2018年高考数学一轮复习《5.4平面向量应用》讲练测（江苏版附答案）

专题5.4 平面向量应用
一、填空题：
1.如图，已知 的边 的垂直平分线交 于点 ，交 于点 .若 ，
 的值为            .
 
【答案】-16
【解析】
 
2.已知 是同一平面内的三个向量，其中 是互相垂直的单位向量，且 ，则
的最大值为         .
【答案】
【解析】
试题分析：由 是互相垂直的单位向量得 ，因此由 得 
.3. 如图所示，三个边长为 的等边三角形有一条边在同一直线上，边 上有10个不同的点 ，记
（ ），则         .
 
【答案】     
 
 
4. 在平面直角坐标系xOy中，设M是函数  (x>0)的图象上任意一点，过M  点向直线y=x和y轴作垂线，垂足分别是A，B，则    ▲   ．
【答案】
【解析】
试题分析：设 ，则 ，因此 ，又 ，因此
5. 设二次函数 的图象经过点 ，且与 轴交于 两点，若 是钝角，则实数 的取值范围是           ．
【答案】 ． 
【解析】由题意 ，设 的两根为 ，则 ，向量
6.如图，在梯形 中，   ， ， ，点 是 边上一动点，则 的最大值为              ．
 
【答案】
【解析】由平面向量数量积知识得，
 
7.已知向量 ，向量 ，向量 ，则向量 与向量 的夹角的取值范围是        

.
【答案】
【解析】如图，以 为原点建立平面直角坐标系，则由题意可知 ， ， ，
又由 可知 在以 为圆心， 为半径的圆上，若直线 与圆相切，由图可知 ，即 与 夹角的最小值为 ，同理可得 与 夹角的最大值为 ，即 与 夹角的取值范围为 . 
 
8.如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心、AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量 ＝λ ＋μ ，则λ＋μ的最小值为________．
 
【答案】12
 
所以当α＝0时，f(α)min＝f(0)＝12，
所以(λ＋μ)min＝12.．
9.直线 与抛物线 : 交于 两点，点 是抛物线 准线上的一点，
记 ，其中 为抛物线 的顶点.给出下列命题：
① ， 不是等边三角形；
②  且 ，使得 与 垂直；
③无论点 在准线上如何运动， 总成立.
其中，所有正确命题的序号是___.
【答案】①②③
 
10.如图，在直角梯形ABCD中，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝1，AB＝2，动点P在以点C为圆心，且与直线BD相切的圆上或圆内移动，设 ＝λ ＋μ  (λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是 ________．
 
【答案】 [1,2]
 
 二、解答题：
11.如图，在 平面上，点 ，点 在单位圆上， （ ）
（1）若点 ，求 的值；
（2）若 ，四边形 的面积用 表示，求 的取值范围.
 
【答案】（1）-3，（2） .
【解析】（1）由于 ， ，所以 ，  
  ， 于是   .
（2）  ，由于 , ，所以 ， ，则
  （ ），
由于 ，所以 ，所以 .
12．已知点 ，点 为直线 上的一个动点.
（1）求证： 恒为锐角；
（2）若四边形 为菱形，求 的值.
【答案】（1）证明见解析;（2）2.
 
∴ ，即
化简得到 ，
∴ ，
∴  ,
设 ，∵ ，
∴ ，
∴ ,
∴ .
13.如图，平面直角坐标系 中，已知向量 ， ，且 。
 
 (1)求 与 间的关系；(2)若 ，求 与 的值及四边形 的面积.
【答案】（1） ；（2） 或 ， .  
 
14.在 中， ， ，N在y轴上，且 ，点E在x轴上移动．
（Ⅰ）求点M的轨迹方程；
（Ⅱ）过点 作互相垂直的两条直线 ， 与点M的轨迹交于点A、B， 与点M的轨迹交于点C、D，求 的最小值．
【答案】（Ⅰ） （ ）；（Ⅱ）12.