2018年高考数学理科真题（全国卷Ⅰ）

2018年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
本试题卷共6页，23题（含选考题）。全卷满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
 1、本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至3页，第II卷3至5页.
2、答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置. 
3、全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.
4、考试结束后，将本试题和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设 ，则
A.     B.     C.     D. 
2. 已知集合 ，则
A.      B. 
C.      D.
3. 某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：
则下列结论中不正确的是
 
A. 新农村建设后，种植收入减少
B. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C. 新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D. 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
4. 设 为等差数列 的前 项和，若 ， ，则
A.          B.          C.          D. 
5. 设函数 ，若 为奇函数，则曲线 在点 处的切线方程为
A.      B.          C.      D. 
6. 在 中， 为 边上的中线， 为 的中点，则
A.      B.      C.       D.
7.某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图. 圆柱表面上的点 在正视图上的对应点为 ，圆柱表面上的点 在左视图上的对应点为 ，则在此圆柱侧面上，从 到 的路径中，最短路径的长度为
A.    B.   C. 3       D. 2
8.设抛物线 的焦点为 ，过点 且斜率为 的直线与 交于 两点，则
A. 5        B.6        C. 7       D. 8
9.已知函数 ， .若 存在 个零点，则 的取值范围是
A.   B.  C.  D.
10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形 的斜边 ，直角边 . 的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ，在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分别记为 ，则
A.      B.      C.      D. 
11.已知双曲线 ， 为坐标原点， 为 的右焦点，过 的直线与 的两条渐近线的交点分别为 .若 为直角三角形，则
A.     B. 3        C.     D. 4
12. 已知正方体的棱长为1，每条棱所在的直线与平面 所成的角都相等，则 截此正方体所得截面面积的最大值为
A.     B.    C.     D. 

第II卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分.
13.若 ， 满足约束条件 ，则 的最大值为_______________.
14.记 为数列 的前 项和，若 ，则 _______________.
15.从 位女生， 位男生中选 人参加科技比赛，且至少有 位女生入选，则不同的选法共有__________种。（用数字填写答案）
16.已知函数 ，则 的最小值是______________________.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（17）（本小题满分12分）
在平面四边形 中， ， ， ， .
（1）求 ；     
（2）若 ，求 .

（18）（本小题满分12分）
如图，四边形 为正方形， 分别为 的中点，以 为折痕把 折起，使点 到达点 的位置，且 .
（1）证明：平面 平面 ；
（2）求 与平面 所成角的正弦值.

（19）（本小题满分12分）
设椭圆 的右焦点为 ，过 的直线 与 交于 两点，点 的坐标为 .
（1）当 与 轴垂直时，求直线 的方程；
（2）设 为坐标原点，证明： .

（20）（本小题满分12分）
某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品。检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为 ，且各件产品是否为不合格品相互独立。
（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为 ,求 的最大值点
（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的 作为 的值。已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用。
（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 ，求 ;
（ii）以检验费用与赔偿费用的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

（21）（本小题满分12分）
已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）若 存在两个极值点 ，证明： .

请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
（22）（本小题满分10分）选修4 4：坐标系与参数方程
在直角坐标系 中，曲线 的方程为 .以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
（1） 求 的直角坐标方程；
（2） 若 与 有且仅有三个公共点，求 的方程.

（23）（本小题满分10分）选修4 5：不等式选讲
已知 .
（1） 当 时，求不等式 的解集；
（2） 若 时不等式 成立，求 的取值范围.