2018高考数学（理）二轮专题复习限时规范训练 函数、不等式、导数 1-2-2 （附答案）

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莲山 课件 w w
w.5 Y k J.COm 限时规范训练五　不等式及线性规划　限时45分钟，实际用时　　　　分值80分，实际得分　　　　
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)
1．设0＜a＜b＜1，则下列不等式成立的是(　　)
A．a3＞b3 B.1a＜1b
C．ab＞1 D．lg(b－a)＜a
解析：选D.∵0＜a＜b＜1，∴0＜b－a＜1－a，∴lg(b－a)＜0＜a，故选D.
2．已知a，b是正数，且a＋b＝1，则1a＋4b(　　)
A．有最小值8 B．有最小值9
C．有最大值8 D．有最大值9
解析：选B.因为1a＋4b＝1a＋4b(a＋b)＝5＋ba＋4ab≥5＋2 ba•4ab＝9，当且仅当ba＝4ab且a＋b＝1，即a＝13，b＝23时取“＝”，所以1a＋4b的最小值为9，故选B.
3．对于任意实数a，b，c，d，有以下四个命题：
①若ac2＞bc2，则a＞b；
②若a＞b，c＞d，则a＋c＞b＋d；
③若a＞b，c＞d，则ac＞bd；
④若a＞b，则1a＞1b.
其中正确的有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选B.①ac2＞bc2，则c≠0，则a＞b，①正确；
②由不等式的同向可加性可知②正确；
③需满足a、b、c、d均为正数才成立；
④错误，如：令a＝－1，b＝－2，满足－1＞－2，但1－1＜1－2.故选B.
4．已知不等式ax2－bx－1＞0的解集是x－12＜x＜－13，则不等式x2－bx－a≥0的解集是(　　)
A．{x|2＜x＜3} B．{x|x≤2或x≥3}
C.x13＜x＜12 D.xx＜13或x＞12
解析：选B.∵不等式ax2－bx－1＞0的解集是x－12＜x＜－13，
∴ax2－bx－1＝0的解是x1＝－12和x2＝－13，
且a＜0.
∴－12－13＝ba，－12×－13＝－1a，解得a＝－6，b＝5.
则不等式x2－bx－a≥0即为x2－5x＋6≥0，解得x≤2或x≥3.
5．若x，y满足约束条件3x－y≥0，x＋y－4≤0，y≥12x2，则z＝y－x的取值范围为(　　)
A．[－2,2]  B.－12，2
C．[－1,2] D.－12，1
解析：选B.作出可行域(图略)，设直线l：y＝x＋z，平移直线l，易知当l过直线3x－y＝0与x＋y－4＝0的交点(1,3)时，z取得最大值2；当l与抛物线y＝12x2相切时，z取得最小值，由z＝y－x，y＝12x2，消去y得x2－2x－2z＝0，由Δ＝4＋8z＝0，得z＝－12，故－12≤z≤2，故选B.
6．设等差数列{an}的公差是d，其前n项和是Sn，若a1＝d＝1，则Sn＋8an的最小值是(　　)
A.92   B.72
C．22＋12 D．22－12
解析：选A.∵an＝a1＋(n－1)d＝n，Sn＝n1＋n2，
∴Sn＋8an＝n1＋n2＋8n＝12n＋16n＋1≥122n•16n＋1＝92，当且仅当n＝4时取等号．
∴Sn＋8an的最小值是92，故选A.
7．一条长为2的线段，它的三个视图分别是长为3，a，b的三条线段，则ab的最大值为(　　)
A.5   B.6
C.52 D．3
解析：选C.如图，构造一个长方体，体对角线长为2，由题意知a2＋x2＝4，b2＋y2＝4，x2＋y2＝3，则a2＋b2＝x2＋y2＋2＝3＋2＝5，又5＝a2＋b2≥2ab，所以ab≤52，当且仅当a＝b时取等号，所以选C.
 
8．设x，y满足约束条件x≥0，y≥x，4x＋3y≤12，则x＋2y＋3x＋1的取值范围是(　　)
A．[1,5] B．[2,6]
C．[3,11] D．[3,10]
 
解析：选C.画出约束条件
x≥0，y≥x，4x＋3y≤12的可行域如图阴影部分所示，
则x＋2y＋3x＋1＝x＋1＋2y＋2x＋1＝1＋2×y＋1x＋1，y＋1x＋1的几何意义为过点(x，y)和(－1，－1)的直线的斜率．由可行域知y＋1x＋1的取值范围为kMA≤y＋1x＋1≤kMB，即y＋1x＋1∈[1,5]，所以x＋2y＋3x＋1的取值范围是[3,11]．
9．设x，y满足不等式y≤2，x＋y≥1，x－y≤1，若M＝3x＋y，N＝12x－72，则M－N的最小值为(　　)
A.12 B．－12
C．1 D．－1
解析：选A.作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，易求得A(－1,2)，B(3,2)，当直线3x＋y－M＝0经过点A(－1,2)时，目标函数M＝3x＋y取得最小值－1.又由平面区域知－1≤x≤3，所以函数N＝12x－72在x＝－1处取得最大值－32，由此可得M－N的最小值为－1－－32＝12.
 
10．若不等式组x－y≥0，2x＋y≤2，y≥0，x＋y≤a表示的平面区域的形状是三角形，则a的取值范围是(　　)
A．a≥43 B．0＜a≤1
C．1≤a≤43 D．0＜a≤1或a≥43
解析：选D.作出不等式组x－y≥0，2x＋y≤2，y≥0表示的平面区域如图中阴影部分所示．其中直线x－y＝0与直线2x＋y＝2的交点是23，23，而直线x＋y＝a与x轴的交点是(a,0)．
由图知，要使原不等式组表示的平面区域的形状为三角形，只需a≥23＋23或0＜a≤1，所以选D.
 
11．已知不等式组3x＋4y－10≥0，x≤4，y≤3表示区域D，过区域D中任意一点P作圆x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A、B，当∠APB最大时，cos∠APB＝(　　)
A.32   B.12
C．－32 D．－12
解析：选B.画出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，易知当点P到点O距离最小时，∠APB最大，此时|OP|＝|3×0＋4×0－10|32＋42＝2，又OA＝1，故∠OPA＝π6，
∴∠APB＝π3，∴cos∠APB＝12.
 
12．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，且0＜f(－1)＝f(－2)＝f(－3)≤3，则(　　)
A．c≤3 B．3＜c≤6
C．6＜c≤9 D．c＞9
解析：选C.由0＜f(－1)＝f(－2)＝f(－3)≤3，得0＜－1＋a－b＋c＝－8＋4a－2b＋c＝－27＋9a－3b＋c≤3，
由－1＋a－b＋c＝－8＋4a－2b＋c，得3a－b－7＝0，①
由－1＋a－b＋c＝－27＋9a－3b＋c，得
4a－b－13＝0，②
由①②，解得a＝6，b＝11，∴0＜c－6≤3，
即6＜c≤9，故选C.
二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13．函数f(x)＝1＋logax(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny－2＝0上，其中mn＞0，则1m＋1n的最小值为________．
解析：因为loga1＝0，所以f(1)＝1，故函数f(x)的图象恒过定点A(1,1)．
由题意，点A在直线mx＋ny－2＝0上，所以m＋n－2＝0，即m＋n＝2.
而1m＋1n＝121m＋1n×(m＋n)
＝122＋nm＋mn，
因为mn＞0，所以nm＞0，mn＞0.
由均值不等式，可得nm＋mn≥2× nm×mn＝2(当且仅当m＝n时等号成立)，
所以1m＋1n＝122＋nm＋mn≥12×(2＋2)＝2，即1m＋1n的最小值为2.
答案：2
14．设P(x，y)是函数y＝2x(x＞0)图象上的点，则x＋y的最小值为________．
解析：因为x＞0，所以y＞0，且xy＝2.由基本不等式得
x＋y≥2xy＝22，当且仅当x＝y时等号成立．
答案：22
15．若变量x，y满足约束条件x≥1，y≥x，3x＋2y≤15，则w＝4x•2y的最大值是________．
解析：作出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．w＝4x•2y＝22x＋y，要求其最大值，只需求出2x＋y＝t的最大值即可，由平移可知t＝2x＋y在A(3,3)处取得最大值t＝2×3＋3＝9，故w＝4x•2y的最大值为29＝512.
 
答案：512
16．已知函数f(x)＝－x2＋x，x≤1，log13x，x＞1，若对任意的x∈R，不等式f(x)≤m2－34m恒成立，则实数m的取值范围为________．
解析：由题意知，m2－34m≥f(x)max.当x＞1时，f(x)＝log13x是减函数，且f(x)＜0；当x≤1时，f(x)＝－x2＋x，其图象的对称轴方程是x＝12，且开口向下，
∴f(x)max＝－14＋12＝14.∴m2－34m≥14，即4m2－3m－1≥0，∴m≤－14或m≥1.
答案：－∞，－14∪[1，＋∞)
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