柱、锥、台的侧面展开与面积课下能力提升（有答案和解释）

课下能力提升（十一）柱、锥、台的侧面展开与面积
一、选择题
1．圆台的母线长扩大为原来的n倍，两底面半径都缩小为原来的1n倍，那么它的侧面积变为原来的(　　)
A．1倍     B．n倍
C．n2倍     D.1n倍
2．已知正四棱锥底面边长为6，侧棱长为5，则此棱锥的侧面积为(　　)
A．12        B．36 
C．24        D．48
3．长方体的对角线长为214，长、宽、高的比为3∶2∶1，那么它的表面积为(　　)
A．44        B．88 
C．64        D．48
4．圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是(　　)
A．4πS       B．2πS 
C．πS        D.233πS
5．(重庆高考)某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面积为(　　)
 
A．180          B．200
C．220          D．240
二、填空题
6．已知圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的侧面积为________．
7．已知棱长为1，各面都是正三角形的四面体，则它的表面积是________．
8．如图，直三棱柱的主视图面积为2a2，则左视图的面积为________．
 
三、解答题
9．如图所示是一建筑物的三视图，现需将其外壁用油漆刷一遍，已知每平方米用漆0.2 kg，问需要多少油漆？(尺寸如图，单位：m，π取3.14，结果精确到0.01 kg)
 
10．正四棱台两底面边长分别为a和b(a<b)．
(1)若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45°，求棱台的侧面积；
(2)若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高．

答  案
1. 解析：选A　由S侧＝π(r′＋r)l.当r，r′缩小1n倍，l扩大n倍时，S侧不变．
2. 解析：选D　正四棱锥的斜高h′＝52－32＝4，
S侧＝4×12×6×4＝48.
3. 解析：选B　设长，宽，高分别为3x,2x，x，则对角线长为9x2＋4x2＋x2＝14x＝214，∴x＝2.
∴表面积S＝2(6x2＋3x2＋2x2)＝88.
4. 解析：选A　设圆柱的底面半径为R，则S＝πR2，
∴R＝Sπ，
则圆柱的母线长l＝2πR＝2Sπ.
S侧面积＝(2πR)2＝4π2R2＝4π2×Sπ＝4πS.
5. 解析：选D　几何体为直四棱柱，其高为10，底面是上底为2，下底为8，高为4，腰为5的等腰梯形，故两个底面面积的和为12×(2＋8)×4×2＝40，四个侧面面积的和为(2＋8＋5×2)×10＝200，所以直四棱柱的表面积为S＝40＋200＝240，故选D.
6. 解析：设上底面半径为r，则下底面半径为4r，高为4r，如图．
 
∵母线长为10，
∴有102＝(4r)2＋(4r－r)2，解得r＝2.
∴S圆台侧＝π(r＋4r)×10＝100π.
答案：100π
7. 解析：由条件可知，四面体的斜高为32，
所以其表面积为S表＝4×12×1×32＝3.
答案：3
8. 解析：此直三棱柱的底面是边长为a的正三角形，该三角形的高为32a.左视图是一矩形，一边为32a，另一边为2a，故左视图的面积为32a×2a＝3a2.
答案：3a2
9. 解：由三视图知建筑物为一组合体，自上而下分别是圆锥和四棱柱，并且圆锥的底面半径为3 m，母线长为5 m，四棱柱的高为4 m，底面是边长为3 m的正方形．
圆锥的表面积为πr2＋πrl＝3.14×32＋3.14×3×5＝28.26＋47.1＝75.36(m2)；
四棱柱的一个底面积为32＝9(m2)；
四棱柱的侧面积为4×4×3＝48(m2)．
所以外壁面积＝75.36－9＋48＝114.36(m2)，
需油漆114.36×0.2＝22.872≈22.87(kg)，
答：共需油漆约22.87 kg.
10. 解：(1)如图，设O1，O分别为上，下底面的中心，过C1作C1E⊥AC于E，过E作EF⊥BC于F，连接C1F，则C1F为正四棱台的斜高．
 
由题意知∠C1CO＝45°，
CE＝CO－EO＝CO－C1O1＝22(b－a)．
在Rt△C1CE中，C1E＝CE＝22(b－a)，
又EF＝CE•sin 45°＝12(b－a)，
∴斜高C1F＝C1E2＋EF2
＝ 22b－a2＋12b－a2＝32(b－a)．
∴S侧＝12(4a＋4b)×32(b－a)＝3(b2－a2)．
(2)∵S上底＋S下底＝a2＋b2，
∴12(4a＋4b)•h斜＝a2＋b2，
∴h斜＝a2＋b22a＋b.
又EF＝b－a2，h＝h2斜－EF2＝aba＋b.