2018年中考数学总复习第一编教材知识梳理篇等腰三角形与直角三角形精讲试题

第三节　等腰三角形与直角三角形
河北五年中考命题规律
年份 题号 考查点 考查内容 分值 总分
2017 25 (1) (2) 直角三角形的性质 以动点、平行四边形为背景 ，考查勾股定理 8 8
2016 16 等边三角形的 判定 已知特殊角平分线上一定点，在角两边找两点与定点构成等边三角形 2 2
2015 20 等腰三角形的性质 以等腰三角形为背景，求角度 3 3
2014年未考查
2013 13 等边三角形的性质 以两个等边三角形与正方形结合为背 景，求两角度之和 3 3
命题规律 对于本课时内容，中考中一般设置1道题，分值为2～8分 ，题型涉及选择和解答题．纵观近五年河北中考试题，本课时的常考类型有：(1)等边三角形的相关计算；(2)直角三角形的相关计算；(3)找符合条件的等边三角形.

河北五年中考真题及模拟　 　　　　　 　　　　　 　　　　

 　等腰三角形的性质和相关计算
1．(2016河北中考)如图，∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，且OP＝2.若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有(　D　)
A．1个  B．2个
C．3个  D．3个以上
 (第1题图)
　　　 (第2题图)

2．(2013河北中考)一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3＝50°，则∠1＋∠2＝(　B　)
A．90°  B．100°  C．130°  D．180°
3．(2016秦皇岛二模)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6 cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为(　C　)
A．4 cm  B．3 cm
C．2 cm  D．1 cm
 (第3题图)
　　　 (第4题图)

 　直角三角形的性质、判定及相关计算
4．(2017保定中考模拟)已知：如图，△ABC是等边三角形，四边形BDEF是菱形，其中线段DF的长与DB相等．将菱形BDEF绕点B按顺时针方向旋转．
甲、乙两位同学发现在此旋转过程中，有如下结论．
甲：线段AF与线段CD的长度总相等；
乙：直线AF和直线CD所夹的锐角的度数不变；
那么，你认为(　A　)
A．甲、乙都对  B．乙对甲不对
C．甲对乙不对  D．甲、乙都不对
5．(2016廊坊二模)下列四组线段中，可以构成直角三角形的是(　B　)
A．4，5，6  B．1.5，2，2.5
C．2，3，4  D．1，2，3

6．(2017唐山模拟)如图，△ABC中，D为AB中点，E在AC上， 且BE⊥AC.若DE＝10，AE＝16，则BE的长度为(　C　)
A．10  B．11
C．12  D．13
 (第6题图)
　　　 (第7题图)

7．(2017石家庄中考模拟)如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，且AB＝2，M是边BC上的一个动点，连接AM，P为AM的中点，当M点从点B运动到点C的过程中，P点的运动路线长(　D　)

A．1＋33  B．1－3π3
C.12＋36  D.π3
8．(2016保定育德中学二模)一直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为(　D　)
A．5  B.7
C.5  D．5或7
9．(2017石家庄中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AB＝4，点M是直角边AC上的一个动点，连接BM，并将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到线段BN，连接CN.则在点M运动过程中，线段CN长度的最大值是__4__，最小值是__2__．
 

 ,中考考点清单

 　等腰三角形的性质与判定
1．等腰三角形

定义 有两边相等的三角形是等腰三角形，相等的两边叫腰，第三边为底
性质 (1)等腰三角形两腰相等(即AB＝AC)；
(2)等腰三角形的两底角__相等__(即∠B＝__∠C__)；
(3)等腰(不是等边)三角形是轴对称图形，有一条对称轴；
 
(4)等腰三角形顶角的平分线、底边上的高和底边的中线互相重合；
(5)面积： S△ABC＝12BC•AD

判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形，其中，两个相等的角所对的边相等(简称“__等角对等边__”)
2.等边三角形
定义 三边相等的三角形是等边三角形
性质 (1)等边三角形三边相等(即AB＝BC＝AC)；
(2)等边三角形三角相等，且每一个角都等于__60°__(即∠A＝∠B＝∠C＝__60°__)；
(3)等边三角形内、外心重合；
 
(4)等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴；
(5)面积：S△ABC＝12BC•AD

判定 (1)三边都相等的三角形是等边三角形；
(2)三个角相等的三角形是等边三角形；
(3)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
 　直角三角形的性质与判定
3．直角三角形
定义 有一个角等于90°的三角形叫做直角三角形
性质 (1)直角三角形的两个锐角之和等于__90°__；
 
(2)直角三角形斜边上的__中线__等于斜边的一半(即BD＝12AC)；
(3)直角三角形中__30°__角所对应的直角边等于斜边的一半(即AB＝12AC)；
(4)勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2＋b2＝c2；
(5)在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°
判定 (1)有一个角为90°的三角形是直角三角形；
(2)一条边的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形；
(3)有两个角互余的三角形是直角三角形
4.等腰直角三角形
定义 顶角为90°的等腰三角形是等腰直角三角形
性质 等腰直角三角形的顶角是直角，两底角为45°
判定 (1)用定义判定；
(2)有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形
 

 ,中考重难点突破　 　　　　　 　　　　　 　　　　

 　等腰三角形的相关计算
【例1】在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为50°，则底角∠B＝________.
【解析】由垂直平分线可得∠AED＝90°，在Rt△ADE中由两锐角互余可求∠A，在等腰三角形中由两底角相等，即可求得．在等腰三角形中，只要知道其中一个内角的度数，就能算出其他两个内角的度数，如果题中没有确定这个内角是顶角还是底角，必须分成两种情况来讨论．此题的两种情况如图所示：
 
【答案】70°或20°
 
1．(2017天津中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点，则下列线段的长度等于BP＋EP最小值的是(　B　)
A．BC  B．CE  C．AD  D．AC
 (第1题图)
　　 (第2题图)

2．(2017滨州中 考)如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，且DA＝DC，BD＝BA，则∠B的大小为(　B　)
A．40°  B．36°  C．80°  D．25°
 　等腰三角形、等边三角形的性质与判定
 
【例2】如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E是△ABC内的两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°，若BE＝6 cm，DE＝2 cm，则BC＝________cm.
【解析】如图，延长AD交BC于点M，由AB＝AC，AD是∠BAC的平分线可得AM⊥BC，BM＝MC＝12BC，延长ED交BC于点N，则△BEN是等边三角形，从而求出DN的长，利用在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半，求出MN的长，进而求BM，BC的值．
【答案】8
 
3．(2017台州中考)如图，已知等腰三角形ABC，AB＝AC，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是(　C　)
A．AE＝EC  B．AE＝BE
C．∠EBC＝∠BAC  D．∠EBC＝∠ABE
 (第3题图)
　　 (第4题图)

4．(2017南充中考)如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为(　D　)
A．(1，1)  B．(3，1)
C．(3，3)  D．(1，3)
5．(2017张家口中考模拟)如图所示，在△ABC中，∠BAC＝106°，EF，MN分别是AB，AC的垂直平分线，E，M在BC上，则∠EAM等于(　B　)
A．58°  B．32°  C．36°  D．34°
 (第5题图)
　　 (第6题图)

6．已知：如图，在△ABC中，∠BCD＝12°，∠B＝63°，AD平分∠BAC，CD⊥AD，则∠ACD＝__75°__．
 
【例3】已知：如图，在△ABC中，AD既是△ABC的中线，又是角平分线，求证：△ABC是等腰三角形．
【解析】由已知条件入手，添加辅助线，构造全 等三角形，依据三角形全等的判定之一“边角边”证明两个三角形全等，从而得出结论．
【答案】证明：延长AD到A′，使A′D＝AD，连接A′B.
∵AD是△ABC的中线和角平分线，
∴AD平分∠BAC，BD＝CD，
∴∠BAD＝∠CAD.
在△ADC和△A′DB中，
AD＝A′D，∠ADC＝∠A′DB，DC＝DB，
∴△ADC≌△A′DB，
∴AC＝A′B，∠DAC＝∠DA′B.
∵∠DAB＝∠DAC，
∴∠DAB＝∠DA′B，
∴BA＝BA′.
∵AC＝A′B，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形．
 
7．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB与DC不平行，∠C＝90°，E为CD中点，∠FAE＝∠DAE，点F在直线BC上，求∠AEF的度数．
 
解：延长AE交BC的延长线于点G.
∵AD∥BC，
∴∠D＝∠ECG，
△DAE＝∠G.
∵E为DC中点，
∴DE＝CE，
∴∠ADE≌△GCE，
∴AE＝GE.
∵∠FAE＝∠DAE，
∴∠FAE＝∠G，
∴FA＝FG，
∴∠AEF＝90°.
 　直角三角形的性质、判定和勾股定理
 
【例4】如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，D为BC上任意一点，DF⊥AB于点F，DE⊥AC于点E，M为BC的中点，连接EM，FM，给出以下五个结论：①AF＝CE；②AE＝BF；③△EFM是等腰直角三角形；④S四边形AEMF＝12S△ABC；⑤EF＝BM＝MC.当点D在BC上运动时(点D不与B，C重合)，上述结论中始终正确的有(　　　)
A．2个  B．3个
C．4个  D．5个
【解析】连接AM，易证AE＝DF＝BF，AF＝DE＝CE，△AME≌△BMF，∴ME＝MF，∠AME＝∠BMF，∴△EMF是等腰直角三角形．S四边形AEMF＝S△AFM＋S△AEM＝S△AFM＋S△BFM＝S△ABM＝12S△ABC，但是EF与BM不一定相等，只有四边形AFME为矩形时，EF＝BM.
【答案】C
 
8．( 株洲中考)如图，以直角三角形a，b，c为边，向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足S1＋S2＝S3的图形个数有(　D　)
 
A．1个  B．2个  C．3个  D．4个
9．(2017苏州中考)如图，在一笔直的沿湖道路l上有A，B两个游船码头，观光岛屿C在 码头A北偏东60°的方向，在码头B北偏西45°的方向，AC＝4 km.游客小张准备从观光岛屿C乘船沿CA回到码头A或沿CB回到码头B，设开往码头A，B的游船速度分别为v1，v2，若回到A，B所用时间相等，则v1v2＝__2__．(结果保留根号)
 
10．如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝5，BC＝12，AD＝9，CD＝510，求四边形ABCD的面积．
 
解：连接AC.
∵AB⊥BC，∴∠B＝90 °，
∴AC＝AB2＋BC2＝52＋122＝13.
∵在△ACD中，
AC2＋AD2＝13 2＋92＝169＋81＝250，
CD2＝(510)2＝250，
∴AC2＋AD2＝CD2，∴∠DAC＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD
＝12BC•AB＋12AD•AC
＝12×12×5＋12×9×13
＝1772.