2017年高中自主招生数学试卷(宁波市慈溪中学含答案和解释)

2017年浙江省宁波市慈溪中学自主招生数学试卷
　
一、选择题（共5小题，每题4分，满分20分）
1．（4分）下列图中阴影部分面积与算式|﹣ |+（ ）2+2﹣1的结果相同的是（　　）
A．  B．    D．
2．（4分）如图，∠ACB=60°，半径为2的⊙O切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离为（　　）
 
A．2π B．4π C．2  D．4
3．（4分）如果多项式x2+px+12可以分解成两个一次因式的积，那么整数p的值可取多少个（　　）
A．4 B．5 C．6 D．8
4．（4分）小明、小林和小颖共解出100道数学题，每人都解出了其中的60道，如果将其中只有1人解出的题叫做难题，2人解出的题叫做中档题，3人都解出的题叫做容易题，那么难题比容易题多多少道（　　）
A．15 B．20 C．25 D．30
5．（4分）已知BD是△ABC的中线，AC=6，且∠ADB=45°，∠C=30°，则AB=（　　）
A．  B．2  C．3  D．6
　
二、填空题（共6题，每小题5分，满分30分）
6．（5分）满足方程|x+2|+|x﹣3|=5的x的取值范围是　   　．
7．（5分）已知三个非负实数a，b，c满足：3a+2b+c=5和2a+b﹣3c=1，若m=3a+b﹣7c，则m的最小值为　   　．
8．（5分）如图所示，设M是△ABC的重心，过M的直线分别交边AB，AC于P，Q两点，且 =m， =n，则 + =　   　．
 
9．（5分）在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都是整数的点（x，y）称为整点，如果将二次函数 的图象与x轴所围成的封闭图形染成红色，则此红色区域内部及其边界上的整点个数有　   　个．
10．（5分）如图所示：在平面直角坐标系中，△OCB的外接圆与y轴交于A（0， ），∠OCB=60°，∠COB=45°，则OC=　   　．
 
11．（5分）如图所示：两个同心圆，半径分别是 和 ，矩形ABCD边AB，CD分别为两圆的弦，当矩形ABCD面积取最大值时，矩形ABCD的周长是　   　．
 
　
三、简答题（共4小题，满分50分）
12．（12分）九年级（1）、（2）、（3）班各派4名代表参加射击比赛，每队每人打两枪，射中内环得50分，射中中环得35分，射中外环得25分，脱靶得0分．统计比赛结果，（1）班8枪全中，（2）班1枪脱靶，（3）班2枪脱靶，但三个班的积分完全相同，都是255分．
请将三个班分别射中内环、中环、外环的次数填入下表并简要说明理由：
班级   内环 中环  外环
 （1）班     
 （2）班     
 （3）班     
13．（12分）设二次函数y=ax2+bx+c的开口向下，顶点落在第二象限．
（1）确定a，b，b2﹣4ac的符号，简述理由．
（2）若此二次函数图象经过原点，且顶点在直线x+y=0上，顶点与原点的距离为3 ，求抛物线的解析式．
14．（12分）如图，四边形ABCD为圆内接四边形，对角线AC、BD交于点E，延长DA、CB交于点F，且∠CAD=60°，DC=DE．
求证：
（1）AB=AF；
（2）A为△BEF的外心（即△BEF外接圆的圆心）．
 
15．（14分）在平面直角坐标中，边长为1的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点．现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y=x上时停止旋转．旋转过程中，AB边交直线y=x于点M，BC边交x轴于点N（如图1）．
（1）求边AB在旋转过程中所扫过的面积；
（2）设△MBN的周长为p，在旋转正方形OABC的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论；
（3）设MN=m，当m为何值时△OMN的面积最小，最小值是多少？并直接写出此时△BMN内切圆的半径．
 
　
 

2017年浙江省宁波市慈溪中学自主招生数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、选择题（共5小题，每题4分，满分20分）
1．（4分）下列图中阴影部分面积与算式|﹣ |+（ ）2+2﹣1的结果相同的是（　　）
A．  B．    D．
【分析】先把算式的值求出，然后根据函数的性质分别求出四个图中的阴影部分面积，看是否与算式的值相同，如相同，则是要选的选项．
【解答】解：原式= + + = = ．
A、作TE⊥X轴，TG⊥Y轴，易得，△GTF≌△ETD，故阴影部分面积为1×1=1；
B、当x=1时，y=3，阴影部分面积1×3× = ；
C、当y=0时，x=±1，当x=0时，y=﹣1．阴影部分面积为[1﹣（﹣1）]×1× =1；
D、阴影部分面积为 xy= ×2=1．
故选B．
 
【点评】解答A时运用了全等三角形的性质，B、C、D都运用了函数图象和坐标的关系，转化为三角形的面积公式来解答．
　
2．（4分）如图，∠ACB=60°，半径为2的⊙O切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离为（　　）
 
A．2π B．4π C．2  D．4
【分析】连接O′C，O′B，O′D，OO′，则O′D⊥BC．
因为O′D=O′B，O′C平分∠ACB，可得∠O′CB= ∠ACB= ×60°=30°，由勾股定理得BC=2 ．
【解答】解：当滚动到⊙O′与CA也相切时，切点为D，
连接O′C，O′B，O′D，OO′，
∵O′D⊥AC，
∴O′D=O′B．
∵O′C平分∠ACB，
∴∠O′CB= ∠ACB= ×60°=30°．
∵O′C=2O′B=2×2=4，
∴BC= = =2 ．
故选：C．
 
【点评】此题主要考查切线及角平分线的性质，勾股定理等知识点，属中等难度题．
　
3．（4分）如果多项式x2+px+12可以分解成两个一次因式的积，那么整数p的值可取多少个（　　）
A．4 B．5 C．6 D．8
【分析】先把12分成2个因数的积的形式，共有6总情况，所以对应的p值也有6种情况．
【解答】解：设12可分成m•n，则p=m+n（m，n同号），
∵m=±1，±2，±3，
n=±12，±6，±4，
∴p=±13，±8，±7，共6个值．
故选C．
【点评】主要考查了分解因式的定义，要熟知二次三项式的一般形式与分解因式之间的关系：x2+（m+n）x+mn=（x+m）（x+n），即常数项与一次项系数之间的等量关系．
　
4．（4分）小明、小林和小颖共解出100道数学题，每人都解出了其中的60道，如果将其中只有1人解出的题叫做难题，2人解出的题叫做中档题，3人都解出的题叫做容易题，那么难题比容易题多多少道（　　）
A．15 B．20 C．25 D．30
【分析】设容易题有x道，中档题有y道，难题有z道，然后根据题目数量和三人解答的题目数量列出方程组，然后根据系数的特点整理即可得解．
【解答】解：设容易题有x道，中档题有y道，难题有z道，
由题意得， ，
①×2﹣②得，z﹣x=20，
所以，难题比容易题多20道．
故选B．
【点评】此类题注意运用方程的知识进行求解，观察系数的特点巧妙求解更简便．
　
5．（4分）已知BD是△ABC的中线，AC=6，且∠ADB=45°，∠C=30°，则AB=（　　）
A．  B．2  C．3  D．6
【分析】根据题中所给的条件，在直角三角形中解题．根据角的正切值与三角形边的关系，结合勾股定理求解．
【解答】解：过点B作BE⊥AC交AC于点E．如下图
 
设BE=x，
∵∠BDA=45°，∠C=30°，
∴DE=x，BC=2x，
∵tan∠C= ，
∴ =tan30°，
∴3x=（3+x） ，解得x= ，
在Rt△ABE中，AE=DE﹣AD= ﹣3= ，
由勾股定理得：AB2=BE2+AE2，AB= =3 ．
故选C．
【点评】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．
　
二、填空题（共6题，每小题5分，满分30分）
6．（5分）满足方程|x+2|+|x﹣3|=5的x的取值范围是　﹣2≤x≤3　．
【分析】分别讨论①x≥3，②﹣2＜x＜3，③x≤﹣2，根据x的范围去掉绝对值，解出x，综合三种情况可得出x的最终范围．
【解答】解：从三种情况考虑：
第一种：当x≥3时，原方程就可化简为：x+2+x﹣3=5，解得：x=3；
第二种：当﹣2＜x＜3时，原方程就可化简为：x+2﹣x+3=5，恒成立；
第三种：当x≤﹣2时，原方程就可化简为：﹣x﹣2+3﹣x=5，解得：x=﹣2；
所以x的取值范围是：﹣2≤x≤3．
【点评】解一元一次方程，注意最后的解可以联合起来，难度很大．
　
7．（5分）已知三个非负实数a，b，c满足：3a+2b+c=5和2a+b﹣3c=1，若m=3a+b﹣7c，则m的最小值为　﹣ 　．
【分析】解方程组，用含m的式子表示出a，b，c的值，根据a≥0，b≥0，c≥0，求得m的取值范围而求得m的最小值．
【解答】解：由题意可得 ，
解得a= ﹣3，b=7﹣ ，c= ，
由于a，b，c是三个非负实数，
∴a≥0，b≥0，c≥0，
∴﹣ ≥m≥﹣ ．
所以m最小值=﹣ ．
故本题答案为：﹣ ．
【点评】本题考查了三元一次方程组和一元一次不等式的解法．
　
8．（5分）如图所示，设M是△ABC的重心，过M的直线分别交边AB，AC于P，Q两点，且 =m， =n，则 + =　1　．
 
【分析】根据三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．可以分别过点B，C作BE∥AD，CF∥AD，交PQ于点E，F，根据平行线等分线段定理和梯形中位线定理可得到两个等式，代入所求代数式整理即可得到答案．
【解答】解：分别过点B，C作BE∥AD，CF∥AD，交PQ于点E，F，则BE∥AD∥CF，
∵点D是BC的中点，
∴MD是梯形的中位线，
∴BE+CF=2MD，
∴ + = = + = = =1．
 
【点评】此题考查了重心的概念和性质，能够熟练运用平行线分线段成比例定理、平行线等分线段定理以及梯形的中位线定理．
　
9．（5分）在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都是整数的点（x，y）称为整点，如果将二次函数 的图象与x轴所围成的封闭图形染成红色，则此红色区域内部及其边界上的整点个数有　25　个．
【分析】找到函数图象与x轴的交点，那么就找到了相应的x的整数值，代入函数求得y的值，那么就求得了y的范围．
【解答】解：将该二次函数化简得，y=﹣[（x﹣4）2﹣ ]，
令y=0得，x= 或  ．
则在红色区域内部及其边界上的整点为（2，0），（3，0），（4，0），（5，0），（6，0），（2，1），（2，2），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（6，1），（6，2）共25个，
故答案为：25．
【点评】本题涉及二次函数的图象性质，解决本题的关键是得到相对应的x的值．
　
10．（5分）如图所示：在平面直角坐标系中，△OCB的外接圆与y轴交于A（0， ），∠OCB=60°，∠COB=45°，则OC=　1+ 　．
 
【分析】连接AB，由圆周角定理知AB必过圆心M，Rt△ABO中，易知∠BAO=∠OCB=60°，已知了OA= ，即可求得OB的长；
过B作BD⊥OC，通过解直角三角形即可求得OD、BD、CD的长，进而由OC=OD+CD求出OC的长．
【解答】解：连接AB，则AB为⊙M的直径．
Rt△ABO中，∠BAO=∠OCB=60°，
∴OB= OA= × = ．
过B作BD⊥OC于D．
Rt△OBD中，∠COB=45°，
则OD=BD= OB= ．
Rt△BCD中，∠OCB=60°，
则CD= BD=1．
∴OC=CD+OD=1+ ．
故答案为：1+ ．
 
【点评】此题主要考查了圆周角定理及解直角三角形的综合应用能力，能够正确的构建出与已知和所求相关的直角三角形是解答此题的关键．
　
11．（5分）如图所示：两个同心圆，半径分别是 和 ，矩形ABCD边AB，CD分别为两圆的弦，当矩形ABCD面积取最大值时，矩形ABCD的周长是　16+12 　．
 
【分析】此题首先能够把问题转化到三角形中进行分析．根据锐角三角函数的概念可以证明三角形的面积等于相邻两边的乘积乘以夹角的正弦值，根据这一公式分析面积的最大值的情况．然后运用勾股定理以及直角三角形的斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边求得长方形的长和宽，进一步求得其周长．
【解答】解：连接OA，OD，作OP⊥AB于P，OM⊥AD于M，ON⊥CD于N．
根据矩形的面积以及三角形的面积公式发现：矩形的面积是三角形AOD的面积的4倍．因为OA，OD的长是定值，则∠AOD的正弦值最大时，三角形的面积最大，即∠AOD=90°，则AD=6 ，根据三角形的面积公式求得OM=4，即AB=8．则矩形ABCD的周长是16+12 ．
 
【点评】本题考查的是矩形的定理以及垂径的性质，考生应注意运用勾股定理来求得边长继而才能求出周长．
　
三、简答题（共4小题，满分50分）
12．（12分）九年级（1）、（2）、（3）班各派4名代表参加射击比赛，每队每人打两枪，射中内环得50分，射中中环得35分，射中外环得25分，脱靶得0分．统计比赛结果，（1）班8枪全中，（2）班1枪脱靶，（3）班2枪脱靶，但三个班的积分完全相同，都是255分．
请将三个班分别射中内环、中环、外环的次数填入下表并简要说明理由：
班级   内环 中环  外环
 （1）班     
 （2）班     
 （3）班     
【分析】本题可以通过设出内环、中环、外环射中的枪数为x，y，z；设脱靶数为t，根据等量关系“总得分=内环得分+中环得分+外环得分”列出函数方程进行分析，从而确定出各中枪数．
【解答】解：填表如下：
班级   内环 中环  外环
 （1）班  1  3  4
 （2）班  2  3  2
 （3）班  3  3  0
理由如下：可设t枪脱靶，x枪射中内环，y枪射中中环，则有（8﹣x﹣y﹣t）枪射中外环，所以50x+35y+25（8﹣x﹣y﹣t）=255
化简得y=5+2（t﹣x）+ （1+t﹣x）
对于（1）班，t=0，y=5﹣2x+ （1﹣x），x为奇数，只能取x=1，得y=3；
对于（2）班，t=1，y=7﹣2x+ （2﹣x），x为偶数，只能取x=2，得y=3；
对于（3）班，t=2，y=9﹣2x+ （3﹣x），x为奇数，只能取x=3，得y=3；
【点评】此题考查的是学生对函数方程的分析讨论并对某些值确定，同学们要注意细心分析．
　
13．（12分）设二次函数y=ax2+bx+c的开口向下，顶点落在第二象限．
（1）确定a，b，b2﹣4ac的符号，简述理由．
（2）若此二次函数图象经过原点，且顶点在直线x+y=0上，顶点与原点的距离为3 ，求抛物线的解析式．
【分析】（1）根据抛物线的开口向下判断a的符号，再根据第二象限点的坐标特点及二次函数的顶点坐标列出不等式组，确定出解答a，b，b2﹣4ac的符号即可．
（2）根据抛物线过原点及顶点在直线x+y=0上求出其顶点坐标及一次项系数，再根据顶点与原点的距离为3 求出二次项系数，进而求出其解析式．
【解答】解：（1）∵抛物线开口向下，
∴a＜0；
∵顶点在第二象限，
∴ ，
∴b＜0，b2﹣4ac＞0．

（2）由题意可得c=0，
此时顶点坐标为（﹣ ，﹣ ），因顶点在直线x+y=0上，
所以﹣ ﹣ =0，b=﹣2．
此时顶点坐标为（ ，﹣ ），由 + =18，a=﹣ ，
则抛物线的解析式为y=﹣ x2﹣2x．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与系数的关系及用待定系数法求二次函数的解析式，掌握二次函数的特点是解题的关键．
　
14．（12分）如图，四边形ABCD为圆内接四边形，对角线AC、BD交于点E，延长DA、CB交于点F，且∠CAD=60°，DC=DE．
求证：
（1）AB=AF；
（2）A为△BEF的外心（即△BEF外接圆的圆心）．
 
【分析】（1）根据圆内接四边形的性质和三角形的内角和定理进行证明；
（2）根据三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等的性质只需证明AB=AF=AE，根据等腰三角形的性质和判定进行证明．
【解答】证明：（1）∠ABF=∠ADC=120°﹣∠ACD=120°﹣∠DEC
=120°﹣（60°+∠ADE）=60°﹣∠ADE，（4分）
而∠F=60°﹣∠ACF，（6分）
因为∠ACF=∠ADE，（7分）
所以∠ABF=∠F，所以AB=AF．（8分）

（2）四边形ABCD内接于圆，所以∠ABD=∠ACD，（10分）
又DE=DC，所以∠DCE=∠DEC=∠AEB，（12分）
所以∠ABD=∠AEB，
所以AB=AE．（14分）
∵AB=AF，
∴AB=AF=AE，即A是三角形BEF的外心．（16分）
 
【点评】综合运用了圆内接四边形的性质、三角形的内角和定理以及三角形的外心的性质．
　
15．（14分）在平面直角坐标中，边长为1的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点．现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y=x上时停止旋转．旋转过程中，AB边交直线y=x于点M，BC边交x轴于点N（如图1）．
（1）求边AB在旋转过程中所扫过的面积；
（2）设△MBN的周长为p，在旋转正方形OABC的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论；
（3）设MN=m，当m为何值时△OMN的面积最小，最小值是多少？并直接写出此时△BMN内切圆的半径．
 
【分析】（1）S阴=S△OAB+S扇形OBB′﹣S△OAA′﹣S扇形OAA′，根据公式即可求解．
（2）延长BA交y轴于E点，可以证明：△OAE≌△OCN，△OME≌△OMN证得：OE=ON，AE=CN，MN=ME=AM+AE=AM+CN．从而求得：P=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=2．即可求解．
（3）Rt△BMN中，BM2+BN2=MN2，所以（1﹣n）2+（1﹣m+n）2=m2⇒m2﹣mn+2﹣m=0．把这个方程看作关于n的方程，根据一元二次方程有解得条件，即可求得．
【解答】解：（1）如图，S阴=S△OAB+S扇形OBB'﹣S△OA'B′﹣S扇形OAA'
=S扇形OBB′﹣S扇形OAA′= π ﹣ π×12=
 

（2）p值无变化
证明：延长BA交y轴于E点，
在△OAE与△OCN中，
 
∴△OAE≌△OCN（AAS）
∴OE=ON，AE=CN
在△OME与△OMN中，
 
∴△OME≌△OMN（SAS）
∴MN=ME=AM+AE=AM+CN
∴P=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=2；

（3）设AM=n，则BM=1﹣n，CN=m﹣n，BN=1﹣m+n，
∵△OME≌△OMN，
∴S△MON=S△MOE= OA×EM= m
在Rt△BMN中，BM2+BN2=MN2
∴（1﹣n）2+（1﹣m+n）2=m2⇒n2﹣mn+1﹣m=0
∴△=m2﹣4（1﹣m）≥0⇒m≥2 ﹣2或m≤﹣2 ﹣2，
∴当m=2 ﹣2时，△OMN的面积最小，为 ﹣1．
此时n= ﹣1，
则BM=1﹣n=2﹣ ，BN=1﹣m+n=2﹣ ，
∴Rt△BMN的内切圆半径为 =3﹣2 ．
【点评】本题综合运用了扇形的面积公式，全等三角形的判定，三角形的面积公式以及勾股定理的综合应用，难度较大．