2017年德州市中考数学二模试卷（附答案）

山东省德州市2017年中考数学二模试卷（解析版）
　
一、选择题（共15小题，每小题3分，满分45分）
1．下列各式中，正确的是（　　）
A．a5+a3=a8 B．a2•a3=a6 C．（﹣3a2）3=﹣9a6 D．
【分析】分别根据合并同类项、同底数幂的乘法法则、幂的乘方与积的乘方法则、负整数指数幂的运算法则分别计算出各选项即可．
【解答】解：A、由于a5和a3不是同类项，故不能合并，故本选项错误；
B、根据同底数幂的乘法法则可知a2•a3=a5，故本选项错误；
C、幂的乘方与积的乘方法则可知（﹣3a2）3=﹣27a6，故本选项错误；
D、由负整数指数幂的运算法则可知 =9，故本选项正确．
故选D．
【点评】本题考查的是合并同类项、同底数幂的乘法法则、幂的乘方与积的乘方法则、负整数指数幂的运算法则等知识，熟知以上知识是解答此题的关键．
　
2．下列命题中，真命题是（　　）
A．有两边相等的平行四边形是菱形
B．有一个角是直角的四边形是矩形
C．四个角相等的菱形是正方形
D．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
【分析】根据菱形的判定方法对A进行判定；根据矩形的判定方法对B进行判定；根据正方形的判定方法对C、D进行判定．
【解答】解：A、两邻边相等的平行四边形是菱形，所以A选项错误；
B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以B选项错误；
C、四个角相等的菱形是正方形，所以C选项正确；
D、两条对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，所以D选项错误．
故选C．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
　
3．已知不等边三角形的一边等于5，另一边等于3，若第三边长为奇数，则周长等于（　　）
A．13 B．11 C．11，13或15 D．15
【分析】已知两边，则第三边的长度应是大于两边的差，而小于两边的和，这样就可求出第三边长的范围；再根据x为奇数，可知三角形的周长．
【解答】解：设第三边为c，
根据题意可得：
2＜c＜8，
又知第三边边长为奇数，
即c=3，5，7，
又知三角形是不等边三角形，
故c=7，
则三角形的周长为3+5+7=15，
故选D．
【点评】本题考查三角形三边关系，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．还要注意奇数这一条件．
　
4．下列根式是最简二次根式的是（　　）
A．  B．  C．  D．
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【解答】解：A、 符合最简二次根式的两个条件，故本选项正确；
B、 被开方数含分母，不是最简二次根式，故本选项错误；
C、 被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项错误；
D、 被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项错误．
故选A．
【点评】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
　
5．直线 y=x﹣1与坐标轴交于A、B两点，点C在x轴上，若△ABC为等腰三角形且S△ABC= ，则点C的坐标为（　　）
A．、（0，0 ） B．（1﹣ ，0）或（ 1，0）
C．、（  +1，0 ） D．、（﹣ ﹣1，0）或（﹣ +1，0）
【分析】由题意可得AC边上的高为BO=1，所以要使S△ABC= ，则AC一定等于 ，在RT△AOB中，AB= = ，从而可得AC=AB，找到点C满足AC= 即可．
【解答】
解：∵函数解析式为：y=x﹣1，
故可得点A坐标为（1，0），点B坐标为（0，﹣1），
在Rt△AOB中，AB= = ，
又∵AC边上的高为BO=1，S△ABC= ，
∴只需满足AC= 即可，
①当点C在x轴左端时可得点C坐标为：（1﹣ ，0）；
②当点C在x轴右端时，可得点C坐标为：（1+ ，0）．
故点C的坐标为：（1﹣ ，0）或（1+ ，0）．
故选B．
【点评】此题考查了一次函数的综合题，涉及了等腰三角形的性质，解答本题的关键是根据AC边上的高为1，确定AC= ，注意不要漏解，有一定难度．
　
6．在函数 的图象上有三点A1（x1，y1）、A2（x2，y2）、A3（x3，y3），若x1＜0＜x2＜x3，则下列正确的是（　　）
A．y1＜0＜y2＜y3 B．y2＜y3＜0＜y1 C．y2＜y3＜y1＜0 D．0＜y2＜y1＜y3
【分析】根据反比例函数图象的性质，点A1在第二象限，y1＞0，所以，A2、A3在第四象限，因为在每个象限内，y随x的增大而增大，所以y2＜y3．
【解答】解：∵k=﹣ ＜0，
∴点A1在第二象限，点A2、A3在第四象限，如图，
y2＜y3＜0＜y1．
故选B．
 
【点评】本题考查了由反比例函数图象的性质判断函数图象上点的坐标特征，同学们应重点掌握．
　
7．函数y=  中自变量x的取值范围是（　　）
A．1＜x＜2 B．1≤x≤2 C．x＞1 D．x≥1
【分析】根据二次根式有意义，被开方数大于等于0列不等式求解即可．
【解答】解：由题意得，x﹣1≥0，
解得x≥1．
故选D．
【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
　
8．圆锥的轴截面是（　　）
A．梯形 B．等腰三角形 C．矩形 D．圆
【分析】根据圆锥的形状特点判断即可．
【解答】解：圆锥的轴垂直于底面且经过圆锥的底面的圆心，因此圆锥的轴与将轴截面分成了两个全等的三角形，
因此，轴截面应该是等腰三角形．故选B．
【点评】截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．对于这类题，最好是动手动脑相结合，亲自动手做一做，从中学会分析和归纳的思想方法．
　
9．如图可以看作是一个等腰直角三角形旋转若干次而生成的，则每次旋转的度数可以是（　　）
 
A．90° B．60° C．45° D．30°
【分析】根据旋转的性质，观察图形，中心角是由8个度数相等的角组成，结合周角是360°求得每次旋转的度数．
【解答】解：∵中心角是由8个度数相等的角组成，
∴每次旋转的度数可以为360°÷8=45°．
故选C．
【点评】本题把一个周角是360°和图形的旋转的特点结合求解．注意结合图形解题的思想．
　
10．一个等腰三角形的顶角是120°，底边上的高是1cm，那么它的周长是（　　）
A．（2 ）cm B．2（2 ）cm C．  cm D．2 cm
【分析】根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠C，根据直角三角形的性质求出AC，根据勾股定理计算即可．
【解答】解：∵∠BAC=120°，AB=AC，
∴∠C=30°，
∴AC=2AD=2，
∴CD= ，
则BC=2 ，
∴三角形的周长为2+2+2 =2（2 ）cm，
故选：B．
 
【点评】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
　
11．下列命题正确的个数是（　　）
①等腰三角形的腰长大于底边长；
②三条线段a、b、c，如果a+b＞c，那么这三条线段一定可以组成三角形；
③等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是底边上的高；
④面积相等的两个三角形全等．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】根据三角形三边关系以及轴对称图形的性质和全等三角形的性质分别判断得出即可．
【解答】解：①等腰三角形腰长大于底边，此选项不正确；
②三条线段a、b、c，如果a+b＞c，则这三条线段不一定可以组成三角形，c必须大于两边之差，此选项不正确；
③等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是底边上的高所在直线，此选项不正确；
④面积相等的两三角形不一定全等，故此选项错误．
故正确的有0个．
故选：A．
【点评】此题主要考查了命题与定理，熟练掌握相关定理是解题关键．
　
12．直角梯形的一个内角为120°，较长的腰为6cm，有一底边长为5cm，则这个梯形的面积为（　　）
A．   cm2 B．   cm2
C．25 cm2 D．   cm2或  cm2
【分析】根据“直角梯形的一个内角为120°，较长的腰为6cm”可求得直角梯形的高为6×sin60°=3 ，由于一底边长为5cm不能确定是上底还是下底，故要分两种情况讨论梯形的面积，根据梯形的面积公式= （上底+下底）×高，分别计算即可．
【解答】解：根据题意可作出下图，
BE为高线，BE⊥CD，即∠A=∠C=90°，∠ABD=120°，BD=6cm，
∵AB∥CD，∠ABD=120°，
∴∠D=60°，
∴BE=6×sin60°=3 cm；ED=6×cos60°=3cm；
当AB=5cm时，CD=5+3=8cm，梯形的面积= ×（5+8）×3 =  cm2；
当CD=5cm时，AB=5﹣3=2cm，梯形的面积= ×（2+5）×3 =  cm2；
故梯形的面积为 cm2或 cm2，选D．
 
【点评】本题考查了直角梯形的性质及面积公式，涉及到特殊角的三角函数计算，注意当题意所给数据不明确时，要注意分类讨论思想．
　
13．顺次连接四边形四条边的中点，所得的四边形是菱形，则原四边形一定是（　　）
A．平行四边形 B．对角线相等的四边形
C．矩形 D．对角线互相垂直的四边
【分析】根据三角形中位线的性质及菱形的性质，可证四边形的对角线相等．
【解答】解：∵四边形EFGH是菱形，
∴EH=FG=EF=HG= BD= AC，
故AC=BD．
故选B．
 
【点评】本题很简单，考查的是三角形中位线的性质及菱形的性质．
　
14．如图，⊙O的半径OA=6，以A为圆心，OA为半径的弧交⊙O于B、C点，则BC=（　　）
 
A．  B．  C．  D．
【分析】根据垂径定理先求BC一半的长，再求BC的长．
【解答】解：设OA与BC相交于D点．
∵AB=OA=OB=6
∴△OAB是等边三角形．
又根据垂径定理可得，OA平分BC，
利用勾股定理可得BD= =3
所以BC=6 ．
故选A．
 
【点评】本题的关键是利用垂径定理和勾股定理．
　
15．已知二次函数y=ax2+bx+c，如果a＞b＞c，且a+b+c=0，则它的大致图象应是（　　）
A．  B．  C．  D．
【分析】根据已知条件，采用数形结合的方法，探究图象经过的点，字母系数的符号对图象的影响，逐一排除．
【解答】解：因为a+b+c=0，故函数图象过（1，0）排除D；
因为a+b+c=0，a＞b＞c，所以a＞0，排除C；
由图B可知，c=1＞0，对称轴x=﹣ ＞0，得b＜0，与b＞c矛盾，排除B
故选A．
【点评】解答本题要结合图象进行验算，关键是掌握二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定．
　
二、解答题（共5小题，满分40分）
16．（8分）计算： ．
【分析】分别根据数的开方、0指数幂、特殊角的三角函数值计算出各数，再根据二次根式混合运算的法则进行计算即可．
【解答】解：原式= +2﹣1+2﹣
=3．
【点评】本题考查的是二次根式的混合运算、零指数幂及特殊角的三角函数值，熟知二次根式混合运算的法则是解答此题的关键．
　
17．（8分）先化简，再求值  ，并求a=1 时的值．
【分析】先将a﹣1根据平方差公式化为（ ）（ ﹣1），a﹣2 +1是完全平方公式为： ，约分后再分母有理化，化简后代入计算可得结果．
【解答】解：   ，
= +  ，
= ﹣1，
= ﹣1，
= ，
= ，
当a=1 时，原式= = =4+2 ．
【点评】本题是二次根式的化简求值问题，考查了分母有理化、完全平方公式和平方差公式及二次根式的混合运算法则，注意把a看作是 ．
　
18．（8分）已知x=3是方程 的一个根，求k的值和方程其余的根．
【分析】本题考查解分式方程的能力，先由x=3求出k值，再将k代入原方程，通过去分母，解方程，检验，求出方程的另一个解．
【解答】解：把x=3代入 ，得 + =1，解得k=﹣3．
将k=﹣3代入原方程得： ，
方程两边都乘以x（x+2），得10x﹣3（x+2）=x（x+2），��
整理得x2﹣5x+6=0，解得x1=2，x2=3．
检验：x=2时，x（x+2）=8≠0
∴x=2是原方程的根．
x=3时，x（x+2）=15≠0
∴x=3是原方程的根．
∴原方程的根为x1=2，x2=3．
故k=3，方程其余的根为x=2．
【点评】解分式方程时要注意根据方程特点选择合适的方法．
　
19．（8分）要用12米长的木条，做一个有一条横挡的矩形窗户（如图），怎样设计窗口的高和宽的长度，才能使这个窗户透进的光线最多．
 
【分析】光线最多就是面积最大，可设高为x米，则宽为 米，表示出面积为y，运用函数性质求解．
【解答】解：要使窗户透进的光线最多，就是要使窗户的面积最大．
设窗户的高为x（x＜6）米，窗户的面积为y（平方米），则宽为 米，
因此可得到y与x的关系式为：y=x• （x＜6），
整理得：y=﹣ +4x，
在这个二次函数中，a=﹣ ，b=4，c=0，
∴当x=﹣ =﹣ =3时，y取得最大值：  =6（平方米），
当x=3时，  =2（米），
所以取矩形窗户的高为3米，宽为2米时，窗户的面积最大（最大值为6平方米），即窗户透进的光线最多．
【点评】本题是二次函数的应用，此题的关键是理解光线最多就是窗子面积最大时，据此求面积表达式，运用函数性质求解．
　
20．（8分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24厘米，AB=8厘米，BC=30厘米，动点P从A开始沿AD边向D以每秒1厘米的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向B以每秒3厘米的速度运动，P，Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t秒．
（1）当t在什么时间范围时，CQ＞PD？
（2）存在某一时刻t，使四边形APQB是正方形吗？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．
 
【分析】（1）根据CQ＞PD列出方程即可解决问题；
（2）若四边形是正方形，则AP=AB且BQ=AB，则1×t=8且30﹣3t=8，显然无解，即不存在t的值使得四边形APQB是正方形；
【解答】解：（1）∵CQ=3t，24﹣t，
∴由CQ＞PD有3t＞24﹣t，
解得t＞6．
又∵P、Q点的运动时间只能是30÷3=10（s），
∴6＜t≤10，即当6＜t≤10时，CQ＞PD．

（2）若四边形是正方形，则AP=AB且BQ=AB，
∴1×t=8且30﹣3t=8，
显然无解，即不存在t的值使得四边形APQB是正方形．
【点评】本题考查直角梯形、正方形的判定等知识，解题的关键是学会构建方程或不等式解决问题，属于中考常考题型．
　
三、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
21．已知：不等式2x﹣m≤0只有三个正整数解，则化简 +|m﹣9|=　5　．
【分析】首先根据不等式2x﹣m≤0只有三个正整数解即可求得m的值，然后根据二次根式以及绝对值的意义即可化简求值．
【解答】解：解不等式2x﹣m≤0得：x≤
∵不等式2x﹣m≤0只有三个正整数解．
∴ =3，
∴m=6，
∴ +|m﹣9|=|4﹣m|+|m﹣9|=m﹣4+9﹣m=5．
故答案是：5．
【点评】本题主要考查了不等式的解的求解，以及二次根式的化简求值，正确求得m的值是解题的关键．
　
22．数据80，82，85，89，100的标准差为　7.1　（小数点后保留一位）．
【分析】根据题目中的数据，先求出这组数据的平均数，然后根据标准差的定义即可解答本题．
【解答】解：数据80，82，85，89，100的平均数是：  =87.2，
∴这组数据的标准差是：s= ≈7.1，
故答案为：7.1．
【点评】本题考查标准差，解答本题的关键是明确题意，利用标准差的公式进行解答．
　
23．请给出一元二次方程x2﹣x+　 　=0的一个常数项，使这个方程有两个相等的实数根．
【分析】根据根的判别式，方程有两个相等的实数根，△=0，列式计算即可．
【解答】解：设方程的常数项为m，
∵方程有两个相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac=0，
即1﹣4×1×m=0，
解得m= ，
故答案为
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
　
24．如图的围棋盘放在某个平面直角坐标系内，白棋②的坐标为（﹣8，﹣5），白棋④的坐标为（﹣7，﹣9），那么黑棋①的坐标应该是　（﹣4，﹣8）　．
 
【分析】根据已知两点的坐标建立坐标系，然后确定其它点的坐标．
【解答】解：由白棋②的坐标为（﹣8，﹣5），白棋④的坐标为（﹣7，﹣9）得出：
棋盘的横坐标是以左侧第一条线为﹣10，从左向右依次为﹣10，﹣9，﹣8，…；纵坐标是以下边第一条线为﹣1，向上依次为﹣9，﹣8，﹣7，…．
∴黑棋①的坐标应该是（﹣4，﹣8）．
故答案为：（﹣4，﹣8）．
【点评】本题主要考查类比点的坐标解决实际问题的能力和阅读理解能力．根据已知条件建立坐标系是关键，或者直接利用坐标系中的移动法则右加左减，上加下减来确定坐标．
　
25．三角形的内切圆的切点将该圆周分为5：9：10三条弧，则此三角形的最小的内角为　30°　．
【分析】连接OF、OE、OD，设弧ED：弧EF：弧FD=5：9：10，求出∠EOF，∠EOD，∠FOD，根据⊙O是△ABC的内切圆得出∠AFO=∠AEO=∠CEO=∠CDO=∠BDO=∠BFO=90°，求出∠B的度数即可．
【解答】解：
连接OF、OE、OD，设弧ED：弧EF：弧FD=5：9：10，
则∠EOF= ×360°=135°，∠EOD= ×360°=75°，∠FOD= ×360°=150°，
∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为E、D、F，
∴∠AFO=∠AEO=∠CEO=∠CDO=∠BDO=∠BFO=90°，
∴∠FOD对的角B最小，即∠B=180°﹣150°=30°，
故答案为：30°．
【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心的应用，关键是求出∠FOD的度数和得出∠B=180°﹣∠FOD．
　
26．如图，工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是12毫米，测得钢珠顶端离零件表面的距离为9毫米，则这个小孔的直径AB是　 　毫米．
 
【分析】已知钢珠的直径是12毫米，本题是有关圆的半径，弦长，弦心距之间的运算，通常是利用垂径定理，转化为解直角三角形问题．
【解答】解：连接OA，通过圆心O，作弦AB的垂线交AB于C
则在Rt△OAC中，OA=6mm，OC=9﹣6=3mm
AC2+OC2=OA2，即AC2+32=62，
∴ mm
∴ mm．
 
【点评】有关圆的半径，弧长，弦长之间的计算一般是转化为解直角三角形．
　
27．如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，过D作⊙O的切线DE交AC于E，且DE⊥AC，由上述条件，你能推出的正确结论有：　∠ADB=∠AED=∠CED=90°，△ADE∽△ABD，∠ADE=∠B，∠CAD=∠BAD，　（要求：不再标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程，至少写出4个结论，结论不能类同）．
【分析】由弦切角定理可证∠EDA=∠B，又已知DE⊥AC，则有∠EAD=∠B，即可证△ADE∽△ABD；又因为AB是直径，可证∠ADB=∠ADC=∠DEA=90°．
【解答】解：由弦切角定理知，∠EDA=∠B，
∵DE⊥AC，AB是⊙O的直径，
∴∠DEA=∠ADB=90°，
∵∠EDA=∠B，
∴△ADE∽△ABD；
∵AB是直径，
∴∠ADB=∠ADC=∠DEA=90°，
∠ADB=∠AED=∠CED=90°，
∴△ADE∽△ABD，∠ADE=∠B，∠CAD=∠BAD．
【点评】本题利用了弦切角定理，直径对的圆周角是直角，直角三角形的性质，相似三角形的判定求解．
　
四、解答题（共4小题，满分39分）
28．（9分）阅读后填空：某家灯具厂为了比较甲、乙两种灯的使用寿命，各抽出8支做试验，结果如下（单位：小时）．
甲：457，438，460，443，464，459，444，451；
乙：466，455，467，439，459，452，464，438．
试说明哪种灯的使用寿命长？哪种灯的质量比较稳定？
【分析】先根据平均数的计算公式求出甲、乙两种灯的平均寿命，再根据方差和标准差公式进行计算即可得出答案．
【解答】解：∵甲种灯的平均寿命是： ×（457+438+460+443+464+459+444+451）=452（小时），
乙种灯的平均寿命是： ×（466+455+467+439+459+452+464+438）=455（小时），
∴乙种灯的使用寿命长；
甲种灯的方差S2= ×[42+（﹣14）2+…+（﹣1）2]=78，
标准差为S甲=8.83，
同理乙种灯的标准差为S乙=10.70．
故甲种灯的质量比较稳定．
【点评】本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为 ，则方差S2=  [（x1﹣ ）2+（x2﹣ ）2+…+（xn﹣ ）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
　
29．（10分）如图，⊙O是Rt△ABC中以直角边AB为直径的圆，⊙O与斜边AC交于D，过D作DH⊥AB于H，又过D作直线DE交BC于点E，使∠HDE=2∠A．
求证：（1）DE是⊙O的切线；（2）OE是Rt△ABC的中位线．
 
【分析】（1）连接OD，利用同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半，得到∠HOD=2∠A，然后用等量代换得到∠ODE=90°，证明DE是⊙O的切线．
（2）利用（1）的结论有∠ODE=90°，又已知∠OBE=90°，证明△BOE≌△DOE，得到∠BOE=∠A，所以OE∥AD，得到点E是BC的中点，可以证明OE是△ABC的中位线．
【解答】解：（1）连接OD，
则∠HOD=2∠A，
已知∠HDE=2∠A，
则∠HOD=∠HDE，
∵HD⊥AB，
∴∠HOD+∠HDO=90°，
∴∠HDE+∠HDO=90°，
即OD⊥DE，
又OD是半径，
∴DE是⊙O的切线；

（2）∵DE是⊙O的切线，∠ABC=90°，
∴∠OBE=∠ODE=90°，
又OB=OD，OE=OE，
∴Rt△BOE≌Rt△DOE，
∴∠BOE=∠DOE，
∴∠HOD=∠BOE+∠DOE=2∠BOE，
又∠HOD=2∠A，
∴∠BOE=∠A，
∴OE∥AD，
而O是AB的中点，
故OE是Rt△ABC的中位线．
 
【点评】本题考查的是切线的判定，（1）利用同弧所对的圆周角和圆心角的关系，以及等量代换求出∠ODE的度数，证明DE是⊙O的切线．（2）利用（1）的结论证明两三角形全等，得到相等的角度，再用同位角相等两直线平行和三角形中位线的性质证明OE是△ABC的中位线．
　
30．（10分）阅读材料，回答问题
在边长为1的正方形ABCD中，E是AB的中点，CF⊥DE，F为垂足．
（1）△CDF与△DEA是否相似？说明理由；
（2）求CF的长．
 
【分析】（1）利用正方形是性质和平行线的性质，由“两角法”证明△ADE∽△FCD；
（2）根据相似三角形的对应边的比相等求解．
【解答】解：（1）△ADE∽△FCD，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=90°，AB∥CD，
∴∠CDF=∠DEA．
又CF⊥DE，
∴∠CFD=90°，即∠CFD=∠A，
因而，△ADE∽△FCD；

（2）由题意知，AD=CD=1，AE= ．
在直角△DEA中，有DE= = = ．
由（1）可得：  = ，则CF= = ．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，以及勾股定理的应用，正确证明△ADE∽△FCD是关键．
　
31．（10分）阅读材料，回答问题
一艘轮船以20海里/时的速度由西向东航行，途中接到台风警报，台风中心正以40海里/时的速度由南向北移动，距台风中心20 海里的圆形区域（包括边界）都属台风区，当轮船到A处时，测得台风中心移到位于点A正南方向B处，且AB=100海里．
（1）若这艘轮船自A处按原速度和方向继续航行，在途中会不会遇到台风？若会，试求轮船最初遇到台风的时间；若不会，说明理由；
（2）现轮船自A处立即提高船速，向位于北偏东60°方向，相距60海里的D港驶去，为使台风到来之前，到达D港，问船速至少应提高多少（提高的船速取整数， ≈3.6）？
 
【分析】（1）首先表示出AC=20t，AE=AB﹣BE=100﹣40t，再利用勾股定理得出t的值，进而得出答案；
（2）直接表示出FM=FA+AB﹣BM=130﹣40t，MD=20 ，进而利用勾股定理得出答案．
【解答】解：（1）设途中会遇到台风，且最初遇到台风的时间为t小时，此时，轮船位于C处，台风中心移到E处，则有，
AC=20t，AE=AB﹣BE=100﹣40t，EC=20 ，
在Rt△AEC中，AC2+AE2=EC2，
则（20t）2+（100﹣40t）2=（20 ）2，
整理得：t2﹣4t+3=0，
解得：t1=1，t2=3，
所以，途中将遇到台风，最初遇到台风的时间为1小时；

（2）设台风抵达D港为t小时，此时台风中心至M点，过D作DF⊥AB，垂足为F，
连接DM，
在Rt△ADF中，AD=60，∠FAD=60°，
则DF=30 ，FA=30，
∵FM=FA+AB﹣BM=130﹣40t，MD=20 ，
∴（30 ）2+（130﹣40t）2=（20 ）2，
整理得：4t2﹣26t+39=0，
解得：t1= ，t2= ，
∴台风抵达D港时间为： 小时，
因轮船从A处用 小时到达D港，其速度为：60÷ ≈25.5，
故为使台风抵达D港之前轮船到达D港，轮船至少应提速6海里/时．
 
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用和勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题关键．
　
 

1．下列各式中，正确的是（　　）
A．a5+a3=a8 B．a2•a3=a6 C．（﹣3a2）3=﹣9a6 D．
【分析】分别根据合并同类项、同底数幂的乘法法则、幂的乘方与积的乘方法则、负整数指数幂的运算法则分别计算出各选项即可．
【解答】解：A、由于a5和a3不是同类项，故不能合并，故本选项错误；
B、根据同底数幂的乘法法则可知a2•a3=a5，故本选项错误；