2017届九年级数学上10月月考试题（附答案）

2016-2017学年第一学期十月月考
初三数学
第I卷（共30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）
1．下列图形是中心对称图形的是（    ）．
A．  B．  C．  D．

【答案】A
【解析】绕一点旋转 后与自身能重合的图形是中心对称图形．

2．将抛物线 先向左平移 个单位，再向上平移 个单位后得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是（    ）．
A．  B．  C．  D．

【答案】A
【解析】平移：左 右——（用于 ），上 下——（用于 ）．

3．如图，点 ， ， 在⊙ 上， 的延长线交 于点 ， ， ，则 的度数为（    ）．
 
A．  B．  C．  D．

【答案】C
【解析】∵ ，
∴ ，
4．代数式 的最小值是（    ）．
A．  B．  C．  D．

【答案】A
【解析】 ．

5．已知圆锥的母线长是 ，底面半径是 ，则这个圆锥侧面展开图圆心角的度数为（    ）．
A．  B．  C．  D．

【答案】B
【解析】设母线为 ，底面半径为 ，圆锥侧面展开图圆心角为 ，则 ，所以 ， ．

6．如图， 是等边三角形， 是 的中点，以 为旋转中心，把 顺时针旋转 后，所成的图形是（    ）．
 
A．   B．  
C．  D．

【答案】D
【解析】
 

7．若二次函数 的图象的对称轴是经过点 且平行于 轴的直线，则关于 的方程 的解为（    ）．
A． ，  B． ，  C． ，  D． ，

【答案】D
【解析】∵ 结称轴过点 ，
∴
 ，
∴ ，
∴ 即为 ， ， ， ．

8．已知⊙ 的半径为 ，点 到圆心 的距离为 ，若抛物线 与 轴有两个不同的交点，则点 （    ）．
A．在⊙ 的内部 B．在⊙ 的外部 C．在⊙ 上 D．无法确定

【答案】A
【解析】∵ 与 轴有两个不同交点，
∴ ，
∴ ，
 ，
∵ ，
∴点 在⊙ 内部．

9．小刚在实践课上要做一个如图 所示的折扇，折扇扇面的宽度 是骨柄长 的 ，折扇张开的角度为 ．小刚现要在如图 所示的矩形布料上剪下扇面，且扇面不能拼接，已知矩形布料长为 ，宽为 ．小刚经过画图、计算，在矩形布料上裁剪下了最大的扇面，若不计裁剪和粘贴的损耗，此时扇面的宽度 为（    ）．

【答案】B

16．阅读下面材料：
在学习《圆》这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题：
尺规作图：过圆外一点作圆的切线．
已知： 为⊙ 外一点．
求作：经过点 的⊙ 的切线．
 
小敏的作法如下：
如图，
（ ）连接 ，作线段 的垂直平分线 交 于点 ．
（ ）以点 为圆心， 的长为半径作圆，交⊙ 于 ， 两点．
（ ）作直线 ， ．
 
老师认为小敏的作法正确．
请回答：连接 ， 后，可证 ，其依据是____________________；由此可证明直线 ， 都是⊙ 的切线，其依据是________________________________________．

【答案】见解析．
【解析】①直径所对的圆周角是直角．
②经过半径的外端并用垂直于半径的直线是圆的切线．

10．【答案】D
【解析】∵ ，
∴对称轴 ，
将 关于对称轴 对称，
得 ，
则此时图象位于 轴上方，
∵ 时图象位于 轴下方，
∴可知，图象过 ，
∴
 ．

二、填空题
11．【答案】
【解析】 时， ，
 时， ，
∴ ．

12．【答案】 且
【解析】∵ 图象与 轴有两个不同交点，
∴ 且 ，
∵ 

13．【答案】
【解析】
 
如图： ， ，
∴ 中， ，

14．【答案】   
【解析】∵ ，
可化为 ，
即方程的解为函数 ， ，
图象交点的横坐标，
又∵交点为 ， ，
∴ 为 ， ．

15．【答案】      
【解析】
 
如图： ， ，
由垂径定理可知： ，
设半径为 ，
在 中， ，
∴
 ．

三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28分7分，第9题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．解一元二次方程：

【答案】 ， ．
【解析】 

18．已知 ，求 的值．

【答案】 ．
【解析】原式
 
 ，
当 ，即 时，
原式 ．

19．如图， 内接于⊙ ， ， ， 为⊙ 的直径， ，求弦 的长．
 

【答案】 ．
【解析】
 
∵⊙ 中 是直径，
∴ ，
∴ ．

20．如图，在 中， ，在同一平面内，将 绕点 旋转到 的位置，使得 ，求 的度数．
 

【答案】 ．
【解析】∵ ， ，
∴ ，
∴由旋转性质可知， ．
 

21．已知：如图，在平面直角坐标系中， 三个顶点的坐标分别为 ， ， ．以 为旋转中心，把 逆时针旋转 ，得到 ．
（ ）画出 ．
（ ）点 的坐标为______________________________．
（ ）求点 旋转到 所经过的路线长．
 
【答案】（ ）见解析；（ ） ；（ ） ．
【解析】（ ）如图， 走过的路线为弧 ，
 

22．已知：关于 的一元二次方程 有实数根．
（ ）求 的取值范围．
（ ）若 ， 是此方程的两个根，且满足 ，求 的值．

【答案】（ ） ；（ ） ．
【解析】（ ）∵  有实根，
∴ ，
∵ ，
 ，
∵ 、 为方程 的两根，
∴ ， ，
∴ ， ，
 （舍） ，
∴ ．

23．已知：二次函数 中的 和 满足下表：
 
 

（ ）可求得 的值为__________．
（ ）求出这个二次函数的解析式．
（ ）当 时，则 的取值范围为______________________________．

【答案】（ ） ；（ ） ；（ ） ．
【解析】（ ）由表可知 ， ，关于对称轴对称，
∴ ．
（ ）设顶点式 ，
∵过 ，
∴
 ，
∴ ．
（ ）∵抛物线开口向上，对称轴 ，
∴ 时，
当 时， 有最大值 ，
 时， 有最小值 ，
∴ ．

24．某商店从厂家以每件 元的价格购进一批商品，该商店可自行定价，但物价部门限定每件商品加价不能超过进货价的 ．据市场调查，该商品的售价与销售量的关系是：若每件售价 元，则可卖出 件．如果商店计划要获利 元，则每件商品的售价应定为多少元？需要卖出这种商品多少件？

【答案】   
【解析】设每件商品的售价定为 元，
 ，
 ， ，
 （件），
答：售价定为 时，卖出 件．

25．已知：如图， 内接于⊙ ， 于 ， ，过 点的直线与 的延长线交于点 ， ， ．
（ ）求证： 是⊙ 的切线．
（ ）若 为⊙ 上一动点，连接 交直线 于点 ，问：是否存在点 ，使得 的值最小，若存在求 的最小值，若不存在，说明理由．
 

【答案】（ ）见解析；（ ）见解析．
【解析】（ ）连结 ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ 为半径，
∴ 为⊙ 切线．
 
（ ）将点 关于直线 对称到点 ，
由垂径定理可知 在⊙ 上，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 最小值为 ．

26．有这样一个问题：探究函数 的图象与性质．小慧根据学习函数的经验，对函数 的图象与性质进行了探究．下面是小慧的探究过程，请补充完成：
（ ）函数 的自变量 的取值范围是__________．
（ ）列出 与 的几组对应值．请直接写出 的值， __________．
 

（ ）请在平面直角坐标系 中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象．
（ ）结合函数的图象，写出该函数的两条性质．
①__________________________________________________．
②__________________________________________________．
 

【答案】（ ） ；（ ） ；（ ）图象不过第三象限，与直线 没有交点；（ ）见解析．
【解析】（ ）分母不为 ，则 ， ．
（ ）令 ，则 ，
∴ ．
（ ）从交点个数，增减性，过象限等角度来写．

27．在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴交于 点，与 轴交于 ， 两点（点 在点 左侧），且点 的横坐标为 ．
（ ）求 的值．
（ ）设抛物线的顶点 关于原点的对称点为 ，求点 的坐标．
（ ）将抛物线在 ， 两点之间的部分（包括 ， 两点），先向下平移 个单位，再向左平移 个单位，平移后的图象记为图象 ，若图象 与直线 无交点，求 的取值范围．
 

【答案】（ ） ；（ ） ；（ ）见解析．
【解析】（ ）∵图象过 ，
∴ 
顶点 ，
 与 关于原点对称，
∴ ．
（ ）令 ，则 ，
 ，
 ， ，
∴ ， ，
将图象向下平移 个单位后， ， ，
∵ ， ，
∴直线 解析为 ，
令 ，则 ，
∴ ，
由图可知， ，
∴ 时，
图象 与直线 无交点．
 

28．（ ）如图 ，在四边形 中， ， ， ，点 是 边上一点，把射线 绕点 顺时针旋转 ，与 边交于点 ，请你补全图形，求 ， ， 的数量关系．
（ ）如图 ，在菱形 中，点 是 边上任意一点，把射线 绕点 顺时针旋 ，与 边交于点 ，连结 ，请你补全图形并画出辅助线，直接写出 ， ， 的数量关系是__________．
（ ）如图 ，正方形 的边长是 ，点 ， 分别在 ， 上，若 的周长为 ，则 的面积最小值为____________________．
 
解：（ ）____________________．
（ ）____________________．
（ ）____________________．

【答案】（ ） ；（ ） ；（ ） ．
【解析】（ ）连 延长线上截取 ，
连结 ，
∵ ， ，
∴ ≌ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
 
（ ）证明同（ ）．
（ ）
 
延长 至 ，使 ，
连结 ，
∵ ， ，
∴ ，
整理得： ，
∴ ，
即 ，
又∵ ，
∵
 
 
 ，
∴  最小值

29．在平面直角坐标系 中，点 在直线 上，以 为圆心， 为半径的圆与 轴的另一个交点为 ．给出如下定义：若线段 ，⊙ 和直线 上分别存在点 ，点 和点 ，使得四边形 是矩形（点 ， ， ， 顺时针排列），则称矩形 为直线 的“理想矩形”．
例如，下图中的矩形 为直线 的“理想矩形”．
 
（ ）若点 ，四边形 为直线 的“理想矩形”，则点 的坐标为____________________．
（ ）若点 ，求直线 的“理想矩形”的面积．
（ ）若点 ，直线 的“理想矩形”面积的最大值为__________，此时点 的坐标为________________________________________．
解：（ ）____________________．
（ ）____________________．
（ ）______________________________，______________________________．
【答案】（ ） ；（ ） ；（ ）       ．
【解析】（ ）四边形 中， ， ， ， 是顺时针排列，
且分别落在线段 ，⊙ 和直线 上，
∴ ．
 
（ ）连结 ，
过点 作 轴于点 ，
∵ 在 上，
∴直线 ，
设 与 轴交于点 ，
∵ ，
∴ ，
在 轴上截取 ，连结 ，
可知 ，
过点 作 交⊙ 于点 ，过点 作 于点 ，
使得 ， ， ， 顺时针排列，
连结 ，
∵ ，
 
（ ）设“理想矩形”的一组邻边分别为 ， ，
则 ，
∵ ，
∴ ，
 ，
∴当且仅当 时， 有最大值 ，此时理想矩形为正方形．
 
①当点 在第四象限明，
过点 作 轴于点 ，交过点 平行于 轴的直线于点 ，
易证 ≌ ，
∴ ，即 ．
②当点 在第三象限时，
过点 作 轴的平分线，交 轴于点 ，交过点 平行于 轴的直线于点 ，
易证 ≌ ，
则有 ， ，
∴ 即 ，
综上：最大值为 ， 或 ．