为8，故
解法二：将 代入 ，得到
将 代入 得

好题速递224题
★设反比例函数 与二次函数 的图象有且仅有两个不同的公共点 ， ，且 ，则                   ．
解： 与 的图象有且仅有两个不同的公共点
 方程 有两个不同的实数根
 方程 有两个不同的实数根
三次方程仅有两个实根，故必有一个是一次根，一个是重根。
 方程 或
对于第一种情况，等式两边展开比较系数得 ， ，
故 ，因为 ，所以 ，
 
对于第二种情况，等式两边展开比较系数得 ， ，
故 ，因为 ，所以 ，但由 知 ，与 矛盾，故舍去。
点评：本题是自山东高考题改编而来，解法中运用了三次方程求根的因式分解，奇次根穿过与偶次根反弹的问题。浙江高考曾多次考过类似的问题，值得注意。例如：
（2014浙江文7）已知函数 ，且 ，则
A．          B．            C．             D．
解：方程 的三个根为 ，
故
比较系数得 ，故
（2012浙江理17）设 ，若 时均有 ，则 ____．
解： ，且 ，因为 对 恒成立，则 必是二重零点
代入得： ，解之得： ，舍去 ，得答案：
（2013浙江文16）设 ，若 时恒有 ，则      。
【解析】当 时，有 ，所以得 ，代回原式
 
故 必定是重根，即 中必有因子 ，所以 ，所以
点评：这三道题都是加深零点意义理解的好题。零点就像是x轴上的守门员，关系着函数正负性变化的重任，“奇重零点穿过，偶重零点反弹”。
好题速递225题
设 是正实数，且 ，则 的最小值是________．
解：设 ， ，则题目变为“已知 ，求 的最小值。
 
当且仅当 ，即 ，即 时取得等号
点评：本题还是分母换元使得式子简化，灵活运用均值不等式。

好题速递226题
（重庆高考题）函数 的值域是__________．
解：
设 ，则问题变为求 的值域
解法一：当 时，有
将 视为圆 上任一点与原点连线的斜率，结合图形可知 ，
所以 ，
当 时，
综上可知，
解法二：注意到 ，联想其结构特征与三角函数中的正余弦定义式相似
于是设直线 的倾斜角为 ，则
所以
好题速递227题
已知 ， ， ， ，则 的取值范围是________．
解法一：考虑向量模的几何意义
由 和 ，可作出图形
 的终点 必在以 为直径的圆 上
又 ，故 的终点 必在以 为圆心，1为半径的圆上
所以问题转化为 与 （半径为1的小圆）有交点
注意到 的半径为 ，圆心距
所以两圆相交需满足
且有
作一个整体换元，设 ，
问题转化为规划问题，已知 ，求 的取值范围。
如图可得
解法二：代数方法
 ，因此只需求 的取值范围
由 得
所以
即 ，解得
所以 ，故
解法三：解析几何坐标方法
解：设 ，设A，B是以O为圆心，2为半径的圆上两点，且ACBC，则 | a－b | = AB = 2 MC．
∵MO2  MA2 = OA2，而MA = MC，∴MO2  MC2 = 4．
设 ，则 ，
即 ．（*）
| a－b | = AB = 2 MC =   ．
由（*）知， ，
∴ ，即 ．
∴ ．

好题速递228题
已知实数 ，满足 ， ，则 的最大值是________．
解：记 ，则
 
因为
故
即 的最大值是 

好题速递229题
设函数 ， ，若对任意的 ，总存在 ，使得 成立，则实数 的取值范围是________．
解法一：由题意知 的值域是 值域的子集，易得 的值域是
设 ，则 的值域为 的值域，再通过分类讨论进行解答
 或 或 或
解得
解法二：解法一常规，但计算量较大，作为填空题不划算。故从数形结合的角度，利用函数图象给出解法二。
 的值域是 ，设 ，
则问题可以转化为对任意实数 ，关于 的方程 在 上有解，
即对任意实数 ，总存在 ，使得直线 与 在 是有公共点，
即直线 与一簇函数 个个都有公共点，
从图象上显然看到，只要直线 与函数 有公共点即可，于是求得

好题速递230题
在 中， 边上的中线 ，若动点 满足 ，则 的最小值是                  ．
解：因为 ，系数之和为1，故 三点共线，且 ，所以点 在线段 上，设 ，
故
当 时，取最小值

好题速递231题
设数列 满足 ，且 ，则                  ．
解：找规律。易知 ， ， ， ， ，……，
故数列 是周期为5的数列，所以

好题速递232题
设数列 满足 ，且 ，则                  ．
解：
即
令 ，则 ，即数列 是等比数列，且 ，故 ，即

好题速递233题
已知 ，函数 的零点分别为 ，函数 的零点分别为 ，则 的最小值为           ．
解：
 
由（1）（2）得
因为 ，故
好题速递234题
已知函数 ，其中 ，设 为 的一个零点，若 ，则符合条件的 的值有           个．
解：
因为 ，故 ，解得
由 知，
当 时， ；当 时， ；当 时， （舍去）；当 时，
综上，符合条件的 或 ，有两个值。

好题速递235题
已知 是 的外心， ， ， ，若 ，则 的最小值为                   ．
解：因为 ，
解得  ，
故
点评：这里又是三角形外心与向量的常见结合题，“外心点积转边投影”是正道。

好题速递236题
★已知函数 ，设 ， ，若函数 有四个零点，则 的取值范围是                   ．
解： 是开口形状确定，顶点 在 上运动的抛物线，于是当 取不同值时所对应的函数 图象如图所示，是“W型”的图象
交点横坐标由 解得
函数 有四个零点，可视为直线 与函数 有四个交点，故只需两条抛物线的“交叉点”到直线 的竖直距离大于 即可。
故 ，解得
 

好题速递237题
在 中，若 ， ，则 的面积取得最大值时，最长的边长等于                   ．
解法一：设 ， ，
由题知 ， ，
因为
故 ，当且仅当 时，取得最大值，此时
解法二：由余弦定理知
故
当且仅当 时，等号成立，故最长边为

好题速递238题
如图， 在半径为1的 上，线段 是 的直径，则 的取值范围是                   ．
解法一：极化恒等式角度
 
显然当 均为 的直径时， 最大为4；
取 的中点 ，则由极化恒等式知
 故
解法二：投影角度
 
要求 ，显然在 确定的情况下， 最大。
如图，当 且 与圆相切时， 最大。
此时设 ，则 ，
所以
显然当且仅当 与 重合， 与 重合，即 与 反向且模长均为直径时，
解法三：坐标角度
设 ，
所以
 
 
 
令
则 
 
令
则  （当且仅当 时取得等号）
解法四：利用竞赛知识
设 ， ，
则
 
在竞赛中证明过一个不等式，在 中，有
 
 
所以
这里用了三角的积化和差、和差化积公式，属于超纲内容。
所以

好题速递239题
★在平面直角坐标系 中，设 是圆 上不同的三个点，若存在实数 ，使得 ，则 的取值范围是                   ．
解法一：
（这里的 就是向量夹角，由于三点不同，故 ）
当 时有
当 时有
画出可行域如图，
于是将 视为可行域内的 到点 的距离的平方，易得当 时， ，当 时， ，故
解法二：
于是
 解法三：由 可以构造三角形法则
故设 ，则 构成 的三边（否则 三点中至少有两个点重合），如图所示
于是满足 ，画出可行域，后续如解法一。

好题速递240题
★已知二次函数 为非负，则 的最小值为                   ．
解法一：齐次化思想
根据条件有 ，则
因此
令 ，则
当且仅当 及 时取得最小值，即 时取得。
解法二：根据条件有 ，则
故
令 得
当且仅当 及 时取得最小值，即 时取得。
解法三：令 ，得 ，代入
得
当且仅当 时取得等号
解法四：待定系数法
假设 ，化简为
又
故比对系数得 ，得 ，即 ，此时
即因为 ，所以
因为 ，所以

好题速递241题
已知 ， ，则 的最大值是                   ．
解法一：判别式法
令 ， 代入 得
关于 的一元二次方程有解得 ，即
所以 ，当且仅当 时取得等号。
解法二：化齐次式
 
令
故
当且仅当 时取得等号。
解法三：
令 ，即
设 ，则
故
解法四：利用余弦定理构造三角形
设 的三边分别为 ，由 得
由正弦定理 ，故
故
其中 ，故取 ，
故
评注：本题是很常见的最值问题，解法一、解法二是常规的两种方法，解法三利用三角换元，解法四构造三角形的方法不仅求出了最大值，还取到了最小值。

好题速递242题
（2015全国联赛2）若实数 满足 ，则 的值为                   ．
解：由 得 ，
 
评注：这里用了1的逆用，简化了计算，当然也可以把 都算出来，不过计算量比较大。

好题速递243题
（2015全国联赛4）在矩形 中， ，边 上（包含 ）的动点 与 的延长线上（包含点 ）的动点 满足 ，则 的最小值为                   ．
解：不妨设 ，则 ，则由 得 ，
故
 
评注：坐标法解决向量问题是常见方法。
好题速递244题
（2015全国联赛6）在平面直角坐标系 中，点集 所对应的平面区域的面积为                   ．
解：设
先考虑 在第一象限中的部分，此时有 ，故这些点对应于图中的 及其内部，由对称性知， 对应的区域是图中以原点 为中心的菱形 及其内部
同理设 ，则 对应的区域是图中以 为中心的菱形 及其内部。
由点集 的定义知， 所对应的平面区域是被 ， 中恰好一个所覆盖的部分，因此本题所要求的即为图中阴影区域的面积
由直线 ，直线 得交点
由对称性知，

好题速递245题
（2015全国联赛7）设 为正实数，若存在 ，使得 ，则 的取值范围是                     ．
解：由 知，
而 ，故题目条件等价于：
存在整数 ，使得      ①
当 时，区间 的长度不小于 ，故必存在 满足①式
当 时，注意到 ，故仅需要考虑如下几种情况：
（i） ，此时 且 ，无解
（ii） ，此时
（iii） ，此时 ，得
综上，可知 或
好题速递246题
（2015全国联赛9）若实数 满足 ， ，则 的最小值是                  ．
解：设 ，则
由条件知 ，
故
故
当且仅当 ，即 ， 的最小值为
由于 ，故 的最小值为
评注：本题又是“三个字母两个方程，少一个合情合理”的问题。在处理的时候用到了三元均值不等式

好题速递247题
（2015安徽全国联赛3）设平面向量 满足 ，则 的取值范围是                 ．
解法一：由于 ，当 时取得等号
又 ，当 时取得等号
故
解法二：取平面内 ， ，则
于是问题转化为在同心圆环（ ）内的两点 之间的距离在 之间，求 的取值范围。
（评注：又是一个点发出的两个向量做点积，极化恒等式又有用武之地啦！）
 ，其中 是线段 的中点
如图所示，由圆的垂径定理得，
当 位于半径为3的圆周上，且 时 取得最大值为
当 重合时， 取得最小值为0
所以
因此 ，即 ，即

好题速递248题
在平面直角坐标系中，已知点 在圆 内，动直线 过点 且交圆 于 两点，若 面积的最大值为16，则实数 的取值范围是                 ．
解：
 ，
故
故 面积的最大值为16，即 能取得4。
由图象可知， ，故
解不等式 得 或

好题速递249题
如图，已知边长为1的正 的顶点 在平面 内，顶点 在平面 外的同一侧，点 分别为 在平面 内的投影，设 ，直线 与平面 所成的角为 。若 是以角 为直角的直角三角形，则 的取值范围是                 ．
解法一：如图建系，设 ， ，则
 
因为 且 ，故
又因为 ，故 ，又 ，故
又因为 ， ，故
解法二：注意到
考虑 为直线 与 平面 所成的角，显然其上界（无法取得）为 ，此时 ；其最小值当 时取得，为 ，因此所求的范围为

好题速递250题
在 中， 边上的中垂线分别交 于 ，若 ， ，则                  ．
解：取 作为基底向量，则 ，
设
由 得 ，即    ①
而 得 ，整理得    ②
将①式代入②式得 ，故