2018年初三数学上期末试卷（上海浦东新区一模带答案）

浦东新区2017学年第一学期初三教学质量检测
数 学 试 卷
（完卷时间：100分钟，满分：150分）
2018.1
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．
2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1．如果把一个锐角三角形三边的长都扩大为原来的两倍，那么锐角A的余切值
（A）扩大为原来的两倍；                   （B）缩小为原来的 ；
（C）不变；                               （D）不能确定．
2．下列函数中，二次函数是
（A） ； （B） ；  （C） ；（D） .
3．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=7，BC=5，那么下列式子中正确的是
（A） ；    （B） ；     （C） ；      （D） ．
4．已知非零向量 ， ， ，下列条件中，不能判定向量 与向量 平行的是
（A） ， ； （B） ；      （C） ， ；  （D） ．
5．如果二次函数 的图像全部在x轴的下方，那么下列判断中正确的是
（A） ， ；       （B） ， ；
（C） ， ；        （D） ， ．
6．如图，已知点D、F在△ABC的边AB上，点E在边AC上，且DE∥BC，要使得EF∥CD，还需添加一个条件，这个条件可以是
（A） ；        （B） ；
（C） ；        （D） ．

二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．已知 ，则 的值是   ▲   ．
8．已知线段MN的长是4cm，点P是线段MN的黄金分割点，则较长线段MP的长是
   ▲   cm．
9．已知△ABC∽△A1B1C1，△ABC的周长与△A1B1C1的周长的比值是 ，BE、B1E1分别是它 
们对应边上的中线，且BE=6，则B1E1=    ▲   ．
10．计算： =    ▲   ．
11．计算： =   ▲   ．
12．抛物线 的最低点坐标是   ▲   ．
13．将抛物线 向下平移3个单位，所得的抛物线的表达式是   ▲   ．
14．如图，已知直线l1、l2、l3分别交直线l4于点A、B、C，交直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3，AB=4，AC=6，DF=9，则DE=   ▲   ．
15．如图，用长为10米的篱笆，一面靠墙（墙的长度超过10米），围成一个矩形花圃，设矩形垂直于墙的一边长为x米，花圃面积为S平方米，则S关于x的函数解析式是   ▲  
（不写定义域）．
16．如图，湖心岛上有一凉亭B，在凉亭B的正东湖边有一棵大树A，在湖边的C处测得B在北偏西45°方向上，测得A在北偏东30°方向上，又测得A、C之间的距离为100米，则A、B之间的距离是   ▲   米（结果保留根号形式）．
17．已知点（-1， ）、（2， ）在二次函数 的图像上，如果 > ，那么
    ▲   0（用“>”或“<”连接）．
18．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°， ，BC=8，点D在边BC上，将
△ABC沿着过点D的一条直线翻折，使点B落在AB边上的点E处，联结CE、DE，当∠BDE=∠AEC时，则BE的长是   ▲   .
           

三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（本题满分10分）
将抛物线 向左平移4个单位，求平移后抛物线的表达式、顶点坐标
和对称轴．

20．（本题满分10分，每小题5分）
如图，已知△ABC中，点D、E分别在边AB和AC上，DE∥BC，
且DE经过△ABC的重心，设 ．
（1）    ▲   （用向量 表示）；
（2）设 ，在图中求作 ．
（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量．）

21．（本题满分10分，其中第（1）小题4分，第（2）小题6分） 
如图，已知G、H分别是□ABCD对边AD、BC上的点，直线GH
分别交BA和DC的延长线于点E、F．
（1）当 时，求 的值；
（2）联结BD交EF于点M，求证： .

22．（本题满分10分，其中第（1）小题4分，第（2）小题6分）
如图，为测量学校旗杆AB的高度，小明从旗杆正前方3米处的点C出发，沿坡度为 的斜坡CD前进 米到达点D，在点D处放置测角仪，测得旗杆顶部A的仰角为37°，量得测角仪DE的高为1.5米．A、B、C、D、E在同一平面内，且旗杆和测角仪都与地面垂直.
（1）求点D的铅垂高度（结果保留根号）；
（2）求旗杆AB的高度（精确到0.1）．
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75， ．）

23．（本题满分12分，其中第（1）小题6分，第（2）小题6分）
如图，已知，在锐角△ABC中，CE⊥AB于点E，点D在边AC上，
联结BD交CE于点F，且 .
（1）求证：BD⊥AC；
（2）联结AF，求证： .
24．（本题满分12分，每小题4分）
已知抛物线y＝ax2＋bx＋5与x轴交于点A(1，0)和点B(5，0)，顶点为M．点C在x轴的负半轴上，且AC＝AB，点D的坐标为(0，3)，直线l经过点C、D．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是直线l在第三象限上的点，联结AP，且线段CP是线段CA、CB的比例中项，
求tan∠CPA的值；
（3）在（2）的条件下，联结AM、BM，在直线PM上是否存在点E，使得∠AEM=∠AMB.若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

25．（本题满分14分，其中第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）
如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，AC=4，点D在射线BC上，以点D为圆心，BD为半径画弧交边AB于点E，过点E作EF⊥AB交边AC于点F，射线ED交射线AC于点G．
（1）求证：△EFG∽△AEG；
（2）设FG=x，△EFG的面积为y，求y关于x的函数解析式并写出定义域；
（3）联结DF，当△EFD是等腰三角形时，请直接写出FG的长度．
 

浦东新区2017学年度第一学期初三教学质量检测
数学试卷参考答案及评分标准

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．C；  2．B；  3．A；  4．B；  5．D；  6．C．

二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7． ；8． ； 9．4；10． ；11． ；12．（0,-4）；   
13． ； 14．6； 15． ；16． ；17．>；18． ．

三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．解：∵ = ．…………………………………（3分）
∴平移后的函数解析式是 ．………………………………（3分）
          顶点坐标是（-2，1）．……………………………………………………（2分）
          对称轴是直线 ．………………………………………………… （2分）

20．解：（1）  ．……………………………（5分）
（2）图正确得4分，
结论： 就是所要求作的向量． …（1分）．

21．（1）解：∵ ，
∴  ．   ……………………………………………………（1分）
∵ □ABCD中，AD//BC,
            ∴ △CFH∽△DFG ．  ………………………………………………（1分）
            ∴  ．…………………………………………… （1分）
            ∴  ． …………………………………………………………（1分）
（2）证明：∵ □ABCD中，AD//BC，
            ∴  ．   ……………………………………（2分）
            ∵ □ABCD中，AB//CD，
            ∴  ．   ……………………………………（2分）
            ∴  ．   ……………………………………（1分）
            ∴  ． ……………………………（1分）

22．解：（1）延长ED交射线BC于点H.
由题意得DH⊥BC.
在Rt△CDH中，∠DHC=90°，tan∠DCH= .……………（1分）
∴ ∠DCH=30°．
∴ CD=2DH．……………………………（1分）
∵ CD= ，
∴ DH= ，CH=3 .……………………（1分）
答：点D的铅垂高度是 米.…………（1分）
（2）过点E作EF⊥AB于F.
由题意得，∠AEF即为点E观察点A时的仰角，∴ ∠AEF=37°.
∵ EF⊥AB，AB⊥BC，ED⊥BC，
∴ ∠BFE=∠B=∠BHE=90°.
∴ 四边形FBHE为矩形.
∴ EF=BH=BC+CH=6.   ……………………………………………（1分）
FB=EH=ED+DH=1.5+ .   ……………………………………（1分）
在Rt△AEF中，∠AFE=90°， .（1分）
∴ AB=AF+FB=6+   ………………………………………………（1分）
       .   ……………………………………………（1分）
答：旗杆AB的高度约为7.7米.   …………………………………（1分）

23．证明：（1）∵  ，
∴  .  ………………………（1分）
∵ ∠EFB=∠DFC，  …………………（1分）
∴  △EFB∽△DFC. …………………（1分）
∴  ∠FEB=∠FDC. ………………… （1分）
∵  CE⊥AB，
∴  ∠FEB= 90°.……………………… （1分）
∴  ∠FDC= 90°.
∴  BD⊥AC. ………………………… （1分）
（2）∵  △EFB∽△DFC，
              ∴  ∠ABD =∠ACE. …………………………………………… （1分）
 ∵  CE⊥AB，
∴  ∠FEB= ∠AEC= 90°.
              ∴  △AEC∽△FEB.  ……………………………………………（1分）
              ∴   .……………………………………………………（1分）
              ∴   .  …………………………………………………（1分）
∵  ∠AEC=∠FEB= 90°，
              ∴  △AEF∽△CEB.………………………………………………（1分）
              ∴   ，∴  . ………………………（1分）
24．解：（1）∵ 抛物线 与 轴交于点A（1，0），B（5，0），
            ∴    ……………………… …（1分）                            
         解得           …………………………（2分）                                      
            ∴ 抛物线的解析式为  .……（1分）        
     （2）∵  A（1，0），B（5，0），
          ∴  OA=1，AB=4.
          ∵  AC=AB且点C在点A的左侧，∴ AC=4 .
∴  CB=CA+AB=8.   ………………………………………………（1分）
          ∵  线段CP是线段CA、CB的比例中项，∴   .
∴  CP= .   ……………………………………………………（1分）
          又 ∵ ∠PCB是公共角，
∴ △CPA∽△CBP . 
∴ ∠CPA= ∠CBP.  ………………………………………………（1分）
          过P作PH⊥x轴于H.
          ∵  OC=OD=3，∠DOC=90°，
∴ ∠DCO=45°.∴ ∠PCH=45°   
∴ PH=CH=CP =4，
∴ H（-7，0），BH=12. ∴ P（-7，-4）.
∴  ， . ………………………（1分）
     （3） ∵ 抛物线的顶点是M（3，-4），………………………………… （1分）      
           又 ∵  P（-7，-4），∴ PM∥x轴 .
           当点E在M左侧， 则∠BAM=∠AME.
           ∵ ∠AEM=∠AMB， 
∴ △AEM∽△BMA.…………………………………………………（1分）
           ∴ .   ∴  .
         ∴ ME=5，∴ E（-2，-4）.     …………………………………（1分）                                
             过点A作AN⊥PM于点N，则N（1，-4）.
             当点E在M右侧时，记为点 ，
             ∵ ∠A N=∠AEN，
∴ 点 与E 关于直线AN对称，则 （4，-4）.………………（1分）
综上所述，E的坐标为（-2，-4）或（4，-4）.

25．解：（1）∵ ED=BD，
∴ ∠B=∠BED．………………………………（1分）
∵ ∠ACB=90°，
∴ ∠B+∠A=90°．
∵ EF⊥AB，
∴ ∠BEF=90°．
∴ ∠BED+∠GEF=90°．
∴ ∠A=∠GEF． ………………………………（1分）
∵ ∠G是公共角， ……………………………（1分）
∴ △EFG∽△AEG． …………………………（1分）
（2）作EH⊥AF于点H．
∵ 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，AC=4，
∴  ．
∴ 在Rt△AEF中，∠AEF=90°， ．
∵ △EFG∽△AEG，
∴  ．……………………………………………（1分）
∵ FG=x，
∴ EG=2x，AG=4x．
∴ AF=3x． ……………………………………………………………（1分）
∵ EH⊥AF，
∴ ∠AHE=∠EHF=90°．
∴ ∠EFA+∠FEH=90°．
∵ ∠AEF=90°，
∴ ∠A+∠EFA=90°．
∴ ∠A=∠FEH．
∴ tanA =tan∠FEH．
∴ 在Rt△EHF中，∠EHF=90°， ．
∴ EH=2HF．
∵ 在Rt△AEH中，∠AHE=90°， ．
∴ AH=2EH．
∴ AH=4HF．
∴ AF=5HF．
∴ HF= ．
∴  ．…………………………………………………………（1分）
∴  ．………………………………（1分）
定义域：（ ）． ……………………………………………（1分）
（3）当△EFD为等腰三角形时，FG的长度是： ．……（5分）