2018届高考一模文科数学试题（北京市门头沟带答案）

门头沟区2018年高三综合练习（一）
数学（文）2018.4
一、选择题（本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 设全集   ，集合 ，则 =
  A．｛0，4｝　 B．｛1，5｝　　 C．｛2，0，4｝　 D．｛2，0，5｝
2. 复数 满足 ，复数 是                                         
A．    B．    C．      D. 
3. 下列函数中，在区间 上为增函数的是            
A.      B.       C.        D.  
4.已知双曲线 ，它的渐近线的方程
A．      B．      C．     D． 
5.等差数列 中，前 项和为 ，公差 ，且 ，若 ，则 =
A． 0                  B．      
  C． 的值不确定       D． 
6. 直线 ， ，则“ ”是“ ”
A.充分不必要条件        B. 必要不充分条件
 C.充分必要条件         D. 既不充分也不必要条件

7. 已知 分别为 三个内角 的对边，
且 ，则 中 为                             
A．   B．           C．   D． 
8. 某电力公司在工程招标中是根据技术、商务、报价三项评分标准进行综合评分的，按照综合得分的高低进行综合排序，综合排序高者中标。
分值权重表如下：
总分 技术 商务 报价
100% 50% 10% 40%
技术标、商务标基本都是由公司的技术、资质、资信等实力来决定的。报价表则相对灵活，报价标的评分方法是：基准价的基准分是68分，若报价每高于基准价1%，则在基准分的基础上扣0.8分，最低得分48分；若报价每低于基准价1%，则在基准分的基础上加0.8分，最高得分为80分。若报价低于基准价15%以上(不含15%)每再低1%，在80分在基础上扣0.8分。
在某次招标中，若基准价为1000（万元）。甲、乙两公司综合得分如下表：
公司 技术 商务 报价
甲 80分 90分  分

乙 70分 100分  分

甲公司报价为1100（万元），乙公司的报价为800（万元）则甲，乙公司的综合得分，分别是                            
A．73，75.4     B．73,80      C．74.6,76     D．74.6 ,75.4

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分. ）
9. 某高中校高一、高二、高三三个年级人数分别为 通过分层抽样从中抽取40人进行问卷调查，高三抽取的人数是      。
10. 已知两个单位向量 的夹角为60°, ，若 ，
则 =    。

11．某几何体三视图如图1­1所示，则该几何体的体积为     。

12．右图是抛物线形拱桥,当水面在 时,拱顶离水面2米,
水面宽4米,水位下降1米后,水面宽     米。

13.无穷数列 由 个不同的数组成， 为 的前 项和.若对任意  ，则称这个数列为“有限和数列”，试写出一个“ 最大的有限和数列”                   。
14．已知函数 ,其中常数 ;若 在 上单调递增,则 的取值范围          。
三、解答题：（本大题共6小题，满分80分.）
15. （本小题满分13分）
已知函数 。
（1）求 的最小正周期：
（2）求 在区间 上的最大值和最小值。

 
16．（本小题满分13分）
2022年第24届冬奥会将在北京举行。为了推动我国冰雪运动的发展,京西某区兴建了“腾越”冰雪运动基地。通过对来“腾越”参加冰雪运动的100员运动员随机抽样调查，他们的身份分布如下： 注:将表中频率视为概率。
身份 小学生 初中生 高中生 大学生 职工 合计
人数 40 20 10 20 10 100
对10名高中生又进行了详细分类如下表：
年级 高一 高二 高三 合计
人数 4 4 2 10
 (1)求来“腾越”参加冰雪运动的人员中高中生的概率；
(2)根据统计，春节当天来“腾越”参加冰雪运动的人员中，小学生是340人，估计高中生是多少人？
（3）在上表10名高中生中，从高二，高三6名学生中随机选出2人进行情况调查，至少有一名高三学生的概率是多少？

17.（本小题满分13分）在四棱锥 中，
 
 为正三角形，且 。
（1）求证： ；
（2）求四棱锥 的体积；
（3）是否存在线段 （端点 除外）上一点 ，使得 ，
若存在，指出点 的位置，若不存在，请明理由。

 
18. （本题满分13分）在等差数列 中， 为其前 和，若 。
（1）求数列 的通项公式 及前前 和 ；
（2）若数列 中 ，求数列 的前 和 ；
（3）设函数 ， ，求数列 的前 和 （只需写出结论）。

19. （本题满分14分）已知椭圆 ，三点 中恰有二点在椭圆 上，且离心率为 。
（1）求椭圆 的方程；
（2）设 为椭圆 上任一点， 为椭圆 的左右顶点， 为 中点，
求证：直线 与直线 它们的斜率之积为定值；
（3）若椭圆 的右焦点为 ，过 的直线 与椭圆 交于 ，
求证：直线 与直线 斜率之和为定值。
 
20.（本题满分14分）已知 在 处的切线
方程为 。
（1）求 的解析式；
（2）求 的导函数 的零点个数；
（3）求证： 。

 
门头沟区2018年高三综合练习（一）
数学（文）评分标准2018.4
一、选择题（本大题共8个小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D A A B A C A
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分. ）
题号 9 10 11 12 13 14
答案 16 2 
 
 不是无穷数列不给分
 

三、解答题：（本大题共6小题，满分80分.）
15. （本小题满分13分）
已知函数 。
（1）求 的最小正周期：
（2）求 在区间 上的最大值和最小值。
解：（1） ， ……5分
（2） ，………8分
所以，当 时， ………………………………………10分
当 时， ………………………………13分
16．（本小题满分13分）
2022年第24届冬奥会将在北京举行。为了推动我国冰雪运动的发展,京西某区兴建了“腾越”冰雪运动基地。通过对来“腾越”参加冰雪运动的100员运动员随机抽样调查，他们的身份分布如下：
身份 小学生 初中生 高中生 大学生 职工
人数 40 20 10 20 10
对10名高中生又进行了详细分类如下表：
年级 高一 高二 高三
人数 4 4 2
注:将频率视为概率。
(1)求来“腾越”参加冰雪运动的人员中高中生的概率；
(2)根据统计，春节当天来“腾越”参加冰雪运动的人员中小学生是340人，估计高中生是多少人？
（3）在上表10名高中生中，从高二，高三6名学生中随机选出2人进行情况调查，至少有一名高三学生的概率是多少？
解：(1)设来“腾越”参加冰雪运动的人员中高中生为事件 ，
则 …………………………………………………………3分
(2)春节当天来“腾越”参加冰雪运动的人数设为 ， ，
高中生为： 人。………………………………………………7分
（3）高二这4人分别记为 ，高三这2人分别记为 ，
任取2人共 15种情况，…10分
设事件 为任取2人中至少有1名高三学生，则 ……12分
答：从高二，高三随机选出2人进行情况调查，至少有一名高三学生的概率是 ……13分
17.（本小题满分13分）在四棱锥 中，
 
 为正三角形，且 。
（1）求证： ；
（2）求四棱锥 的体积；
（3）是否存在线段 （端点 除外）上一点 ，使得 ，
若存在，指出点 的位置，若不存在，请明理由。
解：（1）由题意可知， ，四边形 为平行四边形，…2分
 ………………………………6分
（2）设 是 中点， 为正三角形，则 ， ，
 ，………………………………………………8分
 ， ……10分
（3）不存在，若 ，则 ，又 ，
则 ，与 矛盾，故线段 （端点 除外）上不存在点 ，使得 ………………………13分
如果只说出不存在，没有证明给1分。
18. （本题满分13分）在等差数列 中， 为其前 和，若 。
（1）求数列 的通项公式 及前前 和 ；
（2）若数列 中 ，求数列 的前 和 ；
（3）设函数 ， ，求数列 的前 和 （只需写出结论）。
解：（1）由题意可知， …………2分
得： ……………………6分
（2） ，
 …………10分
（3）
 ，……，
 
当 时， ，当
当
 ，所以 …13分

19. （本题满分14分）已知椭圆 ，三点 中恰有二点在椭圆 上，且离心率为 。
（1）求椭圆 的方程；
（2）设 为椭圆 上任一点， 为椭圆 的左右顶点， 为 中点，
求证：直线 与直线 它们的斜率之积为定值；
（3）若椭圆 的右焦点为 ，过 的直线 与椭圆 交于 ，
求证：直线 与直线 斜率之和为定值。
解：（1）由椭圆性质得：
在椭圆上，
得： …4分
（2）设 为椭圆上任一点， ，
得： ………………………………………………8分
（3）设直线 ： ，设
联立得：
 
 ， …10分
代入得， …………14分
20.（本题满分14分）已知 在 处的切线
方程为 。
（1）求 的解析式；
（2）求 的导函数 的零点个数；
（3）求证：
解：（1）
 ， ………………………4分
（2） ，设 ，
则 ， 在 上递增，
 ，存在 ，
 的导函数 的零点个数为1个。………………………8分
（3）由（2）可知， 在 上递减，在 上递增，
 ，所以， …14分