2018年高考数学一模试题（北京市延庆区理含答案)

延庆区2017—2018学年度高三模拟试卷
                 数学（理科）          2018.3
本试卷共6页，满分150分，考试时间120分钟
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若集合 ，则                 
（A）                       （B） 或 
（C）                       （D） 或

2. 在复平面内，复数 的对应点位于的象限是                 
（A）第一象限 （B）第二象限
  （C）第三象限 （D）第四象限

3. 已知函数 是定义域为 的奇函数，且 ，那么
（A）-2          （B）0          （C）1           （D）2

4. 已知非零向量 则“ ”是“ ”的 
（A）充分不必要条件                   （B）必要不充分条件 
（C）充要条件                         （D）既不充分也不必要条件 

5. 若 ， 满足 则 的最小值为
（A）           （B）            （C）          （D）
6. 该程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”,执行该程序框图,若输入的 分别为14,4,则输出的 为
（A）0           （B）2 
（C）4           （D）14  

7. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长为               

（A） 　　 
（B） 　　　
（C）  　　
（D）

8. 若 是函数 的两个不同的零点，且 这三个数适当排序后可成等差数列，且适当排序后也可成等比数列，则 的值等于
（A）4          （B）5           （C）6          （D）7

第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9. 设双曲线 的焦点为 为该双曲线上的一点，若 ，则 　         　．
10. 已知 ，其周期为 ，则 =          ，当 时，函数 的最大值为　         　．
11. 无偿献血是践行社会主义核心价值观的具体行动,需要在报名的2名男教师和6名女教师中，选取5人参加无偿献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方法的种数为　         　．（结果用数值表示）

12. 以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设 ， 为 与 的交点，则 的极径为　         　．

13. 已知 在定义域内均为增函数，但 不一定是增函数，例如当 =            且 =              时， 不是增函数.

14. 有4个不同国籍的人，他们的名字分别是A、B、C、D，他们分别来自英国、美国、德国、法国（名字顺序与国籍顺序不一定一致）. 现已知每人只从事一个职业，且：
（1）A和来自美国的人他们俩是医生；
（2）B和来自德国的人他们俩是教师；
（3）C会游泳而来自德国的人不会游泳；
（4）A和来自法国的人他们俩一起去打球.
根据以上条件可推测出A是来自        国的人，D是来自       国的人.

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+ cosA=0，a=2 ，b=2.
（Ⅰ）求角A；     
（Ⅱ）求边c及△ABC的面积.

16.（本小题满分13分）
某车险的基本保费为 （单位：元），继续购买车险的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
保费 0.85
 
1.25
1.5
1.75
2

随机调查了该险种的1000名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：
出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
频数 400 270 200 80 40 10
（Ⅰ）记 为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”,求 的估计值；
（Ⅱ）某公司有三辆汽车,基本保费均为 ,根据随机调查表的出险情况,记 为三辆车中一年内出险的车辆个数,写出 的分布列；
（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费估计值．
 

17.（本小题满分14分）
如图，在几何体 中，四边形 是矩形， 平面 ， ， ，点 分别是线段 的中点.
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值；
（Ⅲ）在线段 上是否存在一点 ，使得 ，若存在，求 的长，若不存在，请说明理由.

18.（本小题满分13分）
已知函数 （ 为自然对数的底数）.
（Ⅰ）求曲线 在点 处的切线方程；
（Ⅱ）设不等式 的解集为 ，且 ,求实数 的取值范围；
（Ⅲ）设 ，写出函数 的零点的个数.（只需写出结论）

19. （本小题满分14分）
已知椭圆 ： 过点 且离心率 .
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）设动直线 与两定直线 和 分别交于 两点．若直线 总与椭圆 有且只有一个公共点，试探究： 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．

20.（本小题满分13分）
设满足以下两个条件的有穷数列  为  阶“ 数列”：
① ；    ② .
（Ⅰ）分别写出一个单调递增的 阶和 阶“ 数列”；
（Ⅱ）若2018阶“ 数列”是递增的等差数列，求该数列的通项公式；
（Ⅲ）记 阶“ 数列”的前 项和为 ，试证 .

2017-2018延庆区一模考试数学（理）评分标准
一、选择题    DCDB  DBDB  
二、填空题 9. 7  10.  ,2或   11. 50  12. 2
 13. 答案不唯一 14.英, 德（第一空3分第二空2分）
13题参考答案：
三、解答题
15. （Ⅰ）由                                
                                                ………2分                             
即 ，                            ………3分
又 ，∴ ，得 .             ………5分
（Ⅱ）由余弦定理 ，         ………6分
又∵                         ………8分
代入并整理得 ，故 ；               ………11分
               ………13分
16.（Ⅰ）事件A的人数为：400+270=670，该险种有1000人续保，所以P（A）的估计值为：                                  ………3分        
（Ⅱ） 的可能取值为0，1，2，3，                   ………4分
由出险情况的统计表可知：一辆车一年内不出险的概率为 ，
出险的概率为 ，则                            ………5分
 ，
 ，     ………9分
所以的 分布列为：
 

                                                  ………10分
（Ⅲ）续保人本年度的平均保费估值为：
 
………13分
17（Ⅰ）如图，取 的中点 ，连接 ，又 是 的中点，
所以   ，且                    ………1分
又 是 中点，所以 ，
由四边形 是矩形得， ，  ，  ………2分
所以 ，  ，                   
从而四边形 是平行四边形， ，      ………3分
又 平面 ， 平面   所以 平面 ………4分
法一：（Ⅱ）如图，在平面 内，过点 作 ,因为 又因为 平面 ，所以 ，  以 为原点，分别以 的方向为 轴， 轴， 轴的正方向建立空间直角坐标系，…5分
则                          ………6分
因为 平面 ，所以 为平面 的法向量，………7分
设 为平面 的法向量，又
由 取 得 .  ………9分
从而                     ………10分
所以平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值为 .
（Ⅲ）假设在线段 存在点 ，设点 的坐标为 .    ………11分
因为  
所以 ，                     ………12分
因为 ， 所以                    .………13分
所以                                              ………14分
法二：（Ⅱ）以 点为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，过 做垂直平面 的直线为 轴，建立空间直角坐标系，则 ， ，
 ， 为平面 的法向量，                  ………7分
设 为平面 的法向量，又
由 得 取 得          ………9分
从而                       ………10分
所以平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值为 .
（Ⅲ）假设在线段 存在点 ，设点 的坐标为 .    ………11分
因为  
所以 ，                     ………12分
因为 ， 所以                    .………13分
所以                                              ………14分
18（Ⅰ） 所以切线的斜率                          
又因为 ，                                               ……2分
所以切线方程为  .                                           ……3分
（Ⅱ）因为不等式 的解集为P，且 ，
所以，对任意的 ，不等式 恒成立，              ………4分
由 得 .当 时， 上述不等式显然成立，故只需考虑 的情况.                                               ………5分
将 变形得                                  ………6分
令 ，                               ………7分
令 ，解得 ；令 ，解得      
从而 在（0,1）内单调递减，在（1，2）内单调递增.            ………8分
当 时，  取得最小值 ，所以实数的取值范围是 .……9分
（Ⅲ）当 时有一个零点；当   无零点
当 时有一个零点；当   时有两个零点.             ………13分
19 （Ⅰ）由已知得
 所以椭圆的 方程为    …………4分
（Ⅱ）当直线 的斜率不存在时，直线 为 或
都有 .                              ………6分
当直线 的斜率存在时，设直线 ，
 由  消去 ，可得
 ，由题可知， ，有        ………8分
又  可得 ；同理可得 .
由原点 到直线 的距离为 和
可得                                ………10分
∵ ，∴                 ………11分       
当 ，即 时， ………12分
当 ，即 时，
因为 ，所以 ，所以 ，当且仅当 时等号成立. 综上，当 时， 的面积存在最小值为          ………14分
20.解：（Ⅰ）数列 为单调递增的 阶“ 数列”；
数列 为单调递增的 阶“ 数列”. （答案不唯一）       ┄4分
（Ⅱ）设等差数列 的公差为 ，
因为 ，所以 .即 .
所以 . 于是 .           ┄5分
由于 ，根据“ 数列”的条件①②得
 ，      ┄6分      
两式相减得 .即  .                 ┄8分
由 得 ，即 . ┄10分
所以  . ┄11分
（Ⅲ）当 时，显然 成立；当 时，根据条件①得
 ，
 所以  .
所以
 .
  所以  .                      ┄13分