2017年高一数学必修2综合学业质量标准检测试题(人教A版含答案和解释)

文 章
来源莲山
课件 w ww.5 y kj.Co m 本册综合学业质量标准检测
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题　共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2016•泰安二中高一检测)直线y＝kx与直线y＝2x＋1垂直，则k等于导学号 09025121(　C　)
A．－2　　 B．2　　 C．－12　　 D．13
[解析]　由题意，得2k＝－1，∴k＝－12.
2．空间中到A、B两点距离相等的点构成的集合是导学号 09025122(　B　)
A．线段AB的中垂线　　 B．线段AB的中垂面
C．过AB中点的一条直线　　 D．一个圆
[解析]　空间中线段AB的中垂面上的任意一点到A、B两点距离相等．
3．若一个三角形的平行投影仍是三角形，则下列命题：
①三角形的高线的平行投影，一定是这个三角形的平行投影的高线；
②三角形的中线的平行投影，一定是这个三角形的平行投影的中线；
③三角形的角平分线的平行投影，一定是这个三角形的平行投影的角平分线；
④三角形的中位线的平行投影，一定是这个三角形的平行投影的中位线．
其中正确的命题有导学号 09025124(　D　)
A．①②　　 B．②③　　 C．③④　　 D．②④
[解析]　垂直线段的平行投影不一定垂直，故①错；线段的中点的平行投影仍是线段的中点，故②正确；三角形的角平分线的平行投影，不一定是角平分线，故③错；因为线段的中点的平行投影仍然是线段的中点，所以中位线的平行投影仍然是中位线，故④正确．选D．
4．如图，在同一直角坐标系中，表示直线y＝ax与y＝x＋a正确的是导学号 09025125(　C　)
 
[解析]　当a>0时，直线y＝ax的斜率k＝a>0，直线y＝x＋a在y轴上的截距等于a>0，此时，选项A、B、C、D都不符合；当a<0时，直线y＝ax的斜率k＝a<0，直线y＝x＋a在y轴上的截距等于a<0，只有选项C符合，故选C．
5．已知圆x2＋y2＋4x－4y＋m＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为2，则实数m的值是导学号 09025126(　C　)
A．3　　 B．4　　 C．5　　 D．7
[解析]　圆x2＋y2＋4x－4y＋m＝0的圆心(－2,2)，半径r＝8－m(m<8)．圆心(－2,2)到直线x＋y＋2＝0的距离d＝|－2＋2＋2|12＋12＝2，由题意，得m＝5.
6．在圆柱内有一个内接正三棱锥，过一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是导学号 09025127(　D　)
 
[解析]　如图所示，由图可知选D．
 
7．(2016•天水市高一检测)圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A、B两点，则AB的垂直平分线的方程是导学号 09025128(　C　)
A．x＋y＋3＝0　　  B．2x－y－5＝0 
C．3x－y－9＝0　　  D．4x－3y＋7＝0
[解析]　圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心C1(2，－3)，圆x2＋y2－6x＝0的圆心C2(3,0)，AB的垂直平分线过圆心C1、C2，∴所求直线的斜率k＝0＋33－2＝3，所求直线方程为y＝3(x－3)，即3x－y－9＝0.
8．(2016•南平高一检测)已知直线l与直线2x－3y＋4＝0关于直线x＝1对称，则直线l的方程为导学号 09025129(　A　)
A．2x＋3y－8＝0　　  B．3x－2y＋1＝0
C．x＋2y－5＝0　　  D．3x＋2y－7＝0
[解析]　由2x－3y＋4＝0x＝1，得x＝1y＝2.
由题意可知直线l的斜率k与直线2x－3y＋4＝0的斜率互为相反数，
∴k＝－23，故直线l的方程为y－2＝－23(x－1)，即2x＋3y－8＝0.
9．某几何体的三视图如下所示，则该几何体的体积是导学号 09025130(　B　)
 
A．332　　 B．1336　　 C．233　　 D．1136
[解析]　该几何体是一个正三棱柱和一个三棱锥的组合体，故体积V＝34×22×32＋13×34×22×2＝1336.
10．(2016～2017•郑州高一检测)过点M(1,2)的直线l与圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝25交于A，B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程是导学号 09025131(　D　)
A．x－2y＋3＝0　　 B．2x＋y－4＝0 C．x－y＋1＝0　　 D．x＋y－3＝0
[解析]　由圆的几何性质知，圆心角∠ACB最小时，弦AB的长度最短，
此时应有CM⊥AB.
∵kCM＝1，
∴kl＝－1.
∴直线l方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.
故选D．
11．若圆C：x2＋y2－4x－4y－10＝0上至少有三个不同的点到直线l：x－y＋c＝0的距离为22，则c的取值范围是导学号 09025132(　C　)
A．[－22，22]　　  B．(－22，22)
C．[－2,2]　　  D．(－2,2)
[解析]　圆C：x2＋y2－4x－4y－10＝0整理为(x－2)2＋(y－2)2＝(32)2，∴圆心坐标为C(2,2)，半径长为32，要使圆上至少有三个不同的点到直线l：x－y＋c＝0的距离为22，如右图可知圆心到直线l的距离应小于等于2，∴d＝|2－2＋c|1＋1＝|c|2≤2，解得|c|≤2，即－2≤c≤2.
 
12．已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M、N分别是圆C1、C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为导学号 09025133(　A　)
A．52－4　　 B．17－1 C．6－22　　 D．17
[解析]　两圆的圆心均在第一象限，先求|PC1|＋|PC2|的最小值，作点C1关于x轴的对称点C1′(2，－3)，则(|PC1|＋|PC2|)min＝|C1′C2|＝52，所以(|PM|＋|PN|)min＝52－(1＋3)＝52－4.
第Ⅱ卷(非选择题　共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．(2016•曲阜师大附中高一检测)△ABC中，已知点A(2,1)、B(－2,3)、C(0,1)，则BC边上的中线所在直线的一般方程为__x＋3y－5＝0__.导学号 09025134
[解析]　BC边的中点D的坐标为(－1,2)，
∴BC边上的中线AD所在直线的方程为y－21－2＝x＋12＋1，即x＋3y－5＝0.
14．(2016•南安一中高一检测)已知直线y＝kx＋2k＋1，则直线恒经过的定点__(－2,1)__.导学号 09025135
[解析]　解法一：直线y＝kx＋2k＋1，即
k(x＋2)＋1－y＝0，
由x＋2＝01－y＝0，得x＝－2y＝1.
∴直线恒经过定点(－2,1)．
解法二：原方程可化为y－1＝k(x＋2)，
∴直线恒经过定点(－2,1)．
15．一个正四棱台，其上、下底面边长分别为8 cm和18 cm，侧棱长为13 cm，则其表面积为__1 012 cm2__.导学号 09025136
[解析]　由已知可得正四棱台侧面梯形的高为
h＝132－18－822＝12(cm)，
所以S侧＝4×12×(8＋18)×12＝624(cm2)，
S上底＝8×8＝64(cm2)，S下底＝18×18＝324(cm2)，
于是表面积为S＝624＋64＋324＝1 012(cm2)．
16．已知正方体ABCD－A1B1C1D1，点P在面对角线BC1上运动，则下列四个命题：导学号 09025137
 
①三棱锥A－D1PC的体积不变；②A1P∥平面ACD1；③DP⊥BC1；④平面PDB1⊥平面ACD1.
其中正确命题的序号是　①②④　.
[解析]　①因为BC1∥AD1，所以BC1∥平面AD1C，所以直线BC1上任一点到平面AD1C的距离都相等，
所以VA－D1PC＝VP－AD1C＝VB－AD1C为定值，正确；
②因为AC∥A1C1，AD1∥BC1，AC∩AD1＝A，A1C1∩BC1＝C1，所以平面ACD1∥平面A1BC1，因为A1P⊂平面A1BC1，所以A1P∥平面ACD1，正确；
③假设DP⊥BC1，因为DC⊥BC1，DC∩DP＝D，所以BC1⊥平面DPC，所以BC1⊥CP，因为P是BC1上任一点，所以BC1⊥CP不一定成立，错误；
④因为B1B⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以B1B⊥AC，又AC⊥BD，BD∩B1B＝B，所以AC⊥平面BB1D，所以AC⊥DB1，同理可知AD1⊥DB1，因为AC∩AD1＝A，所以DB1⊥平面ACD1，因为DB1⊂平面PDB1，所以平面PDB1⊥平面ACD1，正确．
故填①②④.
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知直线l1：ax－by－1＝0(a、b不同时为0)，l2：(a＋2)x＋y＋a＝0.导学号 09025138
(1)若b＝0且l1⊥l2，求实数a的值；
(2)当b＝2，且l1∥l2时，求直线l1与l2之间的距离．
[解析]　(1)若b＝0，则l1：ax－1＝0，
l2：(a＋2)x＋y＋a＝0.
∵l1⊥l2，∴a(a＋2)＝0，∴a＝－2或0(舍去)，即a＝－2.
(2)当b＝2时，l1：ax－2y－1＝0，
l2：(a＋2)x＋y＋a＝0，
∵l1∥l2，∴a＝－2(a＋2)，∴a＝－43.
∴l1：4x＋6y＋3＝0，l2：2x＋3y－4＝0，
∴l1与l2之间的距离d＝|32＋4|22＋32＝111326.
18．(本小题满分12分)自A(4,0)引圆x2＋y2＝4的割线ABC，求弦BC中点P的轨迹方程.导学号 09025139
[解析]　连接OP，则OP⊥BC，设P(x，y)，当x≠0时，kOP•kAP＝－1，
即yx•yx－4＝－1.
即x2＋y2－4x＝0.①
当x＝0时，P点坐标为(0,0)是方程①的解，所以BC中点P的轨迹方程为x2＋y2－4x＝0(在已知圆内)．
19．(本小题满分12分)(2016•葫芦岛高一检测)已知半径为2，圆心在直线y＝x＋2上的圆C.导学号 09025140
(1)当圆C经过点A(2,2)且与y轴相切时，求圆C的方程；
(2)已知E(1,1)、F(1,3)，若圆C上存在点Q，使|QF|2－|QE|2＝32，求圆心横坐标a的取值范围．
[解析]　(1)设圆心坐标为(a，－a＋2)，
∵圆经过点A(2,2)且与y轴相切，
∴2－a2＋[2－－a＋2]2＝4|a|＝2，
解得a＝2.
∴圆C的方程为(x－2)2＋y2＝4.
(2)设Q(x，y)，由已知，得
(x－1)2＋(y＋3)2－[(x－1)2＋(y－1)2]＝32，
即y＝3.∴点Q在直径y＝3上．
又∵Q在圆C上，∴圆C与直线y＝3相交，
∴1≤－a＋2≤5，∴－3≤a≤1.
∴圆心横坐标a的取值范围为－3≤a≤1.
20．(本小题满分12分)已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，斜率为1的直线l与圆C交于A、B两点.导学号 09025141
(1)化圆的方程为标准形式，并指出圆心和半径；
(2)是否存在直线l，使以线段AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由；
(3)当直线l平行移动时，求△CAB面积的最大值．
[解析]　(1)(x－1)2＋(y＋2)2＝9.圆心C(1，－2)，r＝3.
(2)假设存在直线l，设方程为y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵以AB为直径的圆过圆心O，
∴OA⊥OB，即x1x2＋y1y2＝0.
y＝x＋mx2＋y2－2x＋4y－4＝0，
消去y得2x2＋2(m＋1)x＋m2＋4m－4＝0.
Δ＞0得－32－3＜m＜32－3.
由根与系数关系得：
x1＋x2＝－(m＋1)，x1x2＝m2＋4m－42，
y1y2＝(x1＋m)(x2＋m)＝x1x2＋m(x1＋x2)＋m2
∴x1x2＋y1y2＝2x1x2＋m(x1＋x2)＋m2＝0.
解得m＝1或－4.
直线l方程为y＝x＋1或y＝x－4.
(3)设圆心C到直线l：y＝x＋m的距离为d，
|AB|＝29－d2，
S△CAB＝12×29－d2×d＝9d2－d4＝
814－d2－922≤92，此时d＝322，l的方程为y＝x或y＝x－6.
21．(本小题满分12分)(2017•全国卷Ⅰ文，18)如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°.导学号 09025142
 
(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；
(2)若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，且四棱锥P－ABCD的体积为83，求该四棱锥的侧面积．
[解析]　(1)证明：由已知∠BAP＝∠CDP＝90°，得AB⊥AP，CD⊥PD.
因为AB∥CD，所以AB⊥PD.
又AP∩DP＝P，且AP，DP⊂平面PAD
所以AB⊥平面PAD.
因为AB⊂平面PAB，
所以平面PAB⊥平面PAD.
(2)解：如图，在平面PAD内作PE⊥AD，垂足为点E.
 
由(1)知，AB⊥平面PAD，故AB⊥PE，AB⊥AD，又∵AD∩AB＝A.
可得PE⊥平面ABCD.
设AB＝x，则由已知可得AD＝2x，PE＝22x.
故四棱锥P－ABCD的体积VP－ABCD＝13AB•AD•PE＝13x3.
由题设得13x3＝83，故x＝2.
从而结合已知可得PA＝PD＝AB＝DC＝2，AD＝BC＝22，PB＝PC＝22.
可得四棱锥P－ABCD的侧面积为
12PA•PD＋12PA•AB＋12PD•DC＋12BC2sin 60°＝6＋23.
22．(本小题满分12分)已知⊙C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0.导学号 09025143
(1)若⊙C的切线在x轴、y轴上截距相等，求切线的方程；
(2)从圆外一点P(x0，y0)向圆引切线PM，M为切点，O为原点，若|PM|＝|PO|，求使|PM|最小的P点坐标．
[解析]　⊙C：(x＋1)2＋(y－2)2＝4，
圆心C(－1,2)，半径r＝2.
(1)若切线过原点设为y＝kx，
则|－k－2|1＋k2＝2，∴k＝0或43.
若切线不过原点，设为x＋y＝a，
则|－1＋2－a|2＝2，∴a＝1±22，
∴切线方程为：y＝0，y＝43x，
x＋y＝1＋22和x＋y＝1－22.
(2)x20＋y20＋2x0－4y0＋1＝x20＋y20，
∴2x0－4y0＋1＝0，
|PM|＝x20＋y20＋2x0－4y0＋1＝5y20－2y0＋14
∵P在⊙C外，∴(x0＋1)2＋(y0－2)2>4，
将x0＝2y0－12代入得5y20－2y0＋14>0，
∴|PM|min＝510.此时P－110，15. 文 章
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