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莲山 课件 w w
w.5 Y k J.COm 第5章 不等式
§5.1 一元一次不等式(组)
5.1.1★已知 ,且 ,试比较 与 的大小.
解析 首先解关于 的方程得 .将 代入不等式得 ,即 .又因为 ,所以
5.1.2★解关于 的不等式 .
解析 由题设知 ,去分母并整理得
.
当 ,即 时, ;
当 ,即 时,无解;
当 ,即 时, .
评注 对含有字母系数的不等式的解,也要分情况讨论.
5.1.3★★已知不等式 的解为 ,求不等式 的解.
解析 已知不等式为 .由题设知
所以
由 ,可得 ,从而 , .
于是不等式 等价于
,
即 ,解得 .
所求的不等式解为 .
5.1.4★★如果关于 的不等式
的解集为 ,求关于 的不等式 的解集.
解析 由已知得
,①
.②
由已知①和②的解集相同,所以
解得
从而 的解集是 .
5.1.5★求不等式
的正整数解.
解析 由原不等式可得 ,所以 是原不等式的解.因为要求正整数解,所以原不等式的正整数解为 ,2,3.
5.1.6★★如果不等式组 的整数解仅为1、2、3,那么适合这个不等式组的整数 、 的有序数对( , )共有多少对?
解析 由原不等式组可解得 .
如图所示,在数轴上画出这个不等式组解集的可能范围,可得
即
所以, 1,2,…,9共 个, ,26,…,32共 个,于是有序数对( , )共有 个.
5.1.7★★★设 、 是正整数,求满足 ,且 最小的分数 .
解析 欲求 的最小值,只需将 放入一个不等式,然后估计出 的下界,这里要用到整数的离散性,即若整数 、 满足 ,则 .
原不等式等价于
即
所以
故 ,
解得 .
又分数 满足 ,故 最小且满足题意的分数是 .
5.1.8★已知 , ,求 的最大值和最小值.
解析 因为 , ,所以 的最大值为 ,最小值为 ; 的最大值为 ,最小值为 .
故 的最大值为 ; 的最小值为 .
5.1.9★★求同时满足 , 和 的 的最大值及最小值.
解析 由 和 ,得
, .
再由 得, ,解此不等式,得 .
所以 的最大值为 ,最小值为 .
5.1.10★求适合 ,且 满足方程 的 取值范围.
解析 ,所以 .于是
, .
故 的取值范围是 .
5.1.11★★当 、 、 为非负数时, , ,求 的最大值和最小值.
解析 由 解得
因为 、 、 均为非负数.所以,从上面可得 .
.
.
所以 的最大值是 , 的最小值是 .
§5.2 含绝对值的不等式(组)
5.2.1★(1)解不等式 ;
(2)解不等式 .
解析 根据绝对值的非负性,易知(1)无解,(2)的解集为全体实数.
5.2.2★★解不等式 .
解析 原不等式的零点为 、 .根据零点的情况分类讨论.
(1)当 时,原不等式化为
,
解之,得 .
所以,此时不等式的解为 .
(2)当 时,原不等式化为
,
解之,得 .
所以,此时不等式的解为 .
(3)当 时,原不等式化为
,
解之,得 .
所以,此时不等式的解为 .
综上,原不等式的解为 或 .
评注 解与绝对值有关的不等式的关键一点是根据绝对值的定义,去掉不等式中的绝对值符号.分类讨论是去绝对值符号的另一种重要方法.
5.2.3★解不等式 .
解析1 如图,分别用 、 两点代表 和 .
表示某点 ( 所对应的点)到 点和 点的距离差.又当 时, 点到 、 两点的距离差恰好为 .
当点 靠近点 时, 到 、 两点的距离差变小,所以原不等式的解为
.
解析2 因为 、2分别是 和 的零点,于是分三种情况讨论:
(1)当 时,原不等式变为
,
此式恒成立,故 是原不等式的解.
(2)当 时,原不等式变为
,
解得 .
所以, 是原不等式的解.
(3)若 ,原不等式变为
,
即 ,此不等式无解.
综上所述,原不等式的解为 .
5.2.4★★解不等式 .
解析 原不等式等价于
,①
或 . ②
①的解为 ;②的解为 .
所以,原不等式的解为 或 .
5.2.5★解不等式:
.
解析 注意 ,整体分解.
由题意得
,
即 或 ,
而由 得
或 ,
由 得
.
所以,原不等式的解为
或 或 .
5.2.6★★解不等式组:
解析 由 得 或 .
由 得 .
于是原不等式组的解就是
即
或 .
5.2.7★★ 取何值时,不等式
无实数解?
解法1 欲使不等式 无实数解,关键是求出 的最小值.
因 、 的零点分别是 、 .
当 时, .当 时, 有最小值 ;
当 时, ,最小值及最大值都是 ;
当 时, ,无最小值.
故 的最小值为 .
欲使不等式 无实数解,则 .
解法2 由 ,得
,
故欲使不等式 无实数解,只需 即可.
5.2.8★★若不等式 有解,求 的取值范围.
解析1 利用不等式性质:
,
又 ,
可得 .
解析2 根据绝对值的几何意义,因为 、 分别表示数轴上点 到点 和 的距离,所以 表示数轴上某点到 : 和 : 的距离和.从图可见,不论 在 点左边或者 点右边时, 到 、 点距离和至少为 ;当 在 两点之间时, 到 、 点距离和为 .所以 .
评注 解绝对值不等式常用分类讨论方法
(1)当 时,原不等式化为 ;
(2)当 时,原不等式化为 ;
(3)当 时,原不等式化为 .
综上所述, .
本题中,两个绝对值符号中未知数的系数相同,所以我们利用了绝对值的几何意义.
5.2.9★已知 且 ,求 的取值范围.
解析 整理可得 .
因为 ,所以
,
即 .
(1)当 时, ,解之得 .
(2)当 时, ,解之得 .
综上, 的取值范围为 或者 .
5.2.10★解不等式 .
解析1 因为
,
所以
或 ,
即 或者 或者 .
解析2 考虑函数 .注意到对任意实数 ,有 .从函数图象来看,这个函数的图象关于 轴对称,即只需作出 时的图象,再把函数图象关于 轴作对称即可.
如图,可知,原不等式的解为使得图象在 轴上方的 的取值集合:
或者 或者 .
评注 当我们从函数图象的角度去解不等式时,有两点需要引起读者注意: 表示的函数图象是 在 轴正向部分图象及其与关于 轴翻折; 的图象是把 在 轴下方的图象关于 轴翻折后的图象.由这两点,利用数形结合的方法,是比较巧的.
5.2.11★★解不等式 .
解析 (1)当 ,即 或 时,原不等式变形为
.
解不等式组,得
或 .
(2)当 ,即 时,原不等式变形为
.
此时,不等式组无解.
综上,原不等式的解为
或 .
(本题从几何解释为使 的图象在 图象上方的 的取值范围.如图.)
5.2.12★★已知 , ,且
,
求 的最小值和最大值.
解析 解题的关键是把绝对值符号去掉,必要时可以分类讨论.
因为 , ,所以
, .
所以 .
又 ,故 ,从而 .
当 时,有 .
因为 ,所以 ,此时 .
当 时,有 .
同样,当 时, ,即 .
综上所述, .
又当 时, ,当 时, ,所以, 的最值是 ,最大值是 .
5.2.13★★实数 、 、 满足不等式 , , .求证:
.
解析1 若 、 、 中有一个为零时,设 ,则 ,所以, ,故 .下面可设 、 、 均不等于零.
(1)当 、 、 全为正数时,则
, , ,
这不可能.
(2)当 、 、 为二正一负时,不妨设 , , .则由 ,得 ,所以 .
又有 得: ,所以 ,从而
.
(3)当 、 、 为一正二负时,不妨设 , , ,于是由 ,得 ,所以
.
又有 得: ,所以 ,从而
.
(4)当 、 、 全为负数时,于是由条件得
, , ,所以 ,所以 ,矛盾.
综上所述,得 .
解析2 把题设的 个不等式两边平方后相加,得
,
故 ,
从而 .
5.2.14★★★★实数 、 、 满足 , , .求最大的实数 ,使得不等式 恒成立.
解析 当 , 时,则实数 、 、 满足题设条件,此时 .
下面证明:不等式 对满足题设条件的实数 、 、 恒成立.由已知条件知, 、 、 都不等于 ,且 .因为
, ,
所以 .
由根与系数的关系知, 、 是一元二次方程
的两个实数根,于是
,
故 .
所以
.
5.2.15★★★已知
(1) ;
(2)当 时,满足 ;
(3)当 时, 有最大值 .
求常数 、 、 .
解析 由(1)知 为开口向上的抛物线,由(1)、(3)知
.①
由(2)知 , ②
. ③
由①、②知 .④
由③、④得 .
故 时, 达到最小值.因此,
, .
由①得 .
故 , , .
5.2.16★★★证明
,
其中 { , , }表示 、 、 这三个数中的最大者.
解析 欲证的等式中含有三个绝对值符号,且其中一个在另一个内,要把绝对值去掉似乎较为困难,但等式的另一边对我们有所提示,如果 为 、 、 中的最大者,即证 ,依次再考虑 、 是它们中的最大值便可证得.
(1)当 , 时,
.
(2)当 , 时,
.
(3)当 , 时,因为
{ , } ,
所以
.
从而 { , , }.
§5.3 一元二次不等式
5.3.1★设 为参数,解关于 的一元二次不等式
.
解析 分解因式
.
(1)若 ,解为 ;
(2)若 ,解为 ;
(3)若 ,原不等式变成 ,无解.
5.3.2★★设 为参数,解关于 的一元二次不等式
.
解析 (1) 时,原不等式为 ,解为 .
(2) 时,分解因式得
.
①若 ,则
.
(i) ,即 时,解为 .
(ii) ,即 时,解为 .
(iii) ,即 时,不等式无解.
②若 ,则
,
解为 及 .
5.3.3★★若一元二次不等式 的解是 ,求不等式 的解.
解析1 因一元二次不等式 的解是 ,所以,不等式 与 等价.即 ( )与 等价.所以
即
故不等式 ,即 ,且 .
化为 ,解得 ,或 .
解析2 因一元二次不等式 的解是 ,所以 的根是1,2,且 .
由韦达定理,得
故不等式 的解是 ,或 .
5.3.4★★★欲使不等式 与不等式 无公共解,求 的取值范围.
解析 不等式 的解是 .
不等式
,
即 . ①
(1)当 时,不等式为 ,即 ,符合题意;
(2)当 ,即 时,不等式①之解为 ,符合题意;
(3)当 ,即 时,我们分两种情况讨论:
若 ,即 时,不等式①之解为 ,或 ,不合题意;
若 ,即 时,不等式①之解为 ,或 ,欲使不等式 与不等式 无公共解,则须 ,从而 .
综上所述,欲使不等式 与不等式 无公共解, 的取值范围是
5.3.5★★对一切实数 ,不等式
恒成立,求 的值.
解析 由于不等式对一切 恒成立,故 应该满足
即
所以 .
5.3.6★★设有不等式
,
试求对于满足 的一切 成立的 的取值范围.
解析 令 , ,则在 上 能取到的最小值为 ,最大值为 ,从而总有
即
所以
或
于是 的取值范围为 .
5.3.7★解不等式
.
解析 原不等式可化为
,
即 . ①
因为 ,所以①式等价于
,
所以 或 .
5.3.8★★解不等式
.
解析 首先,由
得 .将原不等式变形为
.
由于上式两边均非负,故两边平方后,整理得
,
所以 ,即 ,并且
,
所以 ,
或 .
综上可得,原不等式的解为 .
5.3.9★求不等式 的整数解的个数.
解析 不等式 等价于不等式组
即
解 得 或 ;解 得 .
故原不等式组的解为 或 . 的整数解为 ,3,4,5共四个.
5.3.10★★实数 、 、 满足
.
证明: .
解析 要证 ,即证
,
联想到一元二次方程根的判别式,进而构造符合条件的二次函数,通过对函数图象与性质的研究使问题得以解决.
设辅助函数 ,令 ,得函数值 ;令 ,得函数值 .
因为 ,所以 .
这说明,辅助函数 上两点 、 分布在 轴的两侧,由此可见抛物线与 轴有两个交点,也就是说方程 有两个不相等的实数根.
因此 ,故
.
评注 有些数学问题,可以借助函数,利用对函数图象与性质的研究,将一些抽象的数量关系通过函数图象形象直观地反映出来,这种数形结合的思想非常重要.
5.3.11★★★满足下列两个条件:
(1)对所有正整数 , ;
(2)存在正整数 ,使
的正整数 的个数有几个?
解析 先求满足条件(1)的正整数 .由
对所有正整数 都成立,则 不小于 的最大值,故
.
再求满足条件(2)的正整数 .
,
.
由于 是正整数,且大于 ,故此时方程 的两根 、 (均大于 ),满足
,
即 ,从而,当 时,必存在正整数 ,使得
.
所以,满足条件(1)、(2)的正整数 有
(个).
5.3.12★★★设 为实数,解不等式 .
解析 (1)若 ,由原不等式,得
此为矛盾不等式组,无解.
(2)若 ,则有
由①,得 .
由②,得
,
.
此时又分两种情形:
当 时, ,则不等式①②无解;
当 时, ,注意到
.
此时不等式②的解为
.
综上所述,当 时,原不等式才有解,此时不等式的解集为
.
5.3.13★★★设 ,解不等式
.①
解析 因为 ,①的左端非负,因此 .
下面分两种情形讨论.
(1) 时,①式左右两边平方得
,
整理得
.②
因为 ,所以 时, ,②对一切 成立. 时, , 有实根,而且两根的积为 ,和为非负数 ,所以两根均为正.②的解为
及
.
(2) 时,①式变为
. ③
③式两边平方整理得
. ④
因为 ,所以 有两个不相等的实数根,由韦达定理知,两根均为负.由于两根积为 ,较小的根小于 ,较大的根大于 ,所以④的解为
.
综合(1)、(2),原不等式的解为:
当 时,
及 ;
当 时,
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