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贵阳市 2018 年初中毕业生学业(升学)考试试题卷
数学
同学你好!答题前请认真阅读以下内容:
1. 全卷共 4 页,三个答题,共 25 小题,满分 150 分,考试时间为 120 分钟.
2. 一律在答题卡相应位置作答,在试题卷上答题视为无效.
3. 可以使用科学计算器.
一、选这题(以下每个小题均有 A、B、C、D 四个选项,其中只有一 个选项正确,
请用 2B 铅笔在答题卡相应位置作答,每小题 3 分,共 30 分)
1. 当 x 1 时,代数式 3x 1 的值是( B )
(A)-1 (B)-2 (C)-4 (D)-4
【解】 3 ( 1) 1 2
2. 如图,在 ABC 中有四条线段 DE,BE,EF,FG ,其中有一条线段是 ABC 的 中线,则该线段是( B )
(A)线段 DE (B)线段 BE (C)线段 EF (D)线段 FG
3. 如图是一个几何体的主视图和俯视图,则这个几何体是( A )
(A)三棱柱 (B)正方体 (C)三棱锥 (D)长方体
4. 在“生命安全”主题教育活动中,为了解甲、乙、丙、丁四所学校学生对生 命安全知识掌握情况,小丽制定了如下方案,你认为最合理的是( D )
(A)抽取乙校初二年级学生进行调查
(B)在丙校随机抽取 600 名学生进行调查
(C)随机抽取 150 名老师进行调查
(D)在四个学校各随机抽取 150 名学生进行调查
5. 如图,在菱形 ABCD 中, E 是 AC 的中点, EF ∥ CB ,交 AB 于点 F ,如果
EF 3 ,那么菱形 ABCD 的周长为( A )
(A)24 (B)18 (C)12 (D)9
【解】 E、F 分别是 AC、AB 的中点且 EF 3 BC 2EF 6
四边形 ABCD 是菱形
AB BC CD DA 6 菱形 ABCD 的周长为 6 4 24 故选 A
6. 如图,数轴上有三个点 A、B、C ,若点 A、B 表示的数互为相反数,则图中 点 C 对应的数是( C )
(A)-2 (B)0 (C)1 (D)4
【解】记点 A、B、C 对应的数分别为 a、b、c
a、b 互为相反数
a b 0
由图可知: b a 6
c 1
7. 如图,A、B、C 是小正方形的顶点,且每个小正方形的边长为 1,则 tan BAC
的值为( B )
【解】图解
8. 如图,小颖在围棋盘上两个格子的格点上任意摆放黑、白两个棋子,且两个 棋子不在同一条网格线上,其中,恰好摆放成如图所示位置的概率是( A )
(A) 1 (B) 1 (C) 1 (D) 2
∵两个棋子不在同一条网格线上
∴两个棋子必在对角线上,如图:
有 6 条对角线供这两个棋子摆放,考虑每条对角线两端点皆可摆放黑、白棋子,
故有 6×2=12 种可能,而满足题意的只有一种可能,从而恰好摆放成如图所示位
置的概率是 1
12
9. 一次函数 y kx 1 的图像经过点 P ,且 y 的值随 x 值的增大而增大,则点 P 的
坐标可以为( C )
(A)(-5,3) (B)(1,-3) (C)(2,2) (D)(5,-1)
【解】∵ y 的值随 x 值的增大而增大∴ k 0
(A)(-5,3) k y 1 3 1 4 0
x 5 5
(B)(1,-3)
k y 1 3 1 2 0
x 1
(C)(2,2)
k y 1 2 1 3 0
x 2 2
(D) (5,-1) k y 1 1 1 0
x 5
10.已知二次函数 y x 2 x 6 及一次函数 y x m ,将该二次函数在 x 轴上方
的图像沿 x 轴翻折到 x 轴下方,图像的其余部分不变,得到一个新函数(如图所 示),当直线 y x m 与新图
像有 4 个交点时, m 的取值范 围是( D )
(A) 25 m 3
4
(B) 25 m 2
4
(C) 2 m 3
(D) 6 m 2
【解】图解
故选 D
二、填空题(每小题 4 分,共 20 分)
11.某班 50 名学生在 2018 年适应性考试中,数学成绩在 100~110 分这个分数段
的频率为 0.2,则该班在这个分数段的学生为 10 人.
【解】 频数 频率 频数 频率 总数 50 0.2 10人 总数
12.如图,过 x 轴上任意一点 P 作 y 轴的平行线,分别与反比例函数 y 3 ( x 0) ,
x
y 6 ( x 0) 的图像交于 A 点和 B 点,若 C 为 y 轴任意一点,连接 AB、BC ,则
x
9
ABC 的面积为 .
2
【解】
13.如图,点 M、N 分别是正五边形 ABCDE 的两边 AB、BC 上的点,且 AM BN , 点 O 是正五边形的中心,则 MON 的度数是 度.
【解】方法一:特殊位置,即 OM AB,ON BC 时, MON 360 72
5
方法二:一般位置,作 OP AB,OQ BC ,如图所示:
易得: RtOPM ≌ RtOQN ,则 POM QON
POQ POM MOQ
由
NOM NOQ MOQ
∴ MON POQ 360 72
5
14.已知关于 x 的不等式组 5 3x 1
a x 0
【解】由 5 3x 1 得: x 2
由 a x 0 得: x a
无解,则 a 的取值范围是 .
当 a 2 时,不等式组有解,即 a x 2 ,如图:
当 a 2 时,不等式组有解,即 x 2 ,如图:
当 a 2 时,不等式组无解,如图:
综上所述: a 2 .
15.如图,在 ABC 中, BC 6 , BC 边上的高为 4,在 ABC 的内部作一个矩形
EFGH ,使 EF 在 BC 边上,另外两个顶点分别在 AB、AC 边上,则对角线 EG 长
12 13
的最小值为 .
13
【解】作 AM BC 于点 M ,交 DG 于点 N ,设 DE x ,由题意知: AM 4,BC 6
如图:
∵四边形 DEFG 是矩形
∴ DG ∥ EF
∴ ADG ∽ ABC
∴ AN DG 即
AM BC
4 x DG DG 12 3x
4 6 2
DE 2 DG 2
x 2 (12 3x )2
在 RtEDG 中
13 ( x 24 )2 144
2 9 13 13
∴当 x
24
时, EGmin
13 ( 24
24 )2
144
144
12 13
1 3 9 13 13 13
13 13
三、解答题(本大题 10 个小题,共 100 分)
17.(本题满分 10 分)在 6· 26 国际禁毒日到来之际,贵阳市教育局为了普及禁
毒知识,提高禁毒意识,举办了“关爱生命,拒绝毒品”的知识竞赛.某校初一、
初二年级分别有 300 人,现从中各随机抽取 20 名同学的测试成绩进行调查分析,
成绩如下:
初一:68 88 100 100 79 94 89 85 100 88
100 90 98 97 77 94 96 100 92 67
初二:69 97 96 89 98 100 99 100 95 100
99 69 97 100 99 94 79 99 98 79
(1)根据上述数据,将下列表格补充完成整:
整理、描述数据:
分数段 60 x 69 70 x 79 80 x 89 90 x 100
初一人数 2 2 4 12
初二人数 2 2 1 15
分析数据:样本数据的平均数、中位数、满分率如下表:
年级 平均数 中位数 满分率
初一 90.1 93 25%
初二 92.8 97.5 20%
得出结论:
(2)估计该校初一、初二年级学生在本次测试成绩中可以得到满分的人数共
135 人;
(3)你认为哪个年级掌握禁毒知识的总体水平较好,说明理由.
初二年级总体掌握禁毒知识水平较好,因为平均数和中位数都高于初一年级.
18.(本题满分 8 分)如图,将边长为 m 的正方形纸板沿虚线剪成两个小正方形 和两个矩形,拿掉边长为 n 的小正方形纸板后,将剩下的三块拼成新的矩形.
(1)用含 m 或 n 的代数式表示拼成矩形的周长;
(2) m 7 , n 4 ,求拼成矩形的面积.
【解】(1)拼成矩形的周长= m n m n 2m
(2)拼成举行的哦面积= (m n)(m n) (7 4) (7 4) 33
19.(本题满分 8 分)如图①,在 RtABC 中,以下是小亮探究 间关系的方法:
a
sin A
与 b 之
sin B
图① 图②
sin A a ,sin B b
根据你掌握的三角函数知识,在图②的锐角 ABC 中,探究 之间的关系,并写出探究过程.
a
sin A
、 b
sin B
、 c
sin C
【解】作 CM AB 于点 M ,作 AN BC 于点 N ,如图所示:
在 RtAMC 中,
sin A CM AC
CM
b
CM b sin A
在 RtBMC 中,
sin B CM BC
CM
a
CM a sin B
b sin A a sin B
b
sin B
a
sin A
在 RtANC 中, sin C AN AC
在 RtANB 中, sin B AN AB
AN AN b sin C
b
AN AN c sin B
c
b sin C c sin B
b
sin B
a
sin A
c
sin C
b
sin B
c
sin C
20.(本题满分 10 分)某青春党支部在精准扶贫活动中,给结对帮扶的贫困家庭 赠送甲、乙两种树苗让其栽种.已知乙种树苗的价格比甲种树苗贵 10 元,用 480 元购买乙种树苗的棵数恰好与用 360 元购买甲种树 苗的棵数相同.
(1)求甲、乙两种树苗每棵的价格各是多少元?
(2)在实际帮扶中,他们决定再次购买甲、乙两种树苗共 50 棵.此时,甲种树
苗的售价比第一次购买时降低了 10%,乙种树苗的售价不变,如果再次购买两种
树苗的总费用不超过 1500 元,那么他们最多可购买多少棵乙种树苗?
【解】
(1)设甲种树苗每棵的价格是 x 元,由题意知:乙种树 苗每棵的价格是 x 10 元.
则 480 360 ,解得: x 30
x 10 x
即,甲、乙两种树苗每棵的价格分别是 30 元、40 元
(2)设他们购买乙种树苗 y 棵,则购买甲种树苗 50 y 棵. 由(1)知:甲种树苗每棵 30 元,乙种树苗每棵 40 元
甲种树苗降低 10%后为: 30 (1 10%) 27 元
由题意知: 27 (50 y) 40 y 1500 解得: y 150 11.54
13
所以,他们最多可以购买 11 棵乙种树苗.
21.(本题满分 10 分)如图,在平行四边形 ABCD 中, AE 是 BC 边上的高,点 F 是 DE 的中点, AB 与 AG 关于 AE 对称, AE 与 AF 关于 AG 对称,
(1)求证: AEF 是等边三角形;
(2)若 AB 2 ,求 AFD 的面积.
证明(1):
∵四边形 ABCD 是平行四边形
∴ AD ∥ BC
∵ AE BC
∴ AE AD 即 EAD 90
在 RtEAD 中
∵ F 是 ED 的中点
∴ AF 1 ED EF
2
∵ AE 与 AF 关于 AG 对称
∴ AE AF
∴ AE AF EF
∴ AEF 是等边三角形
(3)由(1)知 AEF 是等边三角形,则 EAF AEF 60, EAG FAG 30
在 RtEAD 中, ADE 30
∵ AB 与 AG 关于 AE 对称
∴ BAE GAE 30
在 RtAEB 中, AB 2
则 AE AB cos BAE 2 cos 30 3
在 RtEAD 中, AD AE tan AEF
3 tan 60 3
∴ S 1 S
1 1 AE AD 1 1
3 3 3 3
AFD
2 AED 2 2
2 2 4
22.(本题满分 10 分)图①是一枚质地均匀的正四面体形状的骰子,每个面上分 别标有数字 1,2,3,4,图②是一个正六边形棋盘.现通过掷骰子的方式玩跳棋 游 戏,规则是:将这枚骰子掷出后,看骰子向上三个面(除底面外)的数字之和 是几,就从图②中的 A 点开始沿着顺时针方向连续跳动几个顶点,第二次从第一 次的终点处开始,按第一次的方法跳动.
(1)随机掷一次骰子,则棋子跳动到点 C 处的概率是 ;
(2)随机掷两次骰子,用画树状图或列表的方法,求棋子最终跳动到点 C 处的
概率.
【解】随机掷一次骰子,骰子向上三个面(除底面外)的数字之和可以是 6、7、
8、9.
(1)随机掷一次骰子,满足棋子跳动到点 C 处的数字是 8
所以,随机掷一次骰子,则棋子跳动到点 C 处的概率是 1 .
4
(2)随机掷两次骰子,棋子最终跳动到点 C 处的数字是 14,
列表如下:
6 7 8 9
6 12 13 14 15
7 13 14 15 16
8 14 15 16 17
9 15 16 17 18
树状图如下:
所以,随机掷两次骰子,棋子最终跳动到点 C 处的概率是 3 .
16
23.(本题满分 10 分)六盘水市梅花山国际滑雪自建成以来,吸引大批滑雪爱好
者,一滑雪者从山坡滑下,测得滑行距离 y (单位:m)与滑行时间 x (单位:s) 之间的关系可以近似的用二次函数来表示.
滑行时间 x / s 0 1 2 3 …
滑行距离 y / m 0 4 12 24 …
(1)根据表中数据求出二次函数的表达式,现测量出滑雪者的出发点与终点的
距离大约 800m,他需要多少时间才能到达终点?
(2)将得到的二次函数图像补充完整后,向左平移 2 个单位,再向上平移 5 个
单位,求平移后的函数表达.
【解】(1)设二次函数表达式为: y ax 2 bx c ,则
0 c
4 a b c
12 4a 2b c
a 2
解得: 2 ,故 y 2 x 2 2 x,x 0
c 0
(2)由(1)知: y 2 x 2 2 x
向左平移 2 各单位得: y 2( x 2)2 2( x 2) 2 x 2 10 x 12
向上平移 5 个单位得: y 2 x 2 10 x 12 5 2 x 2 10 x 17
23.(本题满分 10 分)如图,AB 为⊙ O 的直径,且 AB 4 ,点 C 在半圆上,OC AB , 垂足为点 O , P 为半圆上任意一点,过 P 点作 PE OC 于点 E,设 OPE 的内心
为 M ,连接 OM、PM .
(1)求 OMP 的度数;
(2)当点 P 在半圆上从点 B 运动到点 A 时,求内心 M 所经过的路径长.
【解】(1)∵ PE OC
∴ PEO 90
∴ EPO EOP 90
∵ M 是 OPE 的内心 ∴ EOM POM,EPM OPM
∴ POM OPM 1 (EPO EOP) 45
2
在 POM 中, OMP 180 (POM OPM ) 180 45 135
(2)连接 CM ,作过 O、M、C 三点的外接圆,即⊙ N ,连接 NC、NO ,在⊙ N
的优弧上任取一点 H ,连接 HC、HO .如图所示:
由题意知: OP OC,POM COM,OM OM
∴ POM ≌ COM
∴ OMP OMC 135
在⊙ N 的内接四边形 CMOH 中, H 180 OMC 180 135 45
∴ N 2 45 90
由题意知: OC 1 AB 1 4 2
2 2
在等腰直角三角形 CNO 中, NC NO
由勾股定理得: NC 2 NO 2 OC 2 即 2 NC 2 22 NC 2
当点 P 在 上运动时,点 M 在 上运动
90
∴ 的长为:
180
∵ 与 关于 OC 对称
2 2
2
∴当点 P 在 上运动时,点 M 所在弧上的运动路 径长与当点 P 在 上运动时,点 M 在
上运动的路径长相等
∴当点 P 在半圆上从点 B 运动到点 A 时,求内心 M 所经过的路径长为:
2 2 2
2
24.(本题满分 12 分)如图,在矩形 ABCD 中, AB 2,AD
的一点,且 BP 2CP .
3,P 是 BC 边上
(1)用尺规在图①中作出 CD 边上的中点 E ,连接 AE、BE (保留作图痕迹,不 写作法);
(2)如图②,在(1)的条件下,判断 EB 是否平分 AEC ,并说明理由;
(3)如图③,在(2)的条件下,连接 EP 并延长交 AB 的延长线于点 F ,连接 AP ,
不添加辅助线, PFB 能否由都经过 P 点的两次变换与 PAE 组成一个等腰三角
形?如果能,说明理由,并写出两种方法(指出对称轴、旋转中心、旋转方向或
平移方向和平移距离)
【解】
(1)分别以 D、C 为圆心,以相同且大于 1 DC
2
接 MN 交 DC 于点 E ,即为 DC 的中点,如下图:
3
为半径作圆相交于 M、N 两点,连
2
(2)由题意及(1)知: EC 1 AB 1 2 1
2 2
在 RtBCE 中, BC 3
∴ tan BEC BC 3
EC
∴ BEC 60
由勾股定理得: EB
3)2 2
同理: AE 2
∴ AE AB EB
∴ AEB ABE BAE 60
∴ AEB BEC 60
∴ EB 是否平分 AEC .
(3) PFB 能否由都经过 P 点的两次变换与 PAE 组成一个等腰三角形.
理由如下:
∵ BP 2CP,AD BC 3
∴ BP
2 3 ,CP 3
3 3
在 RtECP 中, tan EPC EC 3
PC
∴ ECP 60
∴ BPF 60
由勾股定理得: EP
EC 2 CP 2
12 (
3 )2 2 3
3 3
∴ EP PB
由题意知: C ABP 90
∵ BP AB 2
CP EC
∴ ABP ∽ ECP
∴ APB 60
∴ BPF APB 60
∵ ABP FBP 90,BP BP
∴ RtABP ≌ RtFBP
∵ APB CPE 60
∴ EPA 180 (APB CPE ) 60
∴ APB APE
又 AP AP
∴ RtABP ≌ RtAEP
∴ RtABP ≌ RtAEP ≌ RtFBP
∴ PFB 能否由都经过 P 点的两次变换与 PAE 组成一个等腰三角形.
25.(本题满分 12 分)如图,在平面直角坐标系 xoy 中,点 A 是反比例函数
y m
m2
x
( x 0,m 1) 图像上一点,点 A 的横坐标为 m ,点 B(0, m) 是 y 轴负
半轴上的一点,连接 AB , AC AB ,交 y 于点 C ,延长 CA 到点 D ,使得 AD AC ,
过点 A 作 AE 平行于 x 轴,过点 D 作 y 轴平行线交 AE 于点 E .
(1)当 m 3 时,求点 A 的坐标;
(2) DE ,设点 D 的坐标为( x,y ),求 y 关于 x 的函数关系式和自变 量的取值范围;
(3)连接 BD ,过点 A 作 BD 的平行线,与(2)中的函数图像交于点 F ,当 m 为
何值时,以 A、B、D、F 为顶点的四边形是平行四边形?
【解】
(1)当 m 3 时, xA 3 ,则 y A
m3 m2
xA
33 32
6
3
故: A (3,6)
(2)作 AF y 轴于点 F ,则 CFA 90 .由题意知: A(m, m2 m),B(0, m)
CA AB CAB 90
CAB CFA 90 ABC FAB FAB CAF 90 CAF ABC
RtAFC ∽ RtBFA
FA CF ,即 m
CF CF 1
FB AF
m2 m (m) m
AD AC,E AFC 90,CAF DAE
RtAFC ≌ RtAED
AE AF m,DE CF 1
D(2m,m2 m 1)
消去 m 得: y 1 x 2 1 x 1,x 2
4 2
x 2m
y m2 m 1
综上: DE 1,y 1 x 2 1 x 1,x 2
4 2
(3) x 2, A(m, m2 m),B(0, m) , D(2m,m2 m 1)
方法一:利用平行四边形对角线互相平分以及中点坐标公式
当AB 为对角线时
xA xB xD xF
m 0
即
2
2m xF
2
F (
m,1 m)
y A yB yD yF
m m (m) m
m 1 yF
则1 m 1 (m)2 1 (m) 1 m 3
17 (舍)
4 2
(考虑到二次函数图像不完整,只有x 2 部分,故此情况不用写)
当 AD 为对角线时:
xA xD xB xF
m 2m 0 xF
即
(3 2 2 1)
y A yD yB yF
m2 m m2
F
m 1 m yF
m,m
m
2m2 m 1 1 (3m)2 1 (3m) 1 m 0(舍)或m 2
4 2
综上:当 m 2 时,以 A、B、D、F 为顶点的四边形是平行四边形.
方法二:坐标平移法(对边相等+点平移方向相同)
xA xF xB xD
m xF 0 2m
即
F (3m,2m2 m 1)
y A
yF
yB
yD
m2 m y
m (m2 m 1)
代入 y 1 x 2 1 x 1 得 2m2 m 1 1 (3m)2 1 (3m) 1 m 0(舍)或m 2
4 2 4 2
xA xF xD xB
或
m xF 2m 0
即
F (m,1 m)
y A
yF
yD
yB
m2 m y
m2 m 1 (m)
代入y 1 x 2 1 x 1 1 m 1 (m)2 1 (m) 1 m 3
17 (舍)
4 2 4 2
(考虑到二次函数图像不完整,只有x 2 部分,故此情况不用写)
综上:当 m 2 时,以 A、B、D、F 为顶点的四边形是平行四边形.
方法三:官方参考答案(过程相对复杂)
将 F 点坐标代入代入 y 1 x 2 1 x 1 得 m 0(舍)或m 2
4 2
所以,当 m 2 时,以 A、B、D、F 为顶点的四边形是平行四边形.