2017年中考数学模拟试题分类汇编专题13：操作性问题(广东各市)

 
一、选择题
1．【2016广东省深圳市二模】如图，在平行四边形ABCD中，以A为圆心，AB为半径画弧，交AD于F，再分别以B、F为圆心，大于 BF的长为半径画弧，两弧相交于点G，若BF=6，AB=5，则AE的长为（　　）
 
A．11     B．6     C．8     D．10
【答案】C
 考点：1、平行四边形的性质与判定，2、垂直平分线的性质，3、勾股定理
2．【2016广东省深圳市南山区二模】如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC=BC，则下列选项正确的是（　　）
A．  B．  C．  D．
【答案】D
【解析】
试题分析：由PB+PC=BC和PA+PC=BC易得PA=PB，根据线段垂直平分线定理的逆定理可得点P在AB 的垂直平分线上，于是可判断D选项正确．
故选D．
考点：作图—复杂作图
二、填空题
1．【2016广东省汕头市金平区一模】如图．将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、CB均落在对角线BD上，得折痕BE、BF，则∠EBF的大小为　　　　　　．
 
【答案】45°
 考点：图形的翻折变换
2．【2016广东省东莞市二模】如图，在▱ABCD中，AB= ，AD=4，将▱ABCD沿AE翻折后，点B恰好与点C重合，则折痕AE的长为　　　　　　．
 
【答案】3
 考点：1、翻折变换（折叠问题）；2、平行四边形的性质
三、解答题
1．【2016广东省广州市番禹区】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AD交BC于D．
（1）动手操作：利用尺规作⊙O，使⊙O经过点A、D，且圆心O在AB上；并标出⊙O与AB的另一个交点E（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）综合应用：在你所作的图中，
①判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
②若AB=6，BD=2 ，求线段BD、BE与劣弧 所围成的图形面积（结果保留根号和π）．
 
【答案】（1）图形见解析（2）①相切；②2 ﹣ π
【解析】
试题分析：（1）根据题意得：O点应该是AD垂直平分线与AB的交点；
（2）①由∠BAC的角平分线AD交BC边于D，与圆的性质可证得AC∥OD，又由∠C=90°，则问题得证；
②设⊙O的半径为r．则在Rt△OBD中，利用勾股定理列出关于r的方程，通过解方程即可求得r的值；然后根据扇形面积公式和三角形面积的计算可以求得“线段BD、BE与劣弧DE所围成的图形面积为：  =2 ﹣ π”．
试题解析：（1）如图1；
（2）①如图1，连接OD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ADO，
∵∠BAC的角平分线AD交BC边于D，
∴∠CAD=∠OAD，
∴∠CAD=∠ADO，
∴AC∥OD，
∵∠C=90°，
∴∠ODB=90°，
∴OD⊥BC，
即直线BC与⊙O的切线，
∴直线BC与⊙O的位置关系为相切；
 
 
考点：圆的综合题
2．【2016广东省汕头市澄海区一模】如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°．
（ 1）作∠A的平分线AD，交BC于点D（用尺规作图，不写作法，但保留作图痕迹，然后用墨水笔加黑）；
（2）计算 的值．
 
【答案】（1）作图见解析（2）1:3
 
（2）∵在Rt△A CD中，∠CAD=30°，
∴CD= AD．

∴BC=CD+BD=CD+AD=3CD．
∴ = ，  = ．
∴ = ：  =1：3．
考点：作图—基本作图
3．【2016广东省汕头市金平区一模】有一副直角三角板，在三角板ABC中，∠BAC=90°，∠C=60°，AB=6，在三角板DEF中，∠FDE=90°，∠E=45°，EF=6．将这副直角三角板按如图1所示位置摆放，点A与点F重合，点E、F、A、C在同一条直线上．现固定三角板ABC，将三角板DEF以每秒1个单位的速度沿边AC匀速运动，DF与AB相交于点M．
（1）如图2，连接ME，若∠EMA=67.5°，求证：△DEM≌△AEM；
（2）如图3，在三角板DEF移动的同时，点N从点C出发，以每秒2个单位长度的 速度沿CB向点B匀速移动，当三角板DEF的顶点D移动到AB边上时，三角板DEF停止移动，点N也随之停止移动．连接FN，设四边形AFNB的面积为y，在三角板DEF运动过程中，y存在最小值，请求出y的最小值；
（3）在（2）的条件 下，在三角板DEF运动过程中，是否存在某时刻，使E、M、N三点共线，若存在，请直接写出此时AF的长；若不存在，请直接回答．
 
【答案】（1）证明见解析（2） （3）不存在
【解析】
试题分析：（1）只要证明∠MED=∠MEA=22.5°，即可利用AAS证明△DEM≌△AEM．
（2）如图2中，作FG⊥CB，垂足为G．设AF=x，则CN=2x，想办法构建二次函数，利用二次函数性质解决问题．
（3）不存在．假设存在，推出矛盾即可．
试题解析：（1）如图2中，∵∠EMA=67.5°，∠BAE=90°

∴∠MEA=90°﹣∠EMA=90°﹣67.5°=22.5°，
∴∠MED=∠DEA﹣∠EMA=45°﹣22.5°=22.5°=∠MEA，
在△EMD和△EMA中，
 ，
∴△DEM≌△AEM．
 
∴y的最小值为 ．
 
 
考点：1、三角形综合题、2、全等三角形的判定和性质、3、二次函数、4、勾股定理、5、平行线性质
4．【2016广东省广州市华师附 中一模】两个城镇A、B与两条公路ME，MF位置如图所示，其中ME是东西方向的公路．现电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路ME，MF的距离也必须相等，且在∠FME的内部．
（1）点C应选在何处？请在图中，用尺规作图找出符合条件的点C．（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹）
（2）点C到公路ME的距离为2km，设AB的垂直平分线交ME于点N，点M处测得点C位于点M的北偏东60°方向，在N处没得点C位于点N的北偏西45°方向，求MN的长（结果保留根号）
 
【答案】（1）作图见解析（2）2 +2km
【解析】
试题分析：（1）到城镇A、B距离相等的点在线段AB的垂直平分线上，到两条公路距离相等的点在两条公路所夹角的角平分线上，分别作出垂直平分线与角平分线，它们的交点即为所求作的点C；
（2）作CD⊥MN于点D．由三角函数得出MD= CD，DN=CD，于是得到结论．
 
考点：1、解直角三角形的应用-方向角问题；2、线段垂直平分线的性质
5．【2016广东省广州市海珠区一模】如图，四边形ABCD是平行四边形．
（1）利用尺规作∠ABC的平分线BE，交AD于E（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图形中，求证：AB=AE．
 
【答案】（1）作图见解析（2）证明见解析
【解析】

 
考点：1、平行四边形的性质，2、角平分线的作图，3、等腰三角形的判定
6．【2016广东省揭阳市普宁市二模】如图，扇形OAB的圆心角∠AOB=120°，半径OA=6cm．
（1）请你用尺规作图的方法作出扇形的对称轴（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求弧AB的长及扇形OAB的面积．
 
【答案】（1）作图见解析（2）4π，12π
【解析】
试题分析：（1）连接AB，作弦AB的垂直平分线即可作出扇形的对称轴；
（2）利用弧长的计算公式和扇形的面积公式可得结果．
试题解析：（1）如图所示：
 
（2） 的长度： =4π（cm）；
 = =12π（cm2）．
考点：扇形有关的计算
7．【2016广东省揭阳市普宁市二模】如图1，在△ABO中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8．以OB为一边，在△OAB外作等边三角形OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E．
（1）求点B的坐标；
（2）求证：四边形ABCE是平行四边形；
（3）如图2，将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长．
 
【答案】（1）（4 ，4）（2）证明见解析（3）1
 
继而可得四边形ABCD是平行四边形；
（3）首先设OG的长为x，由折叠的性质可得：AG=CG=8﹣x，然后根据勾股定理可得方程
（8﹣x）2=x2+（4 ）2，解此方程即可求得OG的长．
 
∵DB=DO=4
∴DB=AB=4
∴∠BDA=∠BAD=120°÷2=60°，
∴∠ADB=60°，
∵△OBC是等边三角形，
∴∠OBC=60°，
∴∠ADB=∠OBC，
即AD∥BC，
∴四边形ABCE是平行四边形；
（3）设OG的长为x，
∵OC=OB=8，
∴CG=8﹣x，
由折叠的性质可得：AG=CG=8﹣x，

在Rt△AOG中，AG2=OG2+OA2，
即（8﹣x）2=x2+（4 ）2，
解得：x=1，
即OG=1．
考点：1、折叠的性质，2、三角函数的性质，3、平行四边形的判定，4、等边三角形 的性质，5、勾股定理
8．【2016广西贵港市三模】如图矩形ABCD中，点E在BC上，且AE=EC，试分别在下列两个图中按要求使用无刻度的直尺画图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中，画出∠DAE的平分线；
（2）在图2中，画出∠AEC的平分线．
 
【答案】作图见解析
 考点：作图﹣基本作图

9．【2015广西桂林市模拟】如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）请画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；
（2）请画出△ABC关于原点对称的△A2B2C2；
（3）在x轴上求作一点P，使△PAB的周长最小，请画出△PAB，并直接写出P的坐标．
 
【答案】图形见解析
 
考点：作图题
10．【2016广东省深圳市龙岭期中】如图，在矩形ABCD中，点F在边BC上，且AF=AD，过点D作DE⊥AF，垂足为点E．
（1）求证：DE=AB．
（2）以D为圆心，DE为半径作圆弧交AD于点G．若BF=FC=1，试求 的长．
 
【答案】（1）证明见解析（2）
 ∵DE⊥AF，
∴∠AED=90°，
在△ADE和△FAB中， ，
∴△ADE≌△FAB（AAS），
∴DE=AB；
 
∵DE⊥AF，
∴∠AED=90°，
∴∠ADE=30°，
∵△ADE≌△FAB，
∴AE=BF=1，
∴DE= AE= ，
∴ 的长= = ．
 
考点：1、全等三角形的判定与性质；2、含30度角的直角三角形；3、矩形的性质；4、弧长的计算
11．【2016广东省深圳市龙岭期中】在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．
（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图①），求证：△AEG≌△AEF；
（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图②），求证：EF2=ME2+NF2；
（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图③），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．
 
【答案】证明见解析
 试题解析：（1）∵△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，
∴AF=AG，∠FAG=90°，
∵∠EAF=45°，
∴∠GAE=45°，
在△AGE与△AFE中，
 ，
∴△AGE≌△AFE（SAS）；
 
（2）设正方形ABCD的边长为a．
将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，连结GM．
则△ADF≌△ABG，DF=BG．
由（1）知△AEG≌△AEF，
∴EG=EF．
∵∠CEF=45°，
∴△BME、△DNF、△CEF均为等腰直角三角形，
∴CE=CF，BE=BM，NF= DF，
∴a﹣BE=a﹣DF，
∴BE=DF，
∴BE=B M=DF=BG，
∴∠BMG=45°，
∴∠GME=45°+45°=90°，
∴EG2=ME2+MG2，
∵ EG=EF，MG= BM= DF=NF，
∴EF2=ME2+NF2；
 
 
 
考点：四边形综合题
12．【2016广东省汕头市潮南区模拟（B卷】如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．
（1）用尺规作图作AB边上的中垂线DE，交AC于点D，交AB于点E．连接BD，求证：BD平分∠CBA．
 
【答案】（1）作图见解析（2）证明见解析
 （2）∵DE是AB边上的中垂线，∠A=30°，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A=30°，
∵∠C=90°，
∴∠ABC=90°﹣∠A=90°﹣30°=60°，
∴∠CBD=∠ABC﹣∠ABD=60°﹣30°=30°，
∴∠ABD=∠CBD，
∴BD平分∠CBA．
考点：线段垂直平分线
13．【2016广东省东莞市虎门市模拟】如图，已知△ABC中，点D在边AC上，且BC=CD
（1）用尺规作出∠ACB的平分线CP（保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）中，设CP与AB相交于点E，连接DE，求证：BE=DE．
 
【答案】（1）作图见解析（2）证明见解析
 （2）∵CP是∠ACB的平分线
∴∠DCE=∠BCE．
在△CDE和△CBE中，
 ，
∴△DCE≌△BCE（SAS），
∴BE=DE．
 
考点：1、尺规作图，2、角平分线的性质
14．【2016广东省潮州市潮安区一模】如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．
（1）用尺规作图作AB边上的垂直平分线DE，交AC于点D，交 AB于点E．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）
（2）连接BD，求证：DE=CD．
 
【答案】（1）作图见解析（2）证明见解析
 
 
 
考点：基本作图
15．【2016广东省模拟（一）】如图，A是∠MON边OM上一点，AE∥ON．
（1）在图中作∠MON的角平分线OB，交AE于点B；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）在（1）中，过点A画OB的垂线，垂足为点D，交 ON于点C，连接CB，将图形补充完整，并证明四边形OABC是菱形．
 
【答案】（1）作图见解析（2）证明见解析
【解析】
试题分析：（1）角平分线的作法：用圆规以顶点为圆心，任意长为半径画一个弧（要保证有两个交点，不要太小），再以刚才画出的交点为顶点，以大于第一次的半径为半径画弧（左右各画一个弧），再取两道弧的交点，并连接这个交点的一开始最上面的顶点，这就是角平分线．

（2）本题可根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，先证明OABC是个平行四边形，然后证明OA=AB即可．
试题解析：（1）如图，射线OB为所求作的图形．
 
 
∴△ADB≌△CDO，AB=OC．
∵AB∥OC，
∴四边形OABC是平行四边形．
∵AO=AB，
∴四边形OABC是菱形．
考点：1、菱形的判定；2、全等三角形的判定
16．【2016广东省模拟（一）】如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、E（3，0）两点，与y轴交于点B（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线顶点为D，求四边形AEDB的面积；
（3）△AOB与△DBE是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由．
 
【答案】（1 ）y=﹣x2+2x+3；（2）9（3）相似
 （2）如图，设该抛物线对称轴是DF，连接DE、BD．过点B作BG⊥DF于点G．
由顶点坐标公式得顶点坐标为D（1，4）
设对称轴与x轴的交点为F
∴四边形ABDE的面积=
= A O•BO+ （BO+DF）•OF+  EF•DF
= ×1×3+ ×（3+4）×1+ ×2×4
=9；