初中数学《第5章不等式》竞赛专题复习（人教版附答案）

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w.5 Y k J.COm 第5章  不等式
§5.1  一元一次不等式（组）
5.1.1★已知 ，且 ，试比较 与 的大小.
解析  首先解关于 的方程得 .将 代入不等式得 ，即 .又因为 ，所以
5.1.2★解关于 的不等式 .
解析  由题设知 ，去分母并整理得
 .
当 ，即 时， ；
当 ，即 时，无解；
当 ，即 时， .
评注  对含有字母系数的不等式的解，也要分情况讨论.
5.1.3★★已知不等式 的解为 ，求不等式 的解.
解析  已知不等式为 .由题设知
 
所以    
由 ，可得 ，从而 ， .
于是不等式 等价于
 ，
即 ，解得 .
所求的不等式解为 .
5.1.4★★如果关于 的不等式
 
的解集为 ，求关于 的不等式 的解集.
解析  由已知得
 ，①
 .②
由已知①和②的解集相同，所以
 
解得  
从而 的解集是 .
5.1.5★求不等式
 
的正整数解.
解析  由原不等式可得 ，所以 是原不等式的解.因为要求正整数解，所以原不等式的正整数解为 ，2，3.
5.1.6★★如果不等式组 的整数解仅为1、2、3，那么适合这个不等式组的整数 、 的有序数对（ ， ）共有多少对？
解析  由原不等式组可解得 .
如图所示，在数轴上画出这个不等式组解集的可能范围，可得
 
 
即  
所以， 1，2，…，9共 个， ，26，…，32共 个，于是有序数对（ ， ）共有 个.
5.1.7★★★设 、 是正整数，求满足 ，且 最小的分数 .
解析  欲求 的最小值，只需将 放入一个不等式，然后估计出 的下界，这里要用到整数的离散性，即若整数 、 满足 ，则 .
原不等式等价于
 
即  
所以    
故    ，
解得    .
又分数 满足 ，故 最小且满足题意的分数是 .
5.1.8★已知 ， ，求 的最大值和最小值.
解析  因为 ， ，所以 的最大值为 ，最小值为 ； 的最大值为 ，最小值为 .
故 的最大值为 ； 的最小值为 .
5.1.9★★求同时满足 ， 和 的 的最大值及最小值.
解析  由 和 ，得
 ， .
再由 得， ，解此不等式，得 .
所以 的最大值为 ，最小值为 .
5.1.10★求适合 ，且 满足方程 的 取值范围.
解析   ，所以 .于是
 ， .
故 的取值范围是 .
5.1.11★★当 、 、 为非负数时， ， ，求 的最大值和最小值.
解析  由 解得
因为 、 、 均为非负数.所以，从上面可得 .
 
 .
 .
所以 的最大值是 ， 的最小值是 .
§5.2  含绝对值的不等式（组）
5.2.1★（1）解不等式 ；
（2）解不等式 .
解析  根据绝对值的非负性，易知（1）无解，（2）的解集为全体实数.
5.2.2★★解不等式 .
解析  原不等式的零点为 、 .根据零点的情况分类讨论.
（1）当 时，原不等式化为
 ，
解之，得 .
所以，此时不等式的解为 .
（2）当 时，原不等式化为
 ，
解之，得 .
所以，此时不等式的解为 .
（3）当 时，原不等式化为
 ，
解之，得 .
所以，此时不等式的解为 .
综上，原不等式的解为 或 .
评注  解与绝对值有关的不等式的关键一点是根据绝对值的定义，去掉不等式中的绝对值符号.分类讨论是去绝对值符号的另一种重要方法.
5.2.3★解不等式 .
解析1  如图，分别用 、 两点代表 和 .
 表示某点 （ 所对应的点）到 点和 点的距离差.又当 时， 点到 、 两点的距离差恰好为 .
 
当点 靠近点 时， 到 、 两点的距离差变小，所以原不等式的解为
 .
解析2  因为 、2分别是 和 的零点，于是分三种情况讨论：
（1）当 时，原不等式变为
 ，
此式恒成立，故 是原不等式的解.
（2）当 时，原不等式变为
 ，
解得     .
所以， 是原不等式的解.
（3）若 ，原不等式变为
 ，
即 ，此不等式无解.
综上所述，原不等式的解为 .
5.2.4★★解不等式 .
解析  原不等式等价于
 ，①
或    .   ②
①的解为 ；②的解为 .
所以，原不等式的解为 或 .
5.2.5★解不等式：
 .
解析  注意 ，整体分解.
由题意得
 ，
即     或 ，
而由 得
 或 ，
由 得
 .
所以，原不等式的解为
 或 或 .
5.2.6★★解不等式组：
 
解析  由 得 或 .
由 得 .
于是原不等式组的解就是
 
即  
 或 .
5.2.7★★ 取何值时，不等式
 
无实数解？
解法1  欲使不等式 无实数解，关键是求出 的最小值.
因 、 的零点分别是 、 .
当 时， .当 时， 有最小值 ；
当 时， ，最小值及最大值都是 ；
当 时， ，无最小值.
故 的最小值为 .
欲使不等式 无实数解，则 .
解法2  由 ，得
 ，
故欲使不等式 无实数解，只需 即可.
5.2.8★★若不等式 有解，求 的取值范围.
解析1  利用不等式性质：
 ，
又 ，
可得 .
解析2  根据绝对值的几何意义，因为 、 分别表示数轴上点 到点 和 的距离，所以 表示数轴上某点到 ： 和 ： 的距离和.从图可见，不论 在 点左边或者 点右边时， 到 、 点距离和至少为 ；当 在 两点之间时， 到 、 点距离和为 .所以 .
 
评注  解绝对值不等式常用分类讨论方法
（1）当 时，原不等式化为 ；
（2）当 时，原不等式化为 ；
（3）当 时，原不等式化为 .
综上所述， .
本题中，两个绝对值符号中未知数的系数相同，所以我们利用了绝对值的几何意义.
5.2.9★已知 且 ，求 的取值范围.
解析  整理可得 .
因为 ，所以
 ，
即      .
（1）当 时， ，解之得 .
（2）当 时， ，解之得 .
综上， 的取值范围为 或者 .
5.2.10★解不等式 .
解析1  因为
 ，
所以
 或 ，
即 或者 或者 .
解析2  考虑函数 .注意到对任意实数 ，有 .从函数图象来看，这个函数的图象关于 轴对称，即只需作出 时的图象，再把函数图象关于 轴作对称即可.
如图，可知，原不等式的解为使得图象在 轴上方的 的取值集合：
 或者 或者 .
 
评注  当我们从函数图象的角度去解不等式时，有两点需要引起读者注意： 表示的函数图象是 在 轴正向部分图象及其与关于 轴翻折； 的图象是把 在 轴下方的图象关于 轴翻折后的图象.由这两点，利用数形结合的方法，是比较巧的.
5.2.11★★解不等式 .
解析  （1）当 ，即 或 时，原不等式变形为
 .
解不等式组，得
 或 .
（2）当 ，即 时，原不等式变形为
 .
此时，不等式组无解.
综上，原不等式的解为
 或 .
（本题从几何解释为使 的图象在 图象上方的 的取值范围.如图.）
 
5.2.12★★已知 ， ，且
 ，
求 的最小值和最大值.
解析  解题的关键是把绝对值符号去掉，必要时可以分类讨论.
因为 ， ，所以
 ， .
所以 .
又 ，故 ，从而 .
当 时，有 .
因为 ，所以 ，此时 .
当 时，有 .
同样，当 时， ，即 .
综上所述， .
又当 时， ，当 时， ，所以， 的最值是 ，最大值是 .
5.2.13★★实数 、 、 满足不等式 ， ， .求证：
 .
解析1  若 、 、 中有一个为零时，设 ，则 ，所以， ，故 .下面可设 、 、 均不等于零.
（1）当 、 、 全为正数时，则
 ， ， ，
这不可能.
（2）当 、 、 为二正一负时，不妨设 ， ， .则由 ，得 ，所以 .
又有 得： ，所以 ，从而
 .
（3）当 、 、 为一正二负时，不妨设 ， ， ，于是由 ，得 ，所以
 .
又有 得： ，所以 ，从而
 .
（4）当 、 、 全为负数时，于是由条件得
 ， ， ，所以 ，所以 ，矛盾.
综上所述，得 .
解析2  把题设的 个不等式两边平方后相加，得
 ，
故    ，
从而    .
5.2.14★★★★实数 、 、 满足 ， ， .求最大的实数 ，使得不等式 恒成立.
解析  当 ， 时，则实数 、 、 满足题设条件，此时 .
下面证明：不等式 对满足题设条件的实数 、 、 恒成立.由已知条件知， 、 、 都不等于 ，且 .因为
 ， ，
所以 .
由根与系数的关系知， 、 是一元二次方程
 
的两个实数根，于是
 ，
故    .
所以
 .
5.2.15★★★已知
（1） ；
（2）当 时，满足 ；
（3）当 时， 有最大值 .
求常数 、 、 .
解析  由（1）知 为开口向上的抛物线，由（1）、（3）知
 .①
由（2）知   ，  ②
 .   ③
由①、②知   .④
由③、④得 .
故 时， 达到最小值.因此，
 ， .
由①得 .
故   ， ， .
5.2.16★★★证明
 ，
其中 { ， ， }表示 、 、 这三个数中的最大者.
解析  欲证的等式中含有三个绝对值符号，且其中一个在另一个内，要把绝对值去掉似乎较为困难，但等式的另一边对我们有所提示，如果 为 、 、 中的最大者，即证 ，依次再考虑 、 是它们中的最大值便可证得.
（1）当 ， 时，
 .
（2）当 ， 时，
 .
（3）当 ， 时，因为
 { ， } ，
所以
 .
从而   { ， ， }.
§5.3  一元二次不等式
5.3.1★设 为参数，解关于 的一元二次不等式
 .
解析  分解因式
 .
（1）若 ，解为 ；
（2）若 ，解为 ；
（3）若 ，原不等式变成 ，无解.
5.3.2★★设 为参数，解关于 的一元二次不等式
 .
解析  （1） 时，原不等式为 ，解为 .
（2） 时，分解因式得
 .
①若 ，则
 .
（i） ，即 时，解为 .
（ii） ，即 时，解为 .
（iii） ，即 时，不等式无解.
②若 ，则
 ，
解为 及 .
5.3.3★★若一元二次不等式 的解是 ，求不等式 的解.
解析1  因一元二次不等式 的解是 ，所以，不等式 与 等价.即 （ ）与 等价.所以
 即
故不等式 ，即 ，且 .
化为 ，解得 ，或 .
解析2  因一元二次不等式 的解是 ，所以 的根是1，2，且 .
由韦达定理，得
故不等式 的解是 ，或 .
5.3.4★★★欲使不等式 与不等式 无公共解，求 的取值范围.
解析  不等式 的解是 .
不等式
 ，
即   .  ①
（1）当 时，不等式为 ，即 ，符合题意；
（2）当 ，即 时，不等式①之解为 ，符合题意；
（3）当 ，即 时，我们分两种情况讨论：
若 ，即 时，不等式①之解为 ，或 ，不合题意；
若 ，即 时，不等式①之解为 ，或 ，欲使不等式 与不等式 无公共解，则须 ，从而 .
综上所述，欲使不等式 与不等式 无公共解， 的取值范围是
5.3.5★★对一切实数 ，不等式
 
恒成立，求 的值.
解析  由于不等式对一切 恒成立，故 应该满足
 
即
 
所以    .
5.3.6★★设有不等式
 ，
试求对于满足 的一切 成立的 的取值范围.
解析  令 ， ，则在 上 能取到的最小值为 ，最大值为 ，从而总有
 
即   
所以
 或
于是 的取值范围为 .
5.3.7★解不等式
 .
解析  原不等式可化为
 ，
即   .    ①
因为 ，所以①式等价于
 ，
所以   或 .
5.3.8★★解不等式
 .
解析  首先，由
得 .将原不等式变形为
 .
由于上式两边均非负，故两边平方后，整理得
 ，
所以 ，即 ，并且
 ，
所以   ，
 或 .
综上可得，原不等式的解为 .
5.3.9★求不等式 的整数解的个数.
解析  不等式 等价于不等式组
 
即
 
解 得 或 ；解 得 .
故原不等式组的解为 或 . 的整数解为 ，3，4，5共四个.
5.3.10★★实数 、 、 满足
 .
证明： .
解析  要证 ，即证
 ，
联想到一元二次方程根的判别式，进而构造符合条件的二次函数，通过对函数图象与性质的研究使问题得以解决.
设辅助函数 ，令 ，得函数值 ；令 ，得函数值 .
因为 ，所以 .
这说明，辅助函数 上两点 、 分布在 轴的两侧，由此可见抛物线与 轴有两个交点，也就是说方程 有两个不相等的实数根.
因此 ，故
 .
评注  有些数学问题，可以借助函数，利用对函数图象与性质的研究，将一些抽象的数量关系通过函数图象形象直观地反映出来，这种数形结合的思想非常重要.
5.3.11★★★满足下列两个条件：
（1）对所有正整数 ， ；
（2）存在正整数 ，使
 
的正整数 的个数有几个？
解析  先求满足条件（1）的正整数 .由
 
对所有正整数 都成立，则 不小于 的最大值，故
 .
再求满足条件（2）的正整数 .
 ，
 .
由于 是正整数，且大于 ，故此时方程 的两根 、 （均大于 ），满足
 ，
即 ，从而，当 时，必存在正整数 ，使得
 .
所以，满足条件（1）、（2）的正整数 有
 （个）.
5.3.12★★★设 为实数，解不等式 .
解析  （1）若 ，由原不等式，得
 
此为矛盾不等式组，无解.
（2）若 ，则有
 
由①，得   .
由②，得
 ，
 .
此时又分两种情形：
当 时， ，则不等式①②无解；
当 时， ，注意到
 .
此时不等式②的解为
 .
综上所述，当 时，原不等式才有解，此时不等式的解集为
 .
5.3.13★★★设 ，解不等式
 .①
解析  因为 ，①的左端非负，因此 .
下面分两种情形讨论.
（1） 时，①式左右两边平方得
 ，
整理得
 .②
因为 ，所以 时， ，②对一切 成立. 时， ， 有实根，而且两根的积为 ，和为非负数 ，所以两根均为正.②的解为
 
及
 .
（2） 时，①式变为
 .  ③
③式两边平方整理得
 .  ④
因为 ，所以 有两个不相等的实数根，由韦达定理知，两根均为负.由于两根积为 ，较小的根小于 ，较大的根大于 ，所以④的解为
 .
综合（1）、（2），原不等式的解为：
当 时，
 
及   ；
当 时，
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