2018高三数学（理）联考试题一(天津市含答案)

2018年天津市高三毕业班联考（一）
数   学(理)
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．
第Ⅰ卷 选择题 (共40分)
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在答题卡规定的位置上．
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；
参考公式：•如果事件 、 互斥，那么 
 柱体的体积公式 . 其中 表示柱体的底面积, 表示柱体的高.
一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．
1. 设集合 ，则 （     ）
A.      B.      C.      D. 
2.设变量 满足线性约束条件  ，
则 的取值范围是（     ）
A.     B.    C.     D. 
3. 阅读如图所示的程序框图，则输出的数据为（     ）
A．21       B．58        C．141          D．318
4. 设条件 ：函数 在 上单调递增，条件 ：存在 使得不等式 成立，则 是 的（     ）
A．充分不必要条件         B．必要不充分条件
C．充要条件               D．既不充分也不必要条件
5. 函数   的部分图像如图所示，为了得到 的图像，只需将函数 的图象（     ）
A. 向左平移 个单位长度    B. 向左平移 个单位长度
C. 向右平移 个单位长度    D. 向右平移 个单位长度
6. 已知定义在R上的函数 的图像关于 对称， 且当 时， 单调递减，若 则 的大小关系是（     ）
A．   　　　　　 B．
C． 　 D．
7. 设 为双曲线 上一点，  分别为双曲线 的左、右焦点，  ，若 的外接圆半径是其内切圆半径的 倍，则双曲线 的离心率为（     ）
A.            B.            C. 2或3           D.  或
8．已知函数 ，若方程 恰有2个不同的实数根，则实数 的取值范围是（     ）
A． 　　　　　　 B．
C．  D． 

第Ⅱ卷 非选择题 (共110分)
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上.
9． 为虚数单位，已知复数 的实部与虚部相等，那么实数 _______.
10. 如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积是________.
11．在平面直角坐标系 中，已知抛物线 （ 为参数）的焦点为 ，动点 在抛物线上.以坐标原点为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,动点 在圆 上，则 的最小值为__________．
12. 已知 ，则 的最小值为           .
13. 在等腰梯形中， ∥ , ，若
 则 =_______.
14. 用0，1，2，3，4组成没有重复数字的五位偶数，要求奇数不相邻，且0不与另外两个偶数相邻，这样的五位数一共有_______个.（用数字作答）
三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）已知函数
 (1)求 的单调递增区间；
(2)设 的内角 的对边分别为 ，且 ，若 ，求 的面积．
16．（本小题满分13分）2018年2月25日，平昌冬奥会闭幕式上的“北京8分钟”惊艳了世界。我们学校为了让我们更好的了解奥运，了解新时代祖国的科技发展，在高二年级举办了一次知识问答比赛。 比赛共设三关，第一、二关各有两个问题，两个问题全答对，可进入下一关；第三关有三个问题，只要答对其中两个 问题，则闯关成功。每过一关可一次性获得分别为1、2、3分的积分奖励，高二、一班对三关中每个问题回答正确的概率依次为 ，且每个问题回答正确与否相互独立。
   （1）记 表示事件“高二、一班未闯到第三关”，求 的值；
   （2）记X表示高二、一班所获得的积分总数，求X的分布列和期望。
17．（本小题满分13分）如图, 是边长为 的正方形， ， ， , , .
(Ⅰ)求证： ；
(Ⅱ)求直线 与平面 所成角的正弦值；
（Ⅲ）在线段 上是否存在点 ，使得二面角 的大小为 ？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由.
18．（本小题满分13分）已知等比数列 的前 项和为 ，满足 , ，数列 满足 ，  ，且 .
（1）求数列 , 的通项公式；
（2）设 ，  为 的前 项和，求
19．（本小题满分14分）如图，已知椭圆 的左右顶点分别是 ，离心率为 ，设点 ，连接 交椭圆于点 ，坐标原点是 ．
（1）证明：  ；
（2）设三角形 的面积为 ，四边形 的面积为 ，
若  的最小值为1，求椭圆的标准方程．
20．（本小题满分14分）已知函数 .
（1）当 时，求函数 的单调区间；
（2）若不等式 对任意的正实数 都成立，求实数 的最大整数；
（3 ）当 时，若存在实数
求证：
 
2018年天津市十二重点中学高三毕业班联考（一）
数学理科参考答案
一、选择题:每小题5分，满分40分
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D C C B A D A

二、填空题: 每小题5分，共30分.
9. ；10.  ；11. ；12. ；13.  ；14.  .
三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题满 分13分）
(1)  
由 ，
得
∴函数 的单调递增区间为 .
(2)由 ，得 ，        ………………………………6分
 ，          ……………………………………7分
           ……………………………………………………………..8分
 .                ……………………………………………………………..9分
又 ,由正弦定理得 ①;       ……………………………………10分
由余弦定理得 ，
即 ，②   ……………………………………………………………..11分
由①②解得 .  ……………………………………………………………..12分
 ………………………………………………………13分 
（注：结果正确，但没写单调区间扣1分）

16．（本小题满分13分）
（1）方法一、令 表示事件“高二、一班闯过第一关”， 表示事件“高二、一班闯过第二关”，                 
                 -------------------------2分
                  -------------------------4分
则 ；-------------------------5分
方法二、
                                                      
（2）随机变量X的取值为：0，1 ，3，6,则       -------------------------6分
 ，   -------------------------7分                        ,     -------------------------8分
 ,    ----------------9分
 ,    --------------------10分

X 0 1 3 6
P  

17．（本小题满分13分）
解：(Ⅰ)证明：因为 ，
 
 
 
所以 .          ……………………2分
 
所以
又因为 是正方形，
所以 ，
 
 
 
从而 平面 .           … …………………3分
又因为
所以           ……………………4分
(Ⅱ)解：因为两两垂直，所以建立空间直角坐标系 如图所示.
则 ， ， ， ， ，………… 5分 ， ，
设平面 的法向量为 ，
 ,即 ，
则                               ……………………6分
所以 .        …………7分
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .       ………………8分
(Ⅲ)解：点 在线段 上，设 ， .     ……………………9分
则 ，
设平面 的法向量为 ，则
 ,即 ，
令
则                     ……………………10分
    ………11分
整理得：
解得： ，    ……………………12分
此时 .                 ……………………13分           
18．（本小题满分13分）
解：（1）         -------------------------1分
       -------------------------2分
又   ,
              -------------------------3分
由 两边同除以 ，
得 ，     -------------------------4分
从而数列 为首项 ，公差 的等差数列，所以 ，
从而数列 的通项公式为 ．      -------------------------5分
(2)由（1）知  ------------6分
所以
  
             -------------------------8分
设 ，             
则 ，            -------------------------9分
两式相减得 ，-------------------------10分
整理得 ，                       -------------------------12分
所以 .                 -------------------------13分
19．（本小题满分14分）
解：（1）由  得，        
∴  ，即  ，∴椭圆的方程为  ，  --------------------1分
由 ，整理得： 
                                                ---------------------------------2分
由  可得  ，         --------------------------------4分
则点 的坐标是 ，      -------------------------------------5分
故直线 的斜率为 ，  -------------------------------------6分
由于直线 的斜率为 ，   -------------------------------------7分
所以 ，所以 .                 ---------------------------------8分
（2）由（1）知，       -------------- ------------9分
 ，               --------------------------------10分
                  ---------------------------------11分
所以当 时，            -------------------------------------12分
                       -------------------------------------13分
所以椭圆方程为           -----------------------------------14分

20．（本小题满分14分）
解：（1）当 时，
当 时， ，
所以函数 在区间 上为减函数.        ----------------------- -------------1分
当 时，
令                      ------------------------------------2分
当 时， ；当 时，
所以函数 在区间 上为减函数，在区间 上为增函数. --------3分
且
综上， 的单调减区间为 ，单调增区间为 . ------------4分
（2）由 可得 对任意的正实数都成立，
即 对任意的正实数都成立.
记 ，则        ------------------------------------5分
可得
令
所以 在 上为增函数，即 在 上为增函数. ----------------6分
又因为 ,
所以 存在唯一零点，记为     -----------------7分
当 时， ，当 时，
所以 在区间 上为减函数，在区间 上为增函数.
所以 的最小值为 .       ------------------------------ ------8分
 
所以 ，可得 .
又因为
所以实数 的最大整数为2.              ------------------------------------9分
(3)由题意 ，（ ）
令 ， 由题意可得， ,
当 时， ；当 时，
所以函数 在 上为减函数，在 上为增函数. ----------------10分
若存在实数 ， ，则 介于 之间，
不妨设 ，
 因为 在 上单减，在 上单增，且 ,  ------11分
所以当 时， ，
由 ，可得 ，故 ， -----12分
又 在 上单调递减，且 ，所以 .
所以 ，同理 .      ------------------------------------13分
 ,解得
所以 .                 -----------------------------------14分