2018年高考数学一轮复习《第3章导数》测试题（江苏版带答案）

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w.5 Y k J.cOM 第03章 导数
班级__________  姓名_____________  学号___________  得分__________
一、填空题：请把答案直接填写在答题卡相应的位置上(共10题，每小题6分，共计60分)．
1. (2017•扬州中学质检)已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为________．
【答案】x－y－1＝0
 
2. (2017•苏、锡、常、镇四市调研)设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝1x(x>0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为________．
【答案】(1,1)
【解析】由y′＝ex，知曲线y＝ex在点(0,1)处的切线斜率k1＝e0＝1.
设P(m，n)，又y＝1x(x>0)的导数y′＝－1x2，
曲线y＝1x(x>0)在点P处的切线斜率k2＝－1m2.
依题意k1k2＝－1，所以m＝1，从而n＝1.
则点P的坐标为(1,1)．
3. (2017•南通调研)若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，若t＝ab，则t的最大值为________．
【答案】9
【解析】f′(x)＝12x2－2ax－2b，则f′(1)＝12－2a－2b＝0，则a＋b＝6，
又a>0，b>0，则t＝ab≤a＋b22＝9，当且仅当a＝b＝3时取等号．4.若函数f(x)＝exsin x，则此函数图象在点(4，f(4))处的切线的倾斜角为________角．
【答案】钝角
【解析】f′(x)＝exsin x＋excos x
＝ex(sin x＋cos x)＝2exsinx＋π4，
f′(4)＝2e4sin4＋π4<0，
则此函数图象在点(4，f(4))处的切线的倾斜角为钝角．
5. 从边长为10 cm×16 cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为________cm3.
【答案】144
【解析】设盒子容积为y cm3，盒子的高为x cm.则y＝(10－2x)(16－2x)x＝4x3－52x2＋160x(0<x<5)，
∴y′＝12x2－104x＋160.
令y′＝0，得x＝2或203(舍去)，
∴ymax＝6×12×2＝144(cm3).
6.已知f(x)＝2x3－6x2＋a (a是常数)在[－2,2]上有最大值3，那么在[－2,2]上f(x)的最小值是________．
【答案】－37
 
7. 设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)＜0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是________.
【答案】(－∞，－1)∪(0，1)
【解析】因为f(x)(x∈R)为奇函数，f(－1)＝0，所以f(1)＝－f(－1)＝0.当x≠0时，令g(x)＝f（x）x，则g(x)为偶函数，且g(1)＝g (－1)＝0.则当x＞0时，g′(x)＝f（x）x′＝xf′（x）－f（x）x2＜0，故g(x)在(0，＋∞)上为减函数，在(－∞，0)上为增函数.所以在(0，＋∞)上，当0＜x＜1时，g(x)＞g(1)＝0⇔f（x）x＞0⇔f(x)＞0；在(－∞，0)上，当x＜－1时，g(x)＜g(－1)＝0⇔f（x）x＜0⇔f(x)＞0.综上，使得f(x)＞0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0，1).
8.如图所示的曲线是函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的大致图象，则x21＋x22等于____________．
 
【答案】169.
 
9.已知f′(x)是f(x)的导函数，在区间[0，＋∞)上f′(x)>0，且偶函数f(x)满足f(2x－1)<f13，则x的取值范围是________．
【答案】13<x<23.
【解析】∵x∈[0，＋∞)，f′(x)>0，
∴f(x)在[0，＋∞)上单调递增，
又因f(x)是偶函数，∴f(2x－1)<f13
⇔f(|2x－1|)<f13
⇒|2x－1|<13，∴－13<2x－1<13.
即13<x<23.
10. 设函数f(x)＝ex(2x－1)－ax＋a，其中a<1，若存在唯一的整数x0使得f(x0)<0，则a的取值范围是________.
【答案】32e，1
 
 
二、解答题：解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内。(共4题，每小题10分，共计40分)．
11. (2017•南京模拟)已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝12ax2＋2x(a≠0)．
(1)若函数h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；
(2)若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1,4]上单调递减，求a的取值范围．
【解析】　(1)h(x)＝ln x－12ax2－2x，x>0.
∴h′(x)＝1x－ax－2.
若函数h(x)在(0，＋∞)上存在单调减区间，
则当x>0时，1x－ax－2<0有解，即a>1x2－2x有解．
设G(x)＝1x2－2x，所以只要a>G(x)min.(*)
又G(x)＝1x－12－1，所以G(x)min＝－1.
所以a>－1.即实数a的取值范围是(－1，＋∞)．
(2)由h(x)在[1,4]上单调递减，
∴当x∈[1,4]时，h′(x)＝1x－ax－2≤0恒成立，(**)
则a≥1x2－2x恒成立，所以a≥G(x)max.
又G(x)＝1x－12－1，x∈[1,4]
因为x∈[1,4]，所以1x∈14，1，
所以G(x)max＝－716(此时x＝4)，所以a≥－716.
当a＝－716时，
h′(x)＝1x＋716x－2＝16＋7x2－32x16x＝7x－4x－416x，
∵x∈[1,4]，
∴h′(x)＝7x－4x－416x≤0，
当且仅当x＝4时等号成立．(***)
∴h(x)在[1,4]上为减函数．
故实数a的取值范围是－716，＋∞.
12．(2017•徐州模拟)已知函数f(x)＝(x－k)ex.
(1)求f (x)的单调区间；
(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．
 
综上可知，当k≤1时，f(x)min＝－k；当1<k<2时，f(x)min＝－ek－1；当k≥2时，f(x)min＝(1－k)e.
13. (2017•苏北四市联考)函数f(x)＝(ax2＋x)ex，其中e是自然对数的底数，a∈R.
(1)当a>0时，解不等式f(x)≤0；
(2)当a＝0时，求整数t的所有值，使方程f(x)＝x＋2在[t，t＋1]上有解．
 
14. (2017•苏、锡、常、镇四市调研)已知函数f(x)＝ex13x3－2x2＋a＋4x－2a－4，其中a∈R，e为自然对数的底数．
(1)若函数f(x)的图象在x＝0处的切线与直线x＋y＝0垂直，求a的值；
(2)关于x的不等式f(x)<－43ex在(－∞，2)上恒成立，求a的取值范围；
(3)讨论函数f(x)极值点的个数．
【解析】(1)由题意得f′(x)＝ex13x3－x2＋ax－a，
因为f(x)的图象在x＝0处的切线与直线x＋y＝0垂直，
所以f′(0)＝1，解得a＝－1.
(2)法一　由f(x)<－43ex，
得ex13x3－2x2＋a＋4x－2a－4<－43ex，
即x3－6x2＋(3a＋12)x－6a－8<0对任意x∈(－∞，2)恒成立，
即(6－3x)a>x3－6x2＋12x－8对任意x∈(－∞，2)恒成立，
因为x<2，所以a>x3－6x2＋12x－8－3x－2＝－13(x－2)2，
记g(x)＝－13(x－2)2，因为g(x)在(－∞，2)上单调递增，且g(2)＝0，
 
综合①②可知，a的取值范围是[0，＋∞)．
(3)由题意得f′(x)＝ex13x3－x2＋ax－a，
所以f(x)只有一个极值点或有三个极值点．
令g(x)＝13x3－x2＋ax－a，
①若f(x)有且只有一个极值点，则函数g(x)的图象必穿过x轴且只穿过一次，即g(x)为增函数或者g(x)的极值同号．
当g(x)为增函数时g′(x)＝x2－2x＋a≥0在R上恒成立，得a≥1.
当g(x)极值同号时，设x1，x2为极值点，则g(x1)•g(x2)≥0，
由g′(x)＝x2－2x＋a＝0有解，得a<1，
且x21－2x1＋a＝0，x22－2x2＋a＝0， 
则x1，x2为x2－2x＋a＝0的两根，
所以x1＋x2＝2，x1x2＝a，
所以g(x1)＝13x31－x21＋ax1－a
＝13x1(2x1－a)－x21＋ax1－a
＝－13(2x1－a)－13ax1＋ax1－a 文 章
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