2018年高考数学一轮复习（文科）训练天天练40 （有答案和解释）

天天练 40　选修系列
　　　　　　　　　　　　　

1．(2017•北京卷，11)在极坐标系中，点A在圆ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0上，点P的坐标为(1,0)，则|AP|的最小值为________．
答案：1
解析：由ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得
x2＋y2－2x－4y＋4＝0，即(x－1)2＋(y－2)2＝1，
圆心坐标为C(1,2)，半径长为1.
∵ 点P的坐标为(1,0)，∴ 点P在圆C外．
又∵ 点A在圆C上，∴ |AP|min＝|PC|－1＝2－1＝1.
2．(2017•天津卷，11)在极坐标系中，直线4ρcosθ－π6＋1＝0与圆ρ＝2sin θ的公共点的个数为________．
答案：2
解析：由4ρcosθ－π6＋1＝0得23ρcos θ＋2ρsin θ＋1＝0，
故直线的直角坐标方程为23x＋2y＋1＝0.
由ρ＝2sin θ得ρ2＝2ρsin θ，
故圆的直角坐标方程为x2＋y2＝2y，
即x2＋(y－1)2＝1.圆心为(0,1)，半径为1.
∵ 圆心到直线23x＋2y＋1＝0的距离d＝|2×1＋1|232＋22＝34＜1，∴ 直线与圆相交，有两个公共点．
3．(2018•山西五校联考(一))在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x＝1＋22t，y＝2＋22t(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝4sinθ.
(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|.
解析：(1)由题意知，直线l的普通方程为x－y＋1＝0，曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－4y＝0，即x2＋(y－2)2＝4.
(2)解法一：由(1)知，曲线C是以点(0,2)为圆心，2为半径的圆，
圆心到直线x－y＋1＝0的距离d＝22，则|AB|＝2× 4－12＝14.
解法二：由x－y＋1＝0，x2＋y2－4y＝0可取A，B两点的坐标分别为1＋72，3＋72，1－72，3－72，
由两点间的距离公式可得|AB|＝14.
解法三：设A，B两点所对应的参数分别为tA，tB，
将x＝1＋22t，y＝2＋22t代入x2＋y2－4y＝0，并化简整理可得t2＋2t－3＝0，
从而tA＋tB＝－2，tAtB＝－3，因此|AB|＝tA＋tB2－4tAtB＝14.
4．(2017•新课标全国卷Ⅰ，22)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝3cos θ，y＝sin θ(θ为参数)，直线l的参数方程为x＝a＋4t，y＝1－t(t为参数)．
(1)若a＝－1，求C与l的交点坐标；
(2)若C上的点到l距离的最大值为17，求a.
解析：(1)曲线C的普通方程为x29＋y2＝1.
当a＝－1时，直线l的普通方程为x＋4y－3＝0.
由x＋4y－3＝0，x29＋y2＝1，
解得x＝3，y＝0或x＝－2125，y＝2425.
从而C与l的交点坐标为(3,0)，－2125，2425.
(2)直线l的普通方程为x＋4y－a－4＝0，故C上的点(3cos θ，sin θ)到l的距离为d＝|3cos θ＋4sin θ－a－4|17.
当a≥－4时，d的最大值为a＋917.
由题设得a＋917＝17，所以a＝8；
当a＜－4时，d的最大值为－a＋117.
由题设得－a＋117＝17，
所以a＝－16.
综上，a＝8或a＝－16.
5．设函数f(x)＝|x|＋|x＋10|，不等式f(x)≤x＋15的解集为M.
(1)求M；
(2)当a，b∈M时，求证：5|a＋b|≤|ab＋25|.
解析：(1)由f(x)≤x＋15得，
x＋15≥0，x≤－10，－x－x－10≤x＋15或x＋15≥0，－10<x<0，－x＋x＋10≤x＋15
或x＋15≥0，x≥0，x＋x＋10≤x＋15，
解得－5≤x≤5，所以f(x)≤x＋15的解集M＝[－5,5]．
(2)当a，b∈M，即－5≤a≤5，－5≤b≤5时，
要证5|a＋b|≤|ab＋25|，即证25(a＋b)2≤(ab＋25)2.
因为25(a＋b)2－(ab＋25)2＝25(a2＋2ab＋b2)－(a2b2＋50ab＋625)＝25a2＋25b2－a2b2－625＝(a2－25)(25－b2)≤0，所以25(a＋b)2≤(ab＋25)2，即5|a＋b|≤|ab＋25|.
6．(2017•新课标全国卷Ⅰ，23)已知函数f(x)＝－x2＋ax＋4，g(x)＝|x＋1|＋|x－1|.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；
(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]，求a的取值范围．
解析：(1)当a＝1时，不等式f(x)≥g(x)等价于
x2－x＋|x＋1|＋|x－1|－4≤0.①
当x＜－1时，①式化为x2－3x－4≤0，无解；
当－1≤x≤1时，①式化为x2－x－2≤0，从而－1≤x≤1；
当x＞1时，①式化为x2＋x－4≤0，
从而1＜x≤－1＋172.
所以f(x)≥g(x)的解集为x－1≤x≤－1＋172.
(2)当x∈[－1,1]时，g(x)＝2，
所以f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]等价于当x∈[－1,1]时，f(x)≥2.
又f(x)在[－1,1]的最小值必为f(－1)与f(1)之一，所以f(－1)≥2且f(1)≥2，得－1≤a≤1.
所以a的取值范围为[－1,1]．