九年级数学上第一章一元二次方程单元测试卷（苏科版附答案）

第一章一元二次方程单元测试
一、单选题（共10题；共30分）
1.已知反比例函数y=abx  ， 当x＞0时，y随x的增大而增大，则关于x的方程ax2-2x+b=0的根的情况是（　　）       
A、有两个正根    B、有两个负根    C、有一个正根一个负根    D、没有实数根
2.若x1  ， x2是一元二次方程x2-7x+5的两根，则1x1+1x2的值是（  ）       
A、75      B、-75      C、57       D、-57
3.已知三角形两边的长分别是3和6，第三边的长是方程x2-6x+8=0的根，则这个三角形的周长等于（　　）       
A、13     B、11      C、11或13       D、12或15
4.方程x2+ax+1=0和x2-x-a=0有一个公共根，则a的值是（　　）       
A、0      B、1     C、2      D、3
5.（2015•长春）方程x2﹣2x+3=0的根的情况是（　　）       
A、有两个相等的实数根         B、只有一个实数根    C、没有实数根   D、有两个不相等的实数根
6.已知一次函数y=ax+c的图象如图所示，那么一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况是（　　）
 
A.方程有两个不相等的实数根      B.方程有两个相等的实数根
C.方程没有实数根               D.无法判断
7.关于x的方程kx2+3x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是（  ）           
A.k≤ 94        B.k≥﹣ 94 且k≠0
C.k≥﹣ 94      D.k＞﹣ 94 且k≠0
8.一元二次方程x（x﹣2）=0的解是（   ）           
A.x=0      B.x1=2       C.x1=0，x2=2        D.x=2
9.已知函数y=（k﹣3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（   ）           
A.k＜4      B.k≤4       C.k＜4且k≠3        D.k≤4且k≠3
10.奉节特产专卖店销售2015年良种夏季脐橙，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克．若该专卖店销售这种脐橙要想平均每天获利2240元，为减少库存，每千克脐橙应降价多少元？（   ）       
A、4元      B、6元       C、4元或6元       D、5元
二、填空题（共8题；共24分）
11.一元二次方程x2=3x的解是：________ ．   
12.已知关于x的一元二次方程3（x﹣1）（x﹣m）=0的两个根是1和2，则m的值是________    
13.程大位所著《算法统宗》是一部中国传统数学重要的著作．在《算法统宗》中记载：“平地秋千未起，踏板离地一尺．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”【注释】1步=5尺．
译文：“当秋千静止时，秋千上的踏板离地有1尺高，如将秋千的踏板往前推动两步（10尺）时，踏板就和人一样高，已知这个人身高是5尺．美丽的姑娘和才子们，每天都来争荡秋千，欢声笑语终日不断．好奇的能工巧匠，能算出这秋千的绳索长是多少吗？”
如图，假设秋千的绳索长始终保持直线状态，OA是秋千的静止状态，A是踏板，CD是地面，点B是推动两步后踏板的位置，弧AB是踏板移动的轨迹．已知AC=1尺，CD=EB=10尺，人的身高BD=5尺．设绳索长OA=OB=x尺，则可列方程为________
 
14.将一元二次方程x2+4x+1=0化成（x+a）2=b的形式，其中a，b是常数，则a+b=________   
15.若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣1，则另一个根为________．   
16.已知x=﹣2是方程x2+mx﹣6=0的一个根，则方程的另一个根是________．   
17.若关于x的一元二次方程x2+4x﹣k=0有实数根，则k的最小值为________．   
18.已知x=1是方程ax2+x﹣6=0的一个根，则a=________．   
三、解答题（共6题；共46分）
19.试比较下列两个方程的异同，  +2x-3=0，  +2x+3=0．   
20.利用一面墙（墙的长度不限），另三边用58m长的篱笆围成一个面积为200m2的矩形场地，求矩形的长和宽．
 

21.已知：m是方程x2﹣x﹣1=0的一个根，求代数式5m2﹣5m+2008的值．   

22.随着柴静纪录片《穹顶之下》的播出，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也大增，商社电器从厂家购进了A，B两种型号的空气净化器，已知一台A型空气净化器的进价比一台B型空气净化器的进价多300元，用7500元购进A型空气净化器和用6000元购进B型空气净化器的台数相同．
（1）求一台A型空气净化器和一台B型空气净化器的进价各为多少元？
（2）在销售过程中，A型空气净化器因为净化能力强，噪音小而更受消费者的欢迎．为了增大B型空气净化器的销量，商社电器决定对B型空气净化器进行降价销售，经市场调查，当B型空气净化器的售价为1800元时，每天可卖出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，如果每天商社电器销售B型空气净化器的利润为3200元，请问商社电器应将B型空气净化器的售价定为多少元？   

23.方程17+15x=245，x-503=x+705  ， 2（x+1.5x）=24都只含有一个未知数，未知数的指数都是1，它们是一元一次方程，方程x2+3=4，x2+2x+1=0，x+y=5是一元一次方程吗？若不是，它们各是几元几次方程？   
 

24.若方程（m﹣1）xm2+1+2mx﹣3=0是关于x的一元二次方程，求m的值．   
 

答案解析
一、单选题
1、【答案】C                   
【考点】根的判别式，根与系数的关系，反比例函数的图象               
【解析】【解答】因为反比例函数y=abx  ， 当x＞0时，y随x的增大而增大，
所以ab＜0，
所以△=4-4ab＞0，
所以方程有两个实数根，
再根据x1x2=ba＜0，
故方程有一个正根和一个负根．
故选C．

【分析】本题是对反比例函数的图象性质，一元二次方程的根的判别式以及根与系数的关系的综合考查，可以根据反比例函数的图象性质判断出ab的符号，从而得出解的个数，然后利用根与系数的关系求出两个根的符号关系．本题重点考查了反比例函数的性质及一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，是一个综合性的题目，也是一个难度中等的题目．   
2、【答案】A                   
【考点】根与系数的关系               
【解析】【分析】由题意可得x1 x2 ， x1x2 ， 再化1x1+1x2x2+x1x1x2  ， 即可求得结果.
【解答】由题意得x1 x2=7，x1x2=5
则1x1+1x2=x2+x1x1x2=75
故选A.   
3、【答案】A                   
【考点】解一元二次方程-因式分解法，三角形三边关系               
【解析】【分析】由方程x2-6x+8=0 用十字交叉相乘法因式分解，得(x-2)(x-4)=0：
解得x1=2或x2=4，
当第三边的长是2时，2+3＜6，不能构成三角形，应舍去；
当第三边的长是4时，三角形的周长为4+3+6=13。
故选A。   
4、【答案】C                   
【考点】一元二次方程的定义，一元二次方程的解               
【解析】【解答】∵方程x2+ax+1=0和x2-x-a=0有一个公共根，
∴（a+1）x+a+1=0，解得x=-1，当x=-1时， a=2，
所以选C
【分析】因为方程有一个公共根，两方程联立，解得x与a的关系，故可以解得公共解x  ， 然后求出a ．    
5、【答案】C                   
【考点】根的判别式               
【解析】【解答】∵a=1，b=﹣2，c=3，∴△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×3=﹣8＜0，所以方程没有实数根．故选C．
【分析】把a=1，b=﹣2，c=3代入△=b2﹣4ac进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况．   
6、【答案】A                   
【考点】根的判别式               
【解析】【解答】解：由图象知：a＜0，c＞0，
∵△=b2﹣4ac＞0，
∴一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，
故选A．
【分析】根据函数的图象得出a、c的取值，进而求得b2﹣4ac的取值，即可判定一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况   
7、【答案】C                   
【考点】根的判别式               
【解析】【解答】解：当k=0时，方程为3x﹣1=0，有实数根， 
当k≠0时，△=b2﹣4ac=32﹣4×k×（﹣1）=9+4k≥0，
解得k≥﹣ 94 ．
综上可知，当k≥﹣ 94 时，方程有实数根；
故选C．
【分析】关于x的方程可以是一元一次方程，也可以是一元二次方程；
当方程为一元一次方程时，k=0；
是一元二次方程时，必须满足下列条件：（1）二次项系数不为零；（2）在有实数根下必须满足△=b2﹣4ac≥0．   
8、【答案】C                   
【考点】解一元二次方程-因式分解法               
【解析】【解答】解：方程x（x﹣2）=0， 
可得x=0或x﹣2=0，
解得：x1=0，x2=2．
故选C．
【分析】方程利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．   
9、【答案】B                   
【考点】根的判别式，抛物线与x轴的交点，一次函数的性质               
【解析】【解答】解：①当k﹣3≠0时，（k﹣3）x2+2x+1=0， 
△=b2﹣4ac=22﹣4（k﹣3）×1=﹣4k+16≥0，
k≤4；
②当k﹣3=0时，y=2x+1，与x轴有交点．
故选B．
【分析】分为两种情况：①当k﹣3≠0时，（k﹣3）x2+2x+1=0，求出△=b2﹣4ac=﹣4k+16≥0的解集即可；②当k﹣3=0时，得到一次函数y=2x+1，与x轴有交点；即可得到答案．   
10、【答案】B                   
【考点】一元二次方程的应用               
【解析】【解答】解：设每千克橙降应降价x元．   根据题意，得 （60﹣x﹣40）（100+  ×20）=2240．
化简，得 x2﹣10x+24=0
解得：x1=4，x2=6，
∵为减少库存，
∴每千克脐橙应降价6元．
故选：B．
【分析】设每千克脐橙降价x元，利用销售量×每件利润=2240元列出方程求解即可．   
二、填空题
11、【答案】x1=0，x2=3                   
【考点】解一元二次方程-因式分解法               
【解析】【解答】由原方程，得
x2-3x=0，
则x（x-3）=0，
解得x1=0，x2=3．
【分析】先移项，然后通过提取公因式x对等式的左边进行因式分解．   
12、【答案】2                   
【考点】一元二次方程的解               
【解析】【解答】解：∵3（x﹣1）（x﹣m）=0，
∴x﹣1=0，x﹣m=0，
∴x1=1，x2=m，
∵关于x的一元二次方程3（x﹣1）（x﹣m）=0的两个根是1和2，
∴m=2，
故答案为：2．
【分析】根据已知方程即可得出m=2，得出答案为即可．   
13、【答案】102+（x﹣5+1）2=x2　                   
【考点】一元二次方程的定义，一元二次方程的应用               
【解析】【解答】解：设绳索长OA=OB=x尺，
由题意得，102+（x﹣5+1）2=x2 ．
故答案为：102+（x﹣5+1）2=x2 ．
【分析】设绳索有x尺长，此时绳索长，向前推出的10尺，和秋千的上端为端点，垂直地面的线可构成直角三角形，根据勾股定理列出方程．   
14、【答案】5                   
【考点】解一元二次方程-配方法               
【解析】【解答】解：方程x2+4x+1=0， 
移项得：x2+4x=﹣1，
配方得：x2+4x+4=3，即（x+2）2=3，
∴a=2，b=3，
则a+b=5，
故答案为：5
【分析】方程配方得到结果，确定出a与b的值，即可求出a+b的值．   
15、【答案】-2                   
【考点】根与系数的关系               
【解析】【解答】解：设关于x的方程x2+3x+a=0的两根分别为m、n， 
由已知得： {m+n=−3m=−1 ，
解得：n=﹣2．
故答案为：﹣2．
【分析】设关于x的方程x2+3x+a=0的两根分别为m、n，由根与系数的关系可得出m+n=﹣3，结合m=﹣1，即可得出结论．   
16、【答案】3                   
【考点】根与系数的关系               
【解析】【解答】解：设方程另一个根为x1  ， 根据题意得﹣2•x1=﹣6，  所以x1=3．
故答案为3．
【分析】根据根与系数的关系得到﹣2•x1=﹣6，然后解一次方程即可．   
17、【答案】﹣4                   
【考点】根的判别式               
【解析】【解答】解：根据题意得△=42﹣4（﹣k）≥0，解得k≥﹣4，
所以k的最小值为﹣4．
故答案为﹣4．
【分析】根据判别式的意义得到△=42﹣4（﹣k）≥0，然后解不等式确定k的范围，再找出k的最小值即可．   
18、【答案】5                   
【考点】一元二次方程的解               
【解析】【解答】解：把x=1代入方程得a+1﹣6=0，  解得a=5．
故答案为5．
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=1代入方程得到关于a的一次方程，然后解一次方程即可．   
三、解答题
19、【答案】相同点：①都是一元二次方程；
②都化成了一元二次方程的一般形式；
③二次项系数均为1；
④一次项系数均为2；
⑤常数项的绝对值相等；
⑥都是整系数方程等．
不同点：
①常数项符号相反；
②前者方程左边可因式分解，后者实数范围内不能分解

【考点】一元二次方程的定义               
【解析】【解答】相同点：①都是一元二次方程；
②都化成了一元二次方程的一般形式；
③二次项系数均为1；
④一次项系数均为2；
⑤常数项的绝对值相等；
⑥都是整系数方程等．
不同点：
①常数项符号相反；
②前者方程左边可因式分解，后者实数范围内不能分解
【分析】从一元二次方程的概念、系数等进行比较．   
20、【答案】解：设垂直于墙的一边为x米，得：
x（58﹣2x）=200
解得：x1=25，x2=4
∴另一边为8米或50米．
答：当矩形长为25米是宽为8米，当矩形长为50米是宽为4米．                   
【考点】一元二次方程的应用               
【解析】【分析】设垂直于墙的一边为x米，则邻边长为（58﹣2x），利用矩形的面积公式列出方程并解答．   
21、【答案】解：把x=m代入方程x2﹣x﹣1=0可得：m2﹣m﹣1=0，
即m2﹣m=1，
所以5m2﹣5m+2008=5（m2﹣m）+2008=5+2008=2013．                   
【考点】一元二次方程的解               
【解析】【分析】由m是方程x2﹣x﹣1=0的一个根，将x=m代入方程得到关于m的等式，变形后即可求出所求式子的值．   
22、【答案】解：（1）设每台B型空气净化器为x元，A型净化器为（x+300）元，
由题意得， = ，
解得：x=1200，
经检验x=1200是原方程的根，
则x+300=1500，
答：每B型空气净化器、每台A型空气净化器的进价分别为1200元，1500元；
（2）设B型空气净化器的售价为x元，根据题意得；（x﹣1200）（4+ ）=3200，
解得：x=1600，
答：如果每天商社电器销售B型空气净化器的利润为3200元，请问商社电器应将B型空气净化器的售价定为1600元．                   
【考点】一元二次方程的应用，分式方程的应用               
【解析】【分析】（1）设每台B种空气净化器为x元，A种净化器为（x+300）元，根据用6000元购进B种空气净化器的数量与用7500元购进A种空气净化器的数量相同，列方程求解；
（2）根据总利润=单件利润×销量列出一元二次方程求解即可．   
23、【答案】解：方程x2+3=4，x2+2x+1=0，x+y=5不是一元一次方程；
x2+3=4和x2+2x+1=0是一元二次方程；
x+y=5是二元一次方程．                   
【考点】一元一次方程的定义，一元二次方程的定义               
【解析】【分析】根据一元一次方程的定义，一元二次方程的定义，二元一次方程的定义进行求解．   
24、【答案】解：由题意，得m2+1=2且m﹣1≠0，
解得m=﹣1．                   
【考点】一元二次方程的定义               
【解析】【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．