2017年七年级数学上第6章图形的初步知识习题(浙教版有答案)

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2017年七年级数学上第6章图形的初步知识习题(浙教版有答案)

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莲山 课件 w w
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第6章 图形的初步认识
6.1 几何图形
01  基础题
              
知识点1 认识立体图形
1.下列几何图形是立体图形的是(D)
A.扇形     B.长方形
C.圆      D.正方体
2.(丽水中考)下列图形中,属于立体图形的是(C)
 
3.观察图中的立体图形,分别写出它们的名称.
 

知识点2 认识平面图形
4.在长方形、长方体、三角形、球、直线、圆中,是平面图形的有(B)
A.3个     B.4个
C.5个     D.6个
5.图中的几何 图形可看作由哪些简单的平面图形组成的?
 
解:机器猫由三角形以及圆组成;邮箱由长方形、三角形以及圆组成;会笑的人由圆、三角形以及线段组成.

02  中档题
6.将第一行的平面图形绕轴旋转一周,便得到第二行中的某个几何体,用线连一连.
 
解:如图所示.
7.如图1所示的几何体是三棱柱,它有6个顶点,9条棱,5个面,图2,图3所示几何体分别是四棱柱和五棱柱.
 图1     图2     图3


(1)四棱柱有8个顶点,12条棱,6个面;
(2)五棱柱有10个顶点,15条棱,7个面;
(3)你能由此猜出六棱柱、七棱柱各有几个顶点,几条棱,几个面?
(4)n棱柱有几个顶点,几条棱,几个面吗?
解:(3)六棱柱有12个顶点,18条棱,8个面;七棱柱有14个顶点,21条棱,9个面.
(4)n棱柱有2n个顶点,3n条棱,(n+2)个面.

03  综合题
8.以给定的图形○○、△△、=(两个圆、两个三角形、一条平行线)为构件,构思独特且具有意义的图形,并写出一两句帖切、诙谐的解说词,请在右框中画出来,举例:
 
 解说词两盏电灯      解说词________
解:如图(答案不唯一).
 
 
6.2 线段、射线和直线
01  基础题
              
知识点1 线段、射线、直线的认识
1.下列生活中的实例可以看成射线的是(C)
A.紧绷的琴弦      B.人行道横线
C.手电筒发出的光线    D.正方体的棱长
2.如图,下列几何语句不正确的是(D)
 
A.直线AB与直线BA是同一条直线
B.射线OA与射线OB是同一条射线
C.线段AB与线段BA是同一条线段
D.射线OA与射线AB是同一条射线
3.按下列语句,不能画出图形的是(A)
A.延长直线AB
B.直线EF经过点C
C.线段m与n交于点P
D.经过点O的三条直线a、b、c
4.如图,能用字母表示的直线有1条,线段有3条,射线有4条.
 
5.已知平面上四点A,B,C,D,如图所示.
(1)画直线AB;
(2)画射线AD;
(3)直线AB,CD相交于点E;
(4)连结AC,BD相交于点F.
 
解:如图所示.


知识点2 直线的基本性质
6.用两个钉子把直木条钉在墙上,木条就固定了,这说明(B)
A.一条直线上只有两点
B.两点确定一条直线
C.过一点可画无数条直线
D.直线可向两端无限延伸
7.开学整理教室时,老师总是先把每一列最前和最后的课桌摆好,然后再依次摆中间的课桌,一会儿一列课桌摆在一条线上,整整齐齐,这是因为两点确定一条直线.


02  中档题
8.(绍兴上虞区期末)如图,数轴上的点A、B、C、D、E分别对应的数是1、2、3、4、5,那么表示13的点应在(C)
 
A.线段AB上     B.线段BC上
C.线段CD上     D.线段DE上
9.往返于甲、乙两地的火车中途要停靠三个站,则有10种不同的票价(来回票价一样),需准备20种车票.
10.在平面上画出三条直线a,b,c,说说三条直线将平面分成几个部分.
解:四部分
 
六部分
 
七部分
 

03  综合题
11.如图:
    视频讲解
 
(1)试验观察:
如果每过两点可以画一条直线,那么:
图1最多可以画3条直线,
图2最多可以画6条直线,
图3最多可以画10条直线;
(2)探索归纳:
如果平面上有n(n≥3)个点,且每3个点均不在1条直线上,那么最多可以画n(n-1)2条直线
(用含n的代数式表示);
(3)解决问题:
某班45名同学在毕业后的一次聚会中,如果每两人握1次手问好,那么共握990次手.
 
6.3 线段的长短比较
01  基础题
              
知识点1 线段 的长短比较
1.从直观上看,下列线段中最长的是(B)
A.________    B.____________________
C.______     D.________________
2.下列图形中,可以比较长短的是(B)
A.两条射线    B.两条线段
C.两条直线    D.直线与射线
3.为比较两条线段AB与CD的大小,小明将点A与点C重合使两条线段在一条直线上,点B在CD的延长线上,则(B)
 A.AB<CD    B.AB>CD
C.AB=CD    D.以上都有可能
4.如图,用刻度尺量一量,比较下列线段的大小:
AB=AC;CB>AC.
 
5.比较图中以A为一个端点的线段的大小,并把它们用“<”号连接起来.
 

解:AB<AC<AD.

 

6.如图,四条线段AB、BC、CD、DA,用圆规截取的方法比较图中的线段的大小.
 
解:通过用圆规比较图中的四条线段,可得DA>CD>BC>AB.

知识点2 线段的基本事实及两点间的距离
7.A,B两点间的距离是( D)
A.连结两点间的直线
B.连结两点的线段
C.连结两点间的直线的长度
D.连结两点的线段的长度
8.(嵊州期末)如图,从A到B有三条路径,最短的路径是③,理由是(C)
 
A.两点确定一条直线
B.过一点有无数条直线
C.两点之间,线段最短
D.因为直线比曲线和折线短
9.如图,数轴上A,B两点之间的距离为4.
 
10.如图,直线AB表示一条公路,公路两旁各有一个工厂,用点M、N表示,要在公路旁建一个货场,使它到两个工厂的距离之和最小,问这个货场应建在什么地方.
 
解:图略.连结MN,与AB的交点即为所求.

02  中档题
11.(徐州中考)点A、B、C在同一条数轴上,其中点A、B表示的数分别为-3,1,若BC=2,则AC等于(D)
A.3      B.2
C .3或5     D.2或6
12.如图,小华的家在A处,书店在B处,星期日小华到书店去买书,他想尽快赶到书店,请你帮助他选择一条最近的路线(B)
 
A.A→C→D→B
B.A→C→F→B
C.A→C→E→F→B
D.A→C→M→B
13.如图所示,正方形ABCD的边长为1 cm,现将正方形ABCD沿水平方向翻滚15次,那么图中点A翻滚后所在的位置与A点开始位置之间的距离为(B)
 
A.15 cm     B.16 cm
C.30 cm     D.45 cm
14.如图,按下面语句画图.
(1)分别延长线段AD和BC,使它们相交于点M;
(2)延长AB至点N,使BN=CD,再连接DN交线段BC于点P;
(3)用刻度尺比较线段DP和PN的大小.
 
解:图略.用刻度尺测量得DP=PN.


15.如图,平面上有A、B、C、D 4个村庄,为解决当地缺水问题,政府准备修建一个蓄水池,不考虑其他因素,请你画出蓄水池P的位置,使它与4个村庄的距离之和最小.
 
解:如图所示,连结AC、BD的交点即为P点的位置.


03  综合题
16.如图所示,有一个正方体盒子,一只虫子在顶点A处,一只蜘蛛在顶点B处,蜘蛛沿着盒子准备偷袭虫子.蜘蛛想要最快地捉住虫子,应怎样走?
 

解:略.
 
6.4 线段的和差
01  基础题
              
知识点1 线段的和差
1.如图,下列关系式中与图不符合的式子是(C)
 
A.AD-CD=AB+BC
B.AC-BC=AD-BD
C.AC-BC=AC+BD
D.AD-AC=BD-BC
2.已知线段AB=3 cm,延长BA到C使BC=5 cm,则AC的长是(A)
A.2 cm     B.8 cm
C.3 cm       D.11 cm
3.如图,线段AB上有C,D两点,若AB=5,CD=2,则AC+DB=7.
 
知识点2 尺规作线段
4.如图,已知线段a和b,且a>b,用直尺和圆规作一条线段,使它等于2a+b.
 
解:略.

知识点3 线段的中点
5.已知点C是线段AB上的一点,不能确定点C是AB中点的条件是(D)
A.AC=CB     B.AC=12AB
C.AB=2BC     D.AC+CB=AB
6.已知点C是线段AB的中点,AB=2,则BC=1.
7.如图,已知线段AB=10 cm,点C是AB的中点,点D是AC的中点,则线段CD=2.5__cm.
 
8.如图,C是线段AB上的一点,M是线段AC的中点,若AB=8 cm,BC=2 cm,求MC的长.
 
解:AC=AB-BC=8-2=6(cm).
因为M是线段AC的中点,
所以MC=12AC=3 cm.
故MC的长为3 cm.

02  中档题
9.线段AB=2 cm,延长AB到C,使BC=AB,再延长BA到D,使BD=2AB,则线段DC的长为(C)
A.4 cm     B.5 cm    C.6 cm    D.2 cm
10.已知线段AB=8 cm,点C是直线AB上一点,BC=2 cm,若M是AB的中点,N是BC的中点,则线段MN的长度为(B)
A.5 cm      B.5 cm或3 cm
C.7 cm或3 cm     D.7 cm
11.(西湖区期末)已知线段AB=8 cm,在直线AB上有一点C,且BC=4 cm,点M是线段AC的中点,则线段AM的长为(C)
 
习题解析
A.2 cm
B.4 cm
C.2 cm或6 cm
D.4 cm或6 cm
12.已知线段AB=8 cm,在直线AB上画线段BC,使BC=3 cm,则线段AC=11__cm或5__cm.
13.把线段MN延长到点P,使NP=MN,A为MN的中点,则AP=34MP.
14.如图,已知线段AD=6 cm,线段AC=BD=4 cm,E、F分别是线段AB、CD的中点,求EF.
 
解:∵AD=6 cm,AC=BD=4 cm,
∴BC=AC+BD-AD=2 cm.
∴AB=2 cm,CD=2 cm.
∴EF=BC+12(AB+CD)=2+12×4=4(cm).


15.如图,M是线段AB的中点,点C在线段AB上,且AC=4 cm,N是AC的中点,MN=3 cm,求线段CM和AB的长.
 
解:∵N是AC中点,AC=4 cm,
∴NC=12AC=12×4=2(cm).
∵MN=3 cm,
∴CM=MN-NC=3-2=1(cm).
∴AM=AC+CM=4+1=5(cm).
∵M是AB的中点,
∴AB=2AM=2×5=10(cm).

16.点M,N都在线段AB上,且M分AB为2∶3两部分,N分AB为3∶4两部分,若MN=2 cm,请求出AB的长.
解:设AB=a,则AM=25a,AN=37a.
因为MN=37a-25a=2,
所以a=70,即AB=70 cm.

03  综合题
17.如图,C为线段AB上一点,D是线段AC的中点,E为线段CB的中点.
 
(1)如果AC=6 cm,BC= 4 cm,试求DE的长;
(2)如果AB=a,试求DE的长度;
(3)若C在线段AB的延长线上,且满足AC-BC=b cm,D、E分别为AC、BC的中点,你能猜想DE的长度吗?直接写出你的结论,不需说明理由.
解:(1)因为D、E分别是线段AC、CB的中点,AC=6 cm,BC=4 cm,
所以CD=12AC=3 cm,CE=12BC=2 cm.
所以DE=CD+CE =5 cm.
(2)因为CD=12AC,CE=12BC,
所以DE=CD+CE=12AC+12BC=12(AC+BC)=12AB=12a.
(3)DE=12b.
 
6.5 角与角的度量
01  基础题
              
知识点1 角的概念与表示
1.如图所示,能用∠AOB,∠O,∠1三种方法表示同一个角的图形是(B)
 
 
2.如图,∠AOB的顶点是O,两 边分别是OA和OB.

知识点2 角的度量
3.(嘉兴期末)把60°30′化成度的形式是60.5°.
4.(1)将26.38°化为度、分、秒;
(2)将35°40′30″化为度.
解:(1)26.38°=26°+0.38×60′=26°+22.8′=26°+22′+0.8×60″=26°+22′+48″=26°22′48″.
(2)30″=(160)′×30=0.5′,
40.5′=(160)°×40.5=0.675°,
所以35°40′30″=35.675°.

知识点3 角的计算
5.计算:
(1)56°23′48″+16°35′43″;
解:原式=72°59′31″.
(2)90°-28°12′36″.
解:原式=61°47′24″.

知识点4 钟面角
6.时钟9点30分时,分针和时针之间形成的角的度数等于(C)
A.75°      B.90°
C.105°      D.120°

 
7.如图是一个时钟的钟面,8:00的时针及分针的位置如图所示,则此时分针与时针所成的∠α是120度.

02  中档题
8.甲、乙、丙、丁四个学生在判断时钟的分针和时针成直角的时刻,每个人说两个时刻,说对的是(D)
A.甲说3点和3点半 
B.乙说6点1刻和6点3刻
C.丙说9点和12点1刻 
D.丁说3点和9点
9.归纳与猜想:
(1)观察下图填空:图1中有3个角;图2有6个角;图3中有10个角;
 
(2)根据(1)猜想:在一个角内引n-2条射线可组成n(n-1)2个角.

03  综合题
10.时钟的分针每分钟转过的角度是6°,时针每分钟转过的角度是0.5°.今天我们数学考试的时间是13﹕00-14﹕30,在这一个半小时的时间内,时针与分针所夹的角将有几个时刻为36°?试分别求出这几个时刻.
 
解:时针与分针所夹的角将有三个时刻为36°,
设从13﹕00-14﹕00,x分钟时时针与分针夹角为36°,由题意得
6x-0.5x-30=36.
解得x=12,
即13时12分,时针与分针的夹角为36°.
设14﹕00-14﹕30,x分钟时时针与分针夹角为36°,由题意得
0.5x+60-6x=36或6x-0.5x-60=36,
解得x=4811或x=19211.
即14时4811分或14时19211分,时针与分针夹角为36°.
 
6.6 角的大小比较
01  基础题
              
知识点1 角的大小比较
1.下列角度中,比20°小的是(A)
A.19°38′    B.20°50′
C.36.2°     D.56°
2.若∠1=40.4°,∠2=40°4′,则∠1与∠2的关系是(B)
A.∠1=∠2    B.∠1>∠2
C.∠1<∠2    D.以上都不对
3.将∠1、∠2的顶点和其中一边重合,另一边都落在重合边的同侧,且∠1>∠2,那么∠1的另一边落在∠2的(C)
A.另一边上    B.内部
C.外部     D.无法判断
 
4.如图所示,其中最大的角是∠AOD,∠DOC,∠DOB,∠DOA的大小关系是∠DOA>∠DOB>∠DOC.
5.如图,回答下列问题:
(1)比较∠FOD与∠FOE的大小;
(2)借助量角器比较∠AOE与∠DOF的大小.
 
解:(1)∵OD在∠FOE的内部,∴∠FOD<∠FOE.
(2)用量角器度量得∠AOE=30°,∠DOF=30°,则∠AOE=∠DOF.

知识点2 角的分类
6.已知∠AOB是锐角,则下列表述正确的是(C)
A.0°<∠AOB<45°    B.∠AOB>45°
C.0°<∠AOB<90°    D.∠AOB>90°
7.下列说法正确的是(D)
A.大于锐角的角是钝角
B.周角就是一条射线
C.小于平角的角是锐角
D.一平角等于2个直角的和

知识点3 用量角器画角
8.如图,已知∠α,用量角器画∠AOB,使∠AOB=∠α.
 
解:图略.
 
9.如图,射线OB、OC将∠AOD分成三部分,下列判断错误的是(D)
 
A.如果∠AOB=∠COD,那么∠AOC=∠BOD
B.如果∠AOB>∠COD,那么∠AOC>∠BOD
C.如果∠AOB<∠COD,那么∠AOC<∠BOD
D.如果∠AOB=∠BOC,那么∠AOC=∠BOD
10.若∠1=4°18′,∠2=3°79′,∠3=4.4°,则∠1,∠2,∠3的大小顺序是∠1<∠2<∠3(由小到大排列).
11.如图,∠BOD=90°,∠COE=90°,解答下列问题:
(1)图中有哪些角小于平角?用适当的方法表示出它们;
(2)比较∠AOC、∠AOD、∠AOE、∠AOB的大小,并指出其中的锐角、钝角、直角、平角.
 
解:(1)图中小于平角的角有∠AOC、∠AOD、∠AOE、∠COD、∠COE、∠COB、∠DOE、∠DOB、∠EOB.
(2)由图可知∠AOC<∠AOD<∠AO E<∠AOB,其中∠A OC为锐角,∠AOD为直角,∠AOE为钝角,∠AOB为平角.

 
6.7 角的和差
01  基础题
              
知识点1 角的和差
1.如图,点B,O,D在同一直线上,若∠1=15°,∠2=105°,则∠AOC的度数是(B)
A.75°     B.90°
C.105°     D.125°
     
第1题图      第2题图
2.如图,小明将自己用的一副三角板摆成如图形状 ,如果∠AOB=155°,那么∠COD等于(B)
A.15°     B.25°
C.35°     D.45°
3.如图,在横线上填上适当的角:
(1)∠BOD=∠BOC+∠DOC=∠AOD-∠AOB;
(2)∠AOB=∠AOC-∠COB=∠AOD-∠DOB;
(3)∠BOC=∠AOC-∠AOB=∠AOD-∠COD-∠AOB.
      
 第3题图    第4题图
4.将一副直角三角板如图放置,则∠ABC的度数是75°.

知识点2 角的平分线
5.已知OC平分∠AOB,则下列各式:①∠AOB=2∠AOC;②∠BOC=∠AOB;③∠AOC=∠BOC;④∠AOB=∠BOC.其中正确的是(B)
A.①②     B.①③
C.②④     D.①②③
6.如图,OB表示秋千静止时的位置,当秋千从OC荡到OA时,OB平分∠AOC,∠BOC=60°,则秋千从OC荡到OA转动的角度∠AOC的度数是(D)
A.30°     B.60°
C.90°     D.120°
    
第6题图    第7题图
7.如图,O是直线AB上的一点,过点O作射线OC,OD平分∠AOC,OE平分∠BOC,若∠DOC=50°,则∠BOE的度数为(B)
A.50°    B.40°    C.25°    D.20°

8.已知∠AOE=28°54′,OF平分∠AOE,则∠AOF=14°27′.
 
9.如图,O是直 线AC上一点,∠BOC=50°,OD平分∠AOB,则∠BOD=65°.
10.如图,点O在直线AB上,∠1=13∠BOC,OC是∠AOD的平分线.
(1)求:∠2的度数;
(2)试说明:OD⊥AB.
 
解:(1)∵∠1=13∠BOC,∠1+∠BOC=180°,
∴∠1+3∠1=180°.
∴∠1=45°.
∵OC平分∠AOD,
∴∠2=∠1=45°.
(2)∵∠AOD=∠COD+∠AOC=45°+45°=90°,
∴OD⊥AB.
 

02  中档题
11.用一副三角板可画出许多不同角度的角,下列哪个度数画不出来(D)
A.15°    B.75°    C.105°    D.65°
12.如图,OC是∠AOB的平分线,∠BOD=14∠DOC,∠BOD=10°,则∠AOD的度数为(C)
 
A.50°
B.60°
C.70°
D.80°
13.(嘉兴期末)如图,已知射线OM,ON分别平分∠AOB,∠COD,若∠MON=α,∠BOC=β,则∠AOD=(B)
A.2α      B.2α-β
C.α+β      D.α-β
     
 第13题图     第14题图
14.如图,在正方形ABCD中,E为DC边上的一点,沿线段BE对折后,若∠ABF比∠EBF大15°,则∠EBF的度数是25°.
15.(绍兴上虞区期末)如图所示,已知∠COD=12∠AOC,OD平分∠AOB,且∠COD=23°,求∠AOB的度数.
 
解:∵∠COD=12∠AOC,且∠COD=23°,
∴∠AOC=2∠COD=46°.
∴∠AOD=∠AOC+∠COD=69°.
∵OD平分∠AOB,
∴∠AOB=2∠AOD=138°.
 

16.如图,已知∠AOB内有两条射线OC、OD,∠AOD=2∠BOD,∠AOC=13∠COB,∠COD=70°,求∠AOC的度数.
 
解:设∠BOD=x°,则∠AOD=2x°,∠AOC=(2x-70)°,∠COB=(x+70)°,
∵∠AOC=13∠COB,
∴2x-70=13(x+70).
解得x=56.
则∠AOC=2×56°-70°=42°.

 

03  综合题
17.(萧山区月考)如图1是一副三角尺拼成的图案(所涉及角度均小于或等于180度).
(1)则∠EBC的度数为150度;
(2)将图1中的三角尺ABC绕点B旋转α度(0°<α<90°)能否使∠EBC=2∠ABD?若能,则求出α的值;若不能,说明理由.(图、图3供参考)
 
 图1      图2       图3
解:①逆时针旋转:
90°+60°-α=2α,
解得α=50°;
②顺时针旋转:
当0°<α≤30°时,有90°+60°+α=2a,
解得α=150°,不符题意,舍去;
当30°<α<90°时,有360°-90°-60°-α=2α,
解得α=70°.
综上所述:逆时针旋转50°或顺时针旋转70°时,∠EBC=2∠ABD.
 
6.8 余角和补角
01  基础题
              
知识点1 余角的概念及性质
1.(株洲中考)已知∠α=35°,那么∠α的余角等于(B)
A.35°     B.55°
C.65°     D.145°
2.一个角的余角是它的2倍,这个角的度数是(A)
 A.30°     B.45°
C.60°     D.75°
3.已知∠A与∠B互余,若∠A=20°15′,则∠B的度数为69.75°.

知识点2 补角的概念及性质
4.下列图形中,∠1与∠2 互为补角的是(C)
 
5.α与∠β的度数分别是(2m-67)°和(68-m)°,且∠α与∠β都是∠γ的补角,那么∠α与∠β的关系是(C)
A.互余但不相等      B.互为补角
C.相等但不互余     D.互余且相等
6.由∠1=∠3,∠1+∠2=180°,∠3+∠4=180°,得∠2=∠4,其依据是等角的补角相等.

知识点3 余角与补角的综合运用
7.∠1与∠2互余,∠1与∠3互补,若∠3=125°,则∠2=(A)
A.35°      B.45°
C.55°      D.65°
8.如果∠A的补角与∠A的余角互补,那么2∠A是(B)
A.锐角     B.直角
C.钝角     D.以上三种都可能
9.一个角的余角比这个角的补角的一半小30°,则这个角的大小为60度.
10.将一副三角板按如图方式进行摆放,请判断∠1与∠2是否互补,并说明理由.
 
解:互补.
理由如下:∵∠2+∠3=90°,∠3+∠4=90°,
∴∠2=∠4.
∵∠1+∠4=180°,
∴∠1+∠2=180°.
∴∠1与∠2互补.


11.如图,已知∠AOB=155°,∠AOC=∠BOD=90°.
(1)写出与∠COD互余的角;
(2)求∠COD的度数;
(3)图中是否有互补的角?若有,请写出来.
 
解:(1)与∠COD互余的角是∠AOD和∠BOC.
(2)∠BOC=∠AOB-∠AOC=65°,
∠COD=∠BOD-∠BOC=25°.
(3)∠COD与∠AOB、∠AOC与∠BOD互补.

02  中档题
12.(绍兴上虞区期末)如图,将一副三角尺按不同位置摆放,摆放方式中∠α与∠β互余的是(C)
 
13.如图所示,OA是北偏东60°方向的一条射线,若∠NOB与∠NOA互余,则OB的方位角是(A)
A.北偏西30°  B.北偏西60°
C.东偏北30°  D.东偏北60°
     
第13题图       第14题图
14.如图,O为直线AB上一点,∠AOC=α,∠BOC=β,则β的余角可表示为(C)
A.12(α+β)     B.12α
C.12(α-β)     D.12β
15.下列说法正确的是(D)
A.一个角的补角一定大于这个角
B.任何一个角都有余角
C.若∠1+∠2+∠3=90°,则∠1,∠2,∠3互余
D.若一个角有余角,则这个角的补角与这个角的余角的差为90°
16.如图,将一副三角尺叠放在一起,使直角顶点重合于点O,绕点O任意转动其中一个三角尺,则与∠AOD始终相等的角是∠BOC.
  
  第16题图  习题解析
17.若一个角的补角与它余角的2倍之差是平角的14,求这个角的度数.
解:设这个角的度数为x°,则其余角度数为(90-x)°,补角为(180-x)°,则
180-x-2(90-x)=14×180.
解得x=45.
答:这个角的度数为45°.

03  综合题
18.如图,点O在直线AB上,∠AOD=∠BOD=∠EOC=90°,∠BOC∶∠AOE=3∶1.
(1)求∠COD的度数;
(2)图中有哪几对角互为余角?
(3)图中有哪几对角互为补角?
 
解:(1)因为∠EOC=90°,所以∠BOC+∠AOE=90°.又因为∠BOC∶∠AOE=3∶1,
所以∠BOC=34×90°=67.5°.因为∠BOD=90°,所以∠COD=90°-67.5°=22.5°.
(2)∠COB与∠COD,∠COB与∠AOE,∠DOE与∠COD,∠DOE与∠AOE,共4对角互为余角.
(3)∠COB与∠COA,∠AOE与∠EOB,∠AOD与∠BOD,∠EOC与∠AOD,∠EOC与∠BOD,∠EOD与∠AOC,∠DOC与∠BOE ,共7对角互为补角.
 
6.9 直线的相交
第1课时 对顶角
01  基础题
              
知识点1 对顶角的概念
1.下列图形中,∠1与∠2是对顶角的有(B)
 
2.如图所示,BE、CF是直线,OA、OD是射线,其中构成对顶角的是(C)
 
A.∠AOE与∠COD
B.∠AOD与∠BOD
C.∠BOF与∠COE
D.∠AOF与∠BOC
3.如图,有两堵墙,要测量地面上所形成的∠AOB的度数,但人又不能进入围墙,只能站在墙外,该如何测量?
 
解:延长AO与BO得到∠AOB的对顶角∠COD,测出∠COD的度数,则∠AOB=∠COD.

 

知识点2 对顶角的性质
4.如图,直线AB,CD交于点O,射线OM平分∠AOC,若∠BOD=76°,则∠AOM等于(A)
A.38°    B.36°    C.28°    D.24°
    
第4题图     第5题图

5.(吉林中考)图中是对顶角量角器,用它测量角的原理是对顶角相等.
6.如图,直线a,b相交,∠2=3∠1,则∠3=45°.
     
第6题图     第7题图
7.如图,三条直线l1,l2,l3相交于一点,则∠1+∠2+∠3=180°.
8.如图,直线AB,CD,EF相交于点O,且∠AOD=90°,∠1=40°,求∠2的度数.
 
解:∵直线AB,CD,EF相交于点O,且∠AOD=90°,
∴∠BOD=90°.
∵∠1=40°,
∴∠DOF=40°.
∴∠2=90°-40°=50°.

 

9.如图,直线AB、CD相交于点O,OE把∠BOD分成两部分.
(1)直接写出图中∠AOC的对顶角为∠BOD;
(2)若∠AOC=70°,且∠BOE∶∠EOD=2∶3,求∠DOE的度数.
 
解:∵∠AOC的对顶角为∠BOD,
∴∠BOD=∠AOC=70°.
又∵∠BOE∶∠EOD=2∶3,
∴∠DOE=35∠DOB=35×70°=42°.
 
02  中档题
10.平面内三条直线的交点个数可能有(D)
A.1个或3个      B.2个或3个
C.1个或2个或3个    D.0个或1个或2个或3个
11.如图,直线AB,CD相交于点O,OA平分∠EOC,∠EOC∶∠EOD=2∶3,则∠BOD=(B)
A.30°       B.36°
C.45°       D.72°
     
第11题图    第13题图
12.一个角的补角是这个角的对顶角的4倍,则这个角的度数为36°.
13.如图,直线AB、CD相交于点O,OE平分∠BOD,OF平分∠COE.∠BOF=30°,则∠AOC=80°.
14.已知点O是直线AB上一点,OC,OD是两条射线,且∠AOC=∠BOD,则∠AOC与∠BOD是对顶角吗?为什么?
解:∠AOC与∠BOD不一定是对顶角.
如图1所示,当射线OC,OD位于直线AB的同侧时,不是对顶角;
如图2所示,当射线OC,OD位于直线AB的异侧时,是对顶角.
 


15.如图,已知直线AB和CD相交于点O,∠COF与∠EOF互余,OF平分∠AOE,∠COF=28°,求∠BOD的度数.
 
解:∵∠COF与∠EOF互余,
∴∠COF+∠EOF=90°.
∴∠EOF=90°-∠COF=90°-28°=62°.
∵OF平分∠AOE,
∴∠AOF=∠EOF=62°.
∴∠AOC=∠AOF-∠COF=62°-28°=34°.
∴∠BOD=∠AOC=34°.


16.如图,直线AB,CD,EF相交于点O,∠AOE=30°,∠BOC=2∠AOC,求∠DOF的度数.
 
解:设∠AOC=x°,
则∠BOC=2x°.
由邻补角的定义,可得2x+x=180.
解得x=60.
所以∠AOC=60°.
所以∠EOC=∠AOC-∠AOE=60°-30°=30°.
所以∠DOF=∠EOC=30°.

03  综合题
17.观察下列图形,寻找对顶角(不含平角).
 
(1)两条直线相交于一点,如图1,共有2对对顶角;
(2)三条直线相交于一点,如图2,共有6对对顶角;
(3)四条直线相交于一点,如图3,共有12对对顶角;
(4)根据填空结果探究:当n条直线相交于一点时,所构成的对顶角的对数与直线条数之间的关系;
(5)根据探究结果,求2 017条直线相交于一点时,所构成的对顶角的对数.
解:(4)(n-1)•n.
(5)2 016×2 017=4 066 272.
 
第2课时 垂线
01  基础题
              
知识点1 垂线的相关概念及计算
1.如图,直线AB、CD相交于点O,下列条件中,不能说明AB⊥CD的是(C)
 
A.∠AOD=90°
B.∠AOC=∠BOC
C.∠BOC+∠BOD=180°
D.∠AOC+∠BOD=180°
2.如图,已知点O在直线AB上,CO⊥DO于点O,若∠1=145°,则∠3的度数为(C)
A.35°     B.45°
C.55°     D.65°
    
第2题图    第3题图
3.如图,直线AB,CD相交于点O,EO⊥AB,垂足为O.若∠EOD=20°,则∠COB的度数为110°.
4.如图,直线AB、EF相交于点D,CD⊥AB,DF平分∠BDC,求∠EDC.
 
解:∵CD⊥AB,
∴∠ADC=∠CDB=90°.
∵DF平分∠BDC,
∴∠CDF=∠BDF=∠ADE=45°.
∴∠EDC=∠ADC+∠ADE=90°+45°=135°.

5.(诸暨期末)如图,直线AE与CD相交于点B,且BF⊥AE,∠DBE=50°.
(1)请直接写出与∠DBE互余的角;
(2)求∠CBF的度数.
 
解:(1)∠DBF.
(2)∵BF⊥AE,
∴∠FBE=∠ABF=90°.
∵∠DBE=50°,
∵∠ABC=∠DBE=50°,
∴∠CBF=180°-∠ABC=140°.


知识点2 垂线的画法
6.(1)如图1,用三角板过点A画直线l的垂线;
(2)如图2,过点B作直线AC的垂线BD,垂足为D.
 
解:如图所示.


知识点3 垂线的基本事实
7.如图,已知ON⊥l,OM⊥l,则OM与ON重合,其理由是(B)
 
A.两点确定一条直线
 B.过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
C.垂线段最短
D.过一点只能作一条垂线

知识点4 垂线段最短
8.如图,△ABC中,∠C=90°,AC=3 cm,点P是边BC上的动点,则AP长不可能是(A)
 
A.2.5 cm
B.3 cm
C.4 cm
D.5 cm
9.如图所示,要把水渠中的水引到水池中,水池在C处,在渠岸AB的何处开挖才能使水沟最短?
 
解:过点C作CD⊥AB,垂足为D,根据垂线段最短,可知在D处开挖可以使水沟CD最短.

 

知识点5 点到直线的距离
10.(西湖区期末)如图,A是直线l外一点,点B、C、E、D在直线l上,且AD⊥l,D为垂足,如果AC=8 cm,AD=6 cm,AE=7 cm,AB=13 cm,那么点A到直线l的距离是(D)
 
A.13 cm
B.8 cm
C.7 cm
D.6 cm

02  中档题
11.如图,OA⊥OC,OB⊥OD,∠AOB=25°,则∠COD的度数是(A)
A.25°    B.35°    C.45°    D.55°
    
第11题图   第13题图

12.若A,B,C是直线l上的三点,P是直线l外一点,且PA=5 cm,PB=4 cm,PC=3 cm,则点P到直线l的距离(C)
 
习题解析
A.等于3 cm
B.大于3 cm而小于4 cm
C.不大于3 cm
D.小于3 cm
13.如图,CD⊥AB,垂足为C,∠1=130°,则∠2=40度.
14.(滨江区期末)如图,点C是∠AOB的边OB上的一点,按下列要求画图并回答问题:
 
(1)过C点画OB的垂线,交OA于点D;
(2)过C点画OA的垂线,垂足为E;
(3)比较线段CE,OD,CD的大小(请直接写出结论);
(4)请写出第(3)小题图中与∠AOB互余的角(不增添其他字母).
解:(1)、(2)如图所示.
(3)CE<CD<OD.
(4)与∠AOB互余的角是∠OCE和∠ODC.

 


15.如图,已知直线AB和CD相交于点O,射线OE⊥AB于点O,射线OF⊥CD于点O,且∠BOF=25°,求∠AOC和∠EOD的度数.
 
解:∵OF⊥CD,
∴∠DOF=90°.
又∵∠BOF=25°,∴∠BOD=90°+25°=115°.
∴∠AOC=∠BOD=115°.
∵OE⊥AB,∴∠BOE=90°.
又∵∠BOF=25°,
∴∠EOF=65°.
∴∠EOD=∠DOF-∠EOF=25°.


16.如图,直线AB、CD相交于点O,∠AOC与∠AOD的度数比为4∶5,OE⊥AB,OF平分∠DOB,求∠EOF的度数.
 
解:设∠AOC=4x,
则∠AOD=5x.
∵∠AOC+∠AOD=180°,
∴4x+5x=180°.解得x=20°.
∴∠AOC=4x=80°.
∴∠BOD=80°.
∵OE⊥AB,
∴∠BOE=90°.
∴∠DOE=∠BOE-∠BOD=10°.
又∵OF平分∠DOB,
∴∠DOF=12∠BOD=40°.
∴∠EOF=∠EOD+∠DOF=10°+40°=50°.


03  综合题
17.如图,点O是直线AB、CD的交点,OE⊥AB,OF⊥CD,OM是∠BOF的平分线.
(1)填空:
①由OM是∠BOF的平分线,可得∠FOM=∠BOM;
②若∠AOC=34°,则∠BOD=34度;
③根据同角的余角相等,可得∠EOF=∠AOC;
(2)若∠AOC=α,求∠COM.(用含α的代数式表示,并写出过程)
 
解:∵∠AOC=α,
∴∠BOD=∠AOC=α.
∵OF⊥CD,
∴∠BOF=90°-∠BOD=90°-α.
∵OM是∠BOF的平分线,
∴∠MOF=12∠BOF=45°-12α.
∵OF⊥CD,
∴∠COM=90°+∠MOF=90°+45°-12α=135°-12α.
 
章末复习(六) 图形的初步知识
01  基础题
              
知识点1 平面图形、立体图形的识别
1.下面几何体中,表面都是平面图形的是(D)
 
2.如图所示的花瓶中,表面可以看作由所给的平面图形绕虚线旋转一周形成的是(B)
  

知识点2 直线、射线与线段
3.以下说法中正确的是(B)
A.延长射线AB    B.延长线段AB到C
C.延长直线AB    D.画直线AB等于1 cm
4.(杭州期末)如图,图中线段、射线、直线的条数分别为(B)
A.5,4,1      B.8,12,1
C.5,12,3     D.8,10,3
    
第4题图        第5题图
5.如图,公园里,美丽的草坪上有时出现了一条很不美观的“捷径”,但细想其中也蕴含着一个数学中很重要的“道理”,这个“道理”是两点之间,线段最短.

知识点3 线段有关的计算
6.如果延长线段AB到C,使得BC=12AB,那么AC∶AB等于(D)
A.2∶1       B.2∶3
C.3∶1      D.3∶2
7.如图,线段AB=10 cm,延长AB到点C,使BC=6 cm,点M、N分别为AC、BC的中点,求线段BM、MN的长.
 
解:∵AB=10 cm,BC=6 cm,∴AC=16 cm.
又M为AC的中点,∴MC=AM=8 cm.
∵N为BC的中点,
∴BN=NC=3 cm,
BM=AB-AM=10-8=2(cm),
MN=BM+BN=2+3=5(cm).


知识点4 角的有关概念及计算
8.下列各式计算正确的是(C)
A.(12)°=118″      B.38°15′=38.15°
C.24.8°×2=49.6°    D.90°-85°45′=4°65′
9.(西湖区期末)若∠1=40°50′,则∠1的余角为49°10′,∠1的补角为139°10′.
 
10.如图,已知O是直线AB上一点,∠1=20°,OD平分∠BOC,则∠2的度数是80度.

知识点5 与直线相交的有关问题
11.如图,已知AB⊥CD垂足为O,EF经过点O.如果∠1=30°,那么∠2等于(C)
A.30°     B.45°
C.60°     D.90°
     
第11题图    第12题图


12.(嵊州期末)如图,直线AB、CD交于点O,OE⊥AB,∠EOC=40°,则∠BOD=130度.

02  中档题
13.如图所示的魔方共由多少个小正方体组成(D)
 
A.18 
B.19
C.26 
D.27
14.如图,点C是线段AB上一点,点M是AC的中点,点N是BC的中点,如果MC比NC长2 cm,那么AC比BC长(B)
 
A.2 cm    B.4 cm    C.1 cm    D.6 cm
15.如图,立定跳远比赛时,小明从点A起跳落在沙坑内B处,跳远成绩是4.6米,则小明从起跳点到落脚点的距离>4.6米.(填“>”“<”或“=”)
    
  第15题图      第16题图

16.如图,已知直线AB与CD交于点O,ON平分∠DOB,若∠BOC=110°,则∠AON的度数为145度.
17.如图,点C,D,E都在线段AB上,已知AD=BC,E是线段AB的中点,则CE=DE.(填“>”“<”或“=”)
 
 
18.(杭州期末)如图,OA⊥OC,OB⊥OD,4位同学观察图形后分别说了自己的观点. 甲:∠AOB=∠COD;乙:∠BOC+∠AOD=180°;丙:∠AOB+∠COD=90°;丁:图中小于平角的角有6个.其中正确的结论有3个.
19.如图,直线AB,CD相交于点O,OF平分∠AOE,OF⊥CD,垂足为O.
(1)写出图中所有与∠AOD互补的角;
(2)若∠AOE=120°,求∠BOD的度数.
 
解:(1)与∠AOD互补的角有∠AOC,∠BOD,∠DOE.
(2)∵OF平分∠AOE,
∴∠AOF=12∠AOE=60°.
∵OF⊥CD,
∴∠COF=90°.
∴∠AOC=∠COF-∠AOF=90°-60°=30°.
∵∠AOC与∠BOD是对顶角,
∴∠BOD=∠AOC=30°.

03  综合题
20.如图,已知OA⊥OD,∠FOD=2∠COD,OB平分∠AOC,OE平分∠COF.
(1)若∠COD=30°,求∠BOE的度数;
(2)若∠BOE=85°,求∠COD的度数.
 
解:(1)∵∠COD=30°,OA⊥OD,∴∠AOC=60°.
∵OB平分∠AOC,
∴∠BOC=30°.
∵∠FOD=2∠COD,
∴∠FOD=60°.
∵OE平分∠COF,
∴∠COE=12∠COF=12(∠COD+∠FOD)=45°.
∴∠BOE=30°+45°=75°.
(2)设∠COD=x°,
由已知可得∠BOC=12(90-x),∠COE=32x,
∴12(90-x)+ x=85.
解得x=40.
∴∠COD=40°.

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