2018届高考一模数学试卷（文）（太原市有答案）

太原五中2017—2018学年度第二学期阶段性检测
高  三  数  学(文)
出题人、校对人：刘晓瑜、郭舒平、董亚萍、刘锦屏、凌河、闫晓婷  (2018.4.2）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1、已知 ， ，则 （     ）
                          
2、已知复数 为虚数单位 在复平面内对应的点在第三象限，
则实数 的取值范围是（     ）
                                      
3、设 ， ， ，则（     ）
                                  
4、我市某小学三年级有甲、乙两个班，其中甲班有男生 人，女生 人，乙班有男
生 人，女生 人，现在需要各班按男、女生分层抽取 的学生进行某项调查，
则两个班共抽取男生人数是（     ）
                                                         
5、在区间 ， 随机地取一个数 ，则方程 表示焦点在 轴上的椭圆的概率是（     ）
                                                         
6、《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该著作完善了珠算
口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，对我国民间普及珠算和数
学知识起到了很大的作用．如图所示的程序框图的算法思路
源于该著作中的“李白沽酒”问题，执行该程序框图，若输
出的 的值为 ，则输入的 的值为（     ）
                              
                      
7、设实数 ， 满足约束条件 ，
则 的最小值是（     ）
                                                        
8、已知三棱锥 的四个顶点都在球 的表面上， ，
 平面 ，且 ， ，则球 的表面积为（     ）
  　　             　           　  　          　 
9、已知平面上三点 ， ， 构成的三角形及其内
部即为区域 ，过 中的任意一点 作圆 的两条切线，切点分别为 ， ， 为坐标原点，则当 最小时， （     ）
                                         
10、平行四边形 中， ， ， ，点 在边 上，
则 的最大值为（     ）
                                                   
11、已知 ， 是双曲线 的左、右焦点，过 的直线 与双曲线的左支交于点 ，与右支交于点 ，若 ， ，
则 （     ）
                                                   
12、定义在 上的函数 为减函数，且函数 的图象关于点 对称，若 ，且 ，则 的取值范围是（     ）
                                          
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第13题—第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题—第23题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分
13、若 ，则 的值为        .
14、曲线 在点 ， 处的切线在 轴上的截距是        .
15、如图是某四面体的三视图，
则该几何体最长的棱长为　　　　　.

16、已知函数 ，关于 的方程  有四个不同的实数解 ， ， ， ，则 的取值范围为             ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17、（本小题满分12分）
在 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，且 .
（1）求角 的大小；
（2）已知等差数列 的公差不为零，若 ，且 ， ， 成等比数列，求 的前 项和 .

18、（本小题满分12分）
如图，在四棱锥 中，四边形 是菱形，对角线 与 的交点为 ， ， ， .
（1）证明： 平面 ；
（2）点 在棱 上，若体积 ，
求① 点的位置；② 与平面 所成角的正切值.

19、（本小题满分12分）
在2018年2月K12联盟考试中，我校共有100名文科学生参加考试，其中语文考试成绩低于130的占94%人，数学成绩的频率分布直方图如图：
（1）如果成绩不低于130的为特别优秀，这100名学生中本次考试语文、数学成绩特别优秀的大约各多少人？
（2）如果语文和数学两科都特别优秀的共有3人，从（1）中的这些同学中随机抽取2人，求这两人两科成绩都优秀的概率．
（3）根据以上数据，是否有99%的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀．
① ；
②
P（k2≥k0） 0.50 0.40 … 0.010 0.005 0.001
k0 0.455 0.708 … 6.635 7.879 10.828

20、（本小题满分12分）
已知动圆 与圆 相内切，且与圆 相内
切，记圆心 的轨迹为曲线 .
（1）求曲线 的方程；
（2）设 为曲线 上的一个不在 轴上的动点， 为坐标原点，过点 作直线交曲线 于 ， 两个不同的点，且满足 ∥ ， 的面积为 ，求直线 的方程.

21、（本小题满分12分）
已知函数 （ 为常数）．
（1）讨论函数 的单调区间；
（2）当 时，设  的两个极值点 ， （ ）恰为 的零点，求 的最小值．[来源:学科

请考生从第22、23 题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分.
22、（本小题满分10分）【选修4——4：坐标系与参数方程】
在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系 有相同的长度单位，曲线 的极坐标方程为 ，曲线 的极坐标方程为  .
（1）求曲线 的普通方程和 的直角坐标方程；
（2）设 分别交 、 于点 、 ，求 的面积.

23、（本小题满分10分）【选修4——5：不等式选讲】
已知函数 .
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若 ，且当 时，不等式 恒成立，
求实数 的取值范围．

太原五中2017-2018学年度第二学期阶段性检测答案
高三数学（文）
（2018.4.2）
一、选择题(每小题5分，共60分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B C A B B C C D B A C D

二、填空题(每小题5分，共20分)
    13. 14.  15.  16.  ，
三、解答题(本大题6小题，共70分)
17.(本小题满分12分）
解：（1）由正弦定理可得：  ，
从而可得 ，即 .
又 为三角形的内角，所以 ，于是 ，
又 为三角形的内角，所以 .                                          （6分）
（2）设 的公差为 ，因为 ，且 ， ， 成等比数列，所以 ，且 ，
所以 ，且 ，解得 ，
所以 ，所以  ，
所以   .      （12分）
18.(本小题满分12分）
证明：（1）∵ ，且 为 中点，∴ .
在菱形 中，∵ ， ，∴ ， .
又 ，∴ .　　
∵ ，∴ ， .
∵ ，∴ 平面 ；　　　                       （5分）
（2）①∵ ，
∴ ，即 ，∴ ， 为 的中点. 　     （7分）
②作 ∥ 交 与点 ，连结 .
∵ ， ，∴ 平面 ，
∴ 平面 ， 是 与平面 所成的角.
∵ ， ，
∴ .　　　　　　　　　　                        （12分）
19.(本小题满分12分）
解:（1）∵我校共有100名文科学生参加考试，其中语文考试成绩低于130的有94%人，
∴语文成绩特别优秀的概率为p1=1﹣0.94=0.06，
∴语文特别优秀的同学有100×0.06=6人，
∵数学成绩特别优秀的概率为p2=0.002×20=0.04，
∴数学特别优秀的同学有100×0.04=4人．                                   （4分）
（2）语文数学两科都优秀的有3人，单科优秀的有4人，
记两科都优秀的3人分别为A1、A2、A3，单科优秀的4人分别为B1、B2、B3、B4，从中随机抽取2人，共有：（A1，A2）、（A1，A3）、（A2，A3）、（A1，B1）、（A1，B2）、（A1，B3）、（A1，B4）、
（A2，B1）、（A2，B2）、（A2，B3）、（A2，B4）、（A3，B1）、（A3，B2）、（A3，B3）、
（A3，B4）、（B1，B2）、（B1，B3）、（B1，B4）、（B2，B3）、（B2，B4）、（B3，B4）21种，其中这两人两科成绩都优秀的有：（A1，A2）、（A1，A3）、（A2，A3）3种，
∴这两人两科成绩都优秀的概率 ．                                  （8分）
（3）2×2列联表：
 语文特别优秀 语文不特别优秀 合计
数学特别优秀 3 1 4
数学不特别优秀 3 93 96
合计 6 94 100

∴ ,
∴有99%的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀．                     （12分）
20．(本小题满分12分）
解：（1）设圆 的半径为 ，圆心 的坐标为 ，由于动圆 与圆 相切，且与圆 相内切，所以 .
所以圆心 的轨迹是以点 ， 为焦点的椭圆，且 ， ，则 ，
所以曲线 的方程为 .                                           （5分）
（2）由题意，设 ， ，直线 的方程为 .
由 可得 ，则 ， ，
所以  .
因为 ∥ ，所以 的面积等于 的面积.
又点 到直线 的距离 ，
所以 的面积 ，
因为 面积为 ，所以 ，解得 ，故直线 方程为 .（12分）
21．(本小题满分12分）
解：（1） ， ，
当 时，由 ，解得 ，即当 时， ， 单调递增；
由 ，解得 ，即当 时， ， 单调递减；
当 时， ，即 在 上单调递增；
当 时， ，故 ，即 在 上单调递增．
所以当 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；
当 时， 的单调递增区间为 ．（6分）
（2）由 得： ，
由已知 有两个互异实根 ， ，
由根与系数的关系得 ， ，
因为 ，  是 的两个零点，故        ①
  ②
由②-①得： ，解得 ，
因为 ，得 ，
将 代入得
  
   ，
所以 ，
设 ，因为 ，
所以 ，所以 ，所以 ，所以 ．
构造 ，得 ，
则 在 上是增函数，
所以 ，即 的最小值为 ．（12分）
22．(本小题满分10分）
解：（1）曲线 的普通方程： ，即 .
所以 的极坐标方程为 ，即 .
曲线 的直角坐标方程： .                                 （5分）
（2）依题意，设点 、 的极坐标分别为 .
将 代入 ，得 ，
将 代入 ，得 ，
所以 ，依题意得，点 到曲线 的距离为 .
所以 .                              （10分）
22．(本小题满分10分）
解：（1）当 时， ，则 ，
由 解得： 或 ，即原不等式的解集为 .   （5分）
（2） ，即 ，又 且 ，
所以 且
所以 .即 .
令 ，则 ，
所以 时， ，
所以 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 .                   （10分）