2017年中考数学模拟试卷2(长春市含答案和解释)

吉林省长春市2017年中考数学模拟试卷（2）（解析版）
　
一、选择题（本题共8个小题，每小题3分，共24分）
1．﹣2017的绝对值是（　　）
A．2017 B．﹣2017 C．  D．﹣
【分析】根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．
【解答】解：﹣2017的绝对值是2007．
故选：A．
【点评】此题考查了绝对值，解题关键是掌握绝对值的规律．一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
　
2．据统计，2016年长春市中考的报名人数为58847人，58847这个数用科学记数法表示为（　　）
A．58.847×105 B．5.8847×105 C．5.8847×104 D．0.58847×105
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：58847这个数用科学记数法表示为5.8847×104，
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
　
3．如图，由5块完全相同的小正方体所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数，其主视图是（　　）
 
A．  B．  C．  D．
【分析】由已知条件可知，主视图有2列，每列小正方数形数目分别为3，1，从而确定正确的选项．
【解答】解：由分析得该组合体的主视图为：
 
故选B．
【点评】本题考查由三视图判断几何体及简单组合体的三视图的知识．由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知主视图的列数与俯视数的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数字．
　
4．计算（x2y）3的结果是（　　）
A．x6y3 B．x5y3 C．x5y D．x2y3
【分析】根据积的乘方和幂的乘方法则求解．
【解答】解：（x2y）3=（x2）3y3=x6y3，
故选A．
【点评】本题考查了积的乘方和幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．
　
5．已知关于x的一元二次方程x2+bx+1=0有两个不相等的实数根，则在下列选项中，b的值可以是（　　）
A．b=0 B．b=﹣1 C．b=﹣2 D．b=﹣3
【分析】先利用判别式的意义得到b2＞4，然后对各选项进行判断．
【解答】解：△=b2﹣4＞0，即b2＞4，
当b=0、﹣1、﹣2不满足条件，而b=﹣3满足条件．
故选D．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．
　
6．如图，若以平行四边形一边AB为直径的圆恰好与边CD相切于点D，则∠C的度数是（　　）
 
A．40° B．45° C．50° D．60°
【分析】连接OD，如图，先利用切线的性质得OD⊥CD，再根据平行四边形的性质∠A=∠C，AB∥CD，则OD⊥AB，利用圆周角定理得到∠A= ∠BOD=45°，从而得到∠C的度数．
【解答】解：连接OD，如图，
∵CD为切线，
∴OD⊥CD，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A=∠C，AB∥CD，
∴OD⊥AB，
∴∠BOD=90°，
∴∠A= ∠BOD=45°，
∴∠C=45°．
故选B．
 
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了平行四边形的性质．
　
7．将含有30°角的直角三角板OAB如图放置在平面直角坐标中，OB在x轴上，若OA=2，将三角板绕原点O顺时针旋转75°，则点A的对应点A′的坐标为（　　）
 
A．（ ，1） B．（1，﹣ ） C．（ ，﹣ ） D．（﹣ ， ）
【分析】求出旋转后OA与y轴夹角为45°，然后求出点A′的横坐标与纵坐标，从而得解．
【解答】解：如图，
 
∵三角板绕原点O顺时针旋转75°，
∴旋转后OA与y轴夹角为45°，
∵OA=2，
∴OA′=2，
∴点A′的横坐标为2× = ，
纵坐标为﹣2× =﹣ ，
所以，点A′的坐标为（ ，﹣ ）．
故选：C．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，准确识图求出旋转后OA与y轴的夹角为45°是解题的关键．
　
8．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点B在y轴正半轴上，顶点C在函数y= （x＜0）的图象上．若对角线AC=6，OB=8，则k的值是（　　）
 
A．24 B．12 C．﹣12 D．﹣6
【分析】先根据菱形的性质求出C点坐标，再把C点坐标代入反比例函数的解析式即可得出k的值．
【解答】解：∵菱形的两条对角线的长分别是6和4，
∴C（﹣3，4），
∵点C在反比例函数y= 的图象上，
∴k=（﹣3）×4=﹣12．
故选C．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数图象上各点的坐标一定满足此函数的解析式．
　
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．分解因式：a3﹣16a=　a（a+4）（a﹣4）　．
【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．平方差公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．
【解答】解：a3﹣16a，
=a（a2﹣16），
=a（a+4）（a﹣4）．
【点评】本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，难点在于需要进行二次分解．
　
10．不等式组 的解集是　﹣2＜x≤ 　．
【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解．
【解答】解： ，
解不等式①得，x＞﹣2，
解不等式②得，x≤ ，
所以不等式组的解集是﹣2＜x≤ ．
故答案为：﹣2＜x≤ ．
【点评】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
　
11．如图，AB∥CD，BE交CD于点D，CE⊥BE于点E，若∠B=34°，则∠C的大小为　56　度．
 
【分析】先根据平行线的性质得出∠CDE的度数，再根据三角形内角和定理，即可得到∠C的度数．
【解答】解：∵AB∥CD，∠B=34°，
∴∠CDE=∠B=34°，
又∵CE⊥BE，
∴Rt△CDE中，∠C=90°﹣34°=56°，
故答案为：56．
【点评】本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理的运用，解题时注意：两直线平行，同位角相等．
　
12．如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG=2，GD=1，DF=5，那么 的值等于　 　．
 
【分析】首先求出AD的长度，然后根据平行线分线段成比例定理，列出比例式 即可得到结论．
【解答】解：∵AG=2，GD=1，
∴AD=3，
∵AB∥CD∥EF，
∴ = ，
故答案为： ．
【点评】该题主要考查了平行线分线段成比例定理及其应用问题；解题的关键是准确找出图形中的对应线段，正确列出比例式求解、计算．
　
13．如图，以点O为圆心的半圆经过点C，AB为直径，若AC=BC= ，则图中阴影部分的面积是　 　．
 
【分析】先利用圆周角定理得到∠ACB=90°，则可判断△ACB为等腰直角三角形，接着判断△AOC和△BOC都是等腰直角三角形，于是得到S△AOC=S△BOC，然后根据扇形的面积公式计算图中阴影部分的面积．
【解答】解：∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵AC=BC= ，
∴△ACB为等腰直角三角形，
∴OC⊥AB，
∴△AOC和△BOC都是等腰直角三角形，
∴S△AOC=S△BOC，OA= AC=1，
∴S阴影部分=S扇形AOC= = ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了扇形面积的计算：圆面积公式：S=πr2，（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．求阴影面积常用的方法：①直接用公式法； ②和差法； ③割补法．求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
　
14．如图，线段AB的长为4，C为AB上一个动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形ACD和BCE，连结DE，则DE长的最小值是　2　．
 
【分析】设AC=x，BC=4﹣x，根据等腰直角三角形性质，得出CD= x，CE= （4﹣x），根据勾股定理然后用配方法即可求解．
【解答】解：设AC=x，BC=4﹣x，
∵△CD，△BCE均为等腰直角三角形，
∴CD= x，CE= （4﹣x），
∵∠ACD=45°，∠BCE=45°，
∴∠DCE=90°，
∴DE2=CD2+CE2= x2+ （4﹣x）2=x2﹣4x+8=（x﹣2）2+4，
∵根据二次函数的最值，
∴当x取2时，DE取最小值，最小值为：2．
故答案为：2
【点评】本题考查了二次函数最值及等腰直角三角形，难度不大，关键是掌握用配方法求二次函数最值．
　
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．（6分）先化简，再求值：（2a﹣b）2﹣a（4a﹣3b），其中a=1，b= ．
【分析】原式利用完全平方公式，以及单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式=4a2﹣4ab+b2﹣4a2+3ab=b2﹣ab，
当a=1，b= 时，原式=3﹣ ．
【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．
　
16．（6分）在一只不透明的袋子中装有2个白球和2个黑球，这些球除颜色外都相同．
（1）若先从袋子中拿走m个白球，这时从袋子中随机摸出一个球是黑球的事件为“必然事件”，则m的值为　2　；
（2）若将袋子中的球搅匀后随机摸出1个球（不放回），再从袋中余下的3个球中随机摸出1个球，求两次摸到的球颜色相同的概率．
【分析】（1）由必然事件的定义可知：透明的袋子中装的都是黑球，从袋子中随机摸出一个球是黑球的事件为“必然事件”才能成立，所以m的值即可求出；
（2）列表得出所有等可能的情况数，找出两次摸到的球颜色相同的情况数，即可求出所求的概率．
【解答】解：
（1）∵在一只不透明的袋子中装有2个白球和2个黑球，这些球除颜色外都相同，从袋子中拿走m个白球，这时从袋子中随机摸出一个球是黑球的事件为“必然事件”，
∴透明的袋子中装的都是黑球，
∴m=2，
故答案为：2；
（2）设红球分别为H1、H2，黑球分别为B1、B2，列表得：
        第二球
        第一球 H1 H2 B1 B2
H1  （H1，H2） （H1，B1） （H1，B2）
H2 （H2，H1）  （H2，B1） （H2，B2）
B1 （B1，H1） （B1，H2）  （B1，B2）
B2 （B2，H1） （B2，H2） （B2，B1） 
总共有12种结果，每种结果的可能性相同，两次都摸到球颜色相同结果有4种，
所以两次摸到的球颜色相同的概率= = ．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
　
17．（6分）动车的开通为扬州市民的出行带来了方便．从扬州到合肥，路程为360km，某趟动车的平均速度比普通列车快50%，所需时间比普通列车少1小时，求该趟动车的平均速度．
【分析】设普通列车的速度为为xkm/h，动车的平均速度为1.5xkm/h，根据走过相同的路程360km，坐动车所用的时间比坐普通列车所用的时间少1小时，列方程求解．
【解答】解：设普通列车的速度为为xkm/h，动车的平均速度为1.5xkm/h，
由题意得， ﹣ =1，
解得：x=120，
经检验，x=120是原分式方程的解，且符合题意．
动车的平均速度=120×1.5=180km/h．
答：该趟动车的平均速度为180km/h．
【点评】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．
　
18．（7分）为增强学生体质，各学校普遍开展了阳光体育活动，某校为了解全校1000名学生每周课外体育活动时间的情况，随机调查了其中的50名学生，对这50名学生每周课外体育活动时间x（单位：小时）进行了统计．根据所得数据绘制了一幅不完整的统计图，并知道每周课外体育活动时间在6≤x＜8小时的学生人数占24%．根据以上信息及统计图解答下列问题：
（1）本次调查属于　抽样　调查，样本容量是　50　；
（2）请补全频数分布直方图中空缺的部分；
（3）求这50名学生每周课外体育活动时间的平均数；
（4）估计全校学生每周课外体育活动时间不少于6小时的人数．
 
【分析】（1）根据题目中的信息可知本次调查为抽样调查，也可以得到样本容量；
（2）根据每周课外体育活动时间在6≤x＜8小时的学生人数占24%，可以求得每周课外体育活动时间在6≤x＜8小时的学生人数，从而可以求得2≤x＜4的学生数，从而可以将条形统计图补充完整；
（3）根据条形统计图可以得到这50名学生每周课外体育活动时间的平均数；
（4）根据条形统计图，可以估计全校学生每周课外体育活动时间不少于6小时的人数．
【解答】解：（1）由题意可得，
本次调查属于抽样调查，样本容量是50，
故答案为：抽样，50；
（2）由题意可得，
每周课外体育活动时间在6≤x＜8小时的学生有：50×24%=12（人），
则每周课外体育活动时间在2≤x＜4小时的学生有：50﹣5﹣22﹣12﹣3=8（人），
补全的频数分布直方图如右图所示，
（3）由题意可得，
 =5，
即这50名学生每周课外体育活动时间的平均数是5；
（4）由题意可得，
全校学生每周课外体育活动时间不少于6小时的学生有：1000× （人），
即全校学生每周课外体育活动时间不少于6小时的学生有300人．
 
【点评】本题考查频数分布直方图、样本、总体、样本容量、用样本估计总体、加权平均数，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
　
19．（7分）如图，在▱ABCD中，AB＜BC，以点A为圆心，AB长为半径作圆弧交AD于点F，再分别以点B、F为圆心，大于BF的一半长为半径作圆弧，两弧交于一点P，连结AP并延长交BC于点E，连结EF．
（1）四边形ABEF是　菱形　（填“矩形”、“菱形”、“正方形”或“无法确定”）（直接填写结果），并证明你的结论．
（2）AE、NF相交于点O，若四边形ABEF的周长为40，BF=10，则AE的长为　10 　，∠ADC=　120　°，（直接填写结果）
 
【分析】（1）先证明△AEB≌△AEF，推出∠EAB=∠EAF，由AD∥BC，推出∠EAF=∠AEB=∠EAB，得到BE=AB=AF，由此即可证明．
（2）根据菱形的性质首先证明△AOB是含有30°的直角三角形，由此即可解决问题．
【解答】解：（1）在△AEB和△AEF中，
 ，
∴△AEB≌△AEF，
∴∠EAB=∠EAF，
∵AD∥BC，
∴∠EAF=∠AEB=∠EAB，
∴BE=AB=AF．
∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形
∵AB=AF，
∴四边形ABEF是菱形．
故答案为菱形．

（2）∵四边形ABEF是菱形，
∴AE⊥BF，BO=OF=5，∠ABO=∠EBO，
∵AB=10，
∴AB=2BO，∵∠AOB=90°
∴∠BA0=30°，∠ABO=60°，
∴AO= BO=5 ，∠ABC=2∠ABO=120°．
故答案为10 ，120．
 
【点评】本题考查菱形的判定和性质、平行四边形的性质、作图﹣基本作图等知识，解题的关键是全等三角形的证明，想到利用特殊三角形解决问题，属于中考常考题型．
　
20．（7分）如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为45°，测得底部C的仰角为32°，已知该建筑物高BC为208米，求此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD（精确到0.1米）
【参考数据：sin32°=0.5299，cos32°=0.8480，tan32°=0.6249】
 
【分析】在首先证明△ABD是的等腰直角三角形，则BD=AD，然后在直角△ACD中，利用tan∠CAD= ，即可得到关于AD的方程，解方程求得AD的长．
【解答】解：∵∠DAB=45°，AD⊥BC，
∴∠B=45°，
∴∠B=∠BAD，
∴BD=AD．
∴CD=208﹣AD．
在Rt△ADC中，∠ADC=90°，
tan∠CAD= ，
∴AD•tan32°=CD，
∴0.6249AD=208﹣AD，
∴AD≈128.0．
答：此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD约是128.0米．
【点评】此题考查了仰角与俯角的知识．此题难度适中，注意能借助仰角或俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键．
　
21．（8分）某景区的三个景点A、B、C在同一线路上，甲、乙两名游客从景点A出发，甲步行到景点C；乙在甲出发20分钟后乘景区观光车先到景点B，在B处停留一段时间后，再步行到景点C：甲、乙两人同时到达景点C，甲、乙两人之间的距离y（米）与甲出发的时间x（分）之间的函数图象如图所示．
（1）甲步行的速度为　60　米/分，观光车的速度为　300　米/分．
（2）直接写出乙乘观光车时y与x之间的函数关系式．
（3）求乙步行的速度．
 
【分析】（1）根据速度=路程÷时间，可求出甲步行的速度；根据观光车的速度=路程÷时间+甲步行的速度，即可求出观光车的速度；
（2）设乙乘观光车时y与x之间的函数关系式为y=kx+b（k≠0），分当20≤x≤25时及当25≤x≤30时两种情况，根据点的坐标利用待定系数法求出函数关系式；
（3）观察图形，寻找乙的运动过程，设乙步行的速度为v米/分，根据甲、乙之间的距离=速度差×时间，即可得出关于v的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）1200÷20=60（米/分），
1200÷（25﹣20）+60=300（米/分）．
故答案为：60；300．

（2）设乙乘观光车时y与x之间的函数关系式为y=kx+b（k≠0），
当20≤x≤25时，将（20，1200）、（25，0）代入y=kx+b，
得： ，解得： ，
∴此时y=﹣24x+6000；
当25≤x≤30时，将（25，0）、（30，1200）代入y=kx+b，
得： ，解得： ，
∴此时y=240x﹣6000．
综上所述：乙乘观光车时y与x之间的函数关系式为y= ．

（3）由已知可得，甲出发30分钟时乙到达景点B，在景点B处停留30分钟，
甲出发60分钟时他们相距60×30﹣1200=600（米）．
设乙步行的速度为v米/分，
根据题意得：（90﹣60）（v﹣60）=600，
解得：v=80．
答：乙步行的速度为80米/分．
【点评】本题考查了一次函数的应用、待定系数法求函数解析式以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）根据数量关系求出速度；（2）根据点的坐标，利用待定系数求出函数关系式；（3）根据甲、乙之间的距离=速度差×时间，列出关于v的一元一次方程．
　
22．（9分）问题原型：如图①，点A、B分别在∠MON的边OM、ON上，连结AB，C、D、E分别为线段OA、OB、AB中点，连结CE、DE，易知四边形OCED是平行四边形．
问题探究：如图②，点A、B分别在锐角∠MON的边OM，ON上，连结AB，C、D、E分别为线段OA、OB、AB中点，连结CE、DE，分别以OA、OB为斜边在∠MON外侧作等腰直角三角形△OAP、△OBQ，连结PE，QE，求证：△PCE≌△EDQ．
拓展发现：如图③，点A、B分别在钝角∠MON的边OM、ON上，∠MON=150°，连结AB、C、D、E分别为线段OA、OB、AB中点，连结CE、DE，分别以OA、OB为斜边在∠MON外侧作等腰直角三角形△OAP、△OBQ，PC、QD的延长线交于点R，连结AR，BR，则∠ARB=　60°　．
 
【分析】问题探究：根据四边形ODEC是平行四边形，于是得到∠OCE=∠ODE，根据等腰直角三角形的定义得到∠PCO=∠QDO=90°，根据等腰直角三角形的性质得到得到PC=ED，CE=DQ，即可得到结论；
拓展发现：连接RO，由于PR与QR分别是OA，OB的垂直平分线，得到AP=OR=RB，由等腰三角形的性质得到∠ARC=∠ORC，∠ORQ=∠BRO，根据四边形的内角和得到∠CRD=30°，即可得到结论．
【解答】解：问题探究：证明：∵四边形ODEC是平行四边形，
∴∠OCE=∠ODE，
∴∠ACE=∠BDE，
∵△OAP，△OBQ是等腰直角三角形，
∴∠PCO=∠QDO=90°，
∴∠PCE=∠PCO+∠OCE=∠QDO+∠EDO=∠EDQ，
∵PC= AO=OC=ED，CE=OD= OB=DQ，
在△PCE与△EDQ中， ，
∴△PCE≌△EDQ；

（2）拓展发现：∠ARB=60°，
如图③，连接RO，CE，
∵PR与QR分别是OA，OB的垂直平分线，
∴AR=OR=RB，
∴∠ARC=∠ORC，∠ORQ=∠BRO，
∵∠RCO=∠RDO=90°，∠COD=150°，
∴∠CRD=30°，
∴∠ARB=60°．
故答案为：60°．
 
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键．
　
23．（10分）如图，BD是正方形ABCD的对角线，BC=2，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线BC运动，同时动点Q从点C出发，以相同的速度沿射线BC运动，当点P出发后，过点Q作QE⊥BD，交直线BD于点E，连结AP、AE、PE、QE，设运动时间为t（秒）．
（1）请直接写出动点P运动过程中，四边形APQD是什么四边形？
（2）请判断AE，PE之间的数量关系和位置关系，并加以证明．
（3）设△EPB的面积为y，求y与t之间的函数关系式．
（4）直接写出△EPQ的面积是△EDQ面积的2倍时t的值．
 
【分析】（1）由正方形的性质和已知条件得出∠ABE=∠EBQ=45°，AD∥BQ，AD=BC=2，BP=CQ，得出BC=AD=PQ，即可证出四边形APQD是平行四边形；
（2）证出BE=QE，由SAS证明△AEB≌△EPQ，得出AE=PE，∠AEB=∠PEQ，得出∠AEP=∠BEQ=90°，即可得出AE⊥PE；
（3）过E作EF⊥BC与F，BQ=t+2，EF= ，得出y= × ×t，即可得出答案；
（4）分两种情况：①当P在BC延长线上时，作PM⊥QE于M，由等腰直角三角形的性质和勾股定理得出PM= PQ= ，BE=QE= BQ= （t+2），求出DE=BE﹣BD= ，由三角形面积关系和面积公式得出方程，解方程即可；
①当P在BC边上时，解法同①，此时DE= ﹣ t，由三角形面积关系和面积公式得出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）四边形APQD是平行四边形；理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，P、Q速度相同，
∴∠ABE=∠EBQ=45°，AD∥BQ，AD=BC=2，BP=CQ，
∴BC=AD=PQ，
∴四边形APQD是平行四边形；
（2）AE=PE，AE⊥PE；理由如下：
∵EQ⊥BD，∴∠PQE=90°﹣45°=45°，
∴∠ABE=∠EBQ=∠PQE=45°，
∴BE=QE，
在△AEB和△EPQ中， ，
∴△AEB≌△EPQ（SAS），
∴AE=PE，∠AEB=∠PEQ，
∴∠AEP=∠BEQ=90°，
∴AE⊥PE；
（3）过E作EF⊥BC于F，如图1所示：
BQ=t+2，EF= ，
∴y= × ×t，
即y= t2+ t；
（4）分两种情况：①当P在BC延长线上时，作PM⊥QE于M，如图2所示：
∵PQ=2，∠BQE=45°，
∴PM= PQ= ，BE=QE= BQ= （t+2），
∴DE=BE﹣BD= （t+2）﹣2 = ，
∵△EPQ的面积积是△EDQ面积的2倍，
∴ × （t+2）× =2× （ t﹣ ）× （t+2），
解得：t=3或t=﹣2（舍去），
∴t=3；
①当P在BC边上时，解法同①，此时DE= ﹣ t，
∵△EPQ的面积积是△EDQ面积的2倍，
∴ × （t+2）× =2× （ ﹣ t）× （t+2），
解得：t=1或t=﹣2（舍去），
∴t=1；
综上所述，△EPQ的面积是△EDQ面积的2倍时t的值为：1或3．
 
 
【点评】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积公式等知识；本题综合性强，有一定难度．
　
24．（12分）如图①，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．
（1）求抛物线及直线AC所对应的函数表达式．
（2）设点M（3，m），直接写出使得MN+MD的值最小时m的值．
（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B、E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B、D、E、F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标，若不能，请说明理由．
（4）点P是图①中直线AC上方抛物线上的一个动点（不与A、C重合），过点P与x轴垂直的直线交AC于点Q，如图②，若线段PQ将△PAC分成两部分的面积比为1：3，直接写出点P的坐标．
 
【分析】（1）将点A、C的坐标代入抛物线解析式可得出b、c的值，继而得出抛物线解析式，利用待定系数法可求出AC的函数解析式；
（2）利用轴对称求最短路径的知识，找到N点关于直线x=3的对称点N′，连接N'D，N'D与直线x=3的交点即是点M的位置，继而求出m的值．
（3）设出点E的坐标，分情况讨论，①当点E在线段AC上时，点F在点E上方，②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，根据平行四边形的性质表示出F的坐标，将点F的坐标代入抛物线解析式可得出x的值，继而求出点E的坐标．
（4）根据面积的比，可得（xP﹣xA）：（xC﹣xP）=1：3，根据比例的性质，可得答案．
【解答】解：（1）由抛物线y=﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0）及C（2，3），可得： ，
解得： ，
故抛物线为y=﹣x2+2x+3，
设直线AC解析式为y=kx+n，将点A（﹣1，0）、C（2，3）代入得： ，
解得： ，
故直线AC为y=x+1．

（2）作N点关于直线x=3的对称点N′，则N′（6，3），由（1）得D（1，4），
可求出直线DN′的函数关系式为y=﹣ x+ ，
当M（3，m）在直线DN′上时，MN+MD的值最小，
则m=﹣ ×3+ = ．

（3）由（1）、（2）得D（1，4），B（1，2）
点E在直线AC上，设E（x，x+1），
①当点E在线段AC上时，点F在点E上方，则F（x，x+3），
∵F在抛物线上，
∴x+3=﹣x2+2x+3
解得，x=0或x=1（舍去），
则点E的坐标为：（0，1）．
②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，则F（x，x﹣1），
∵点F在抛物线上，
∴x﹣1=﹣x2+2x+3，
解得x= 或x= ，
即点E的坐标为：（ ， ）或（ ， ）
综上可得满足条件的点E为E（0，1）或（ ， ）或（ ， ）；
（4）S△APQ= AP•（xP﹣xA），S△CPQ= AP（xC﹣xP），
S△APQ：S△CPQ=1：3，即（xP﹣xA）：（xC﹣xP）=1：3，解得x=﹣ ，y=﹣x2+2x+3= ，即P（﹣ ， ）；
S△APQ：S△CPQ=3：1，即（xP﹣xA）：（xC﹣xP）=3：1，解得x= ，y=﹣x2+2x+3= ，即P（ ， ），
综上所述：若线段PQ将△PAC分成两部分的面积比为1：3，点P的坐标是（﹣ ， ）（ ， ）．
【点评】本题考查了二次函数的综合题，涉及了待定系数法求函数解析式、轴对称求最短路径及平行四边形的性质，同学们注意培养自己解答综合题的能力，将所学知识融会贯通．