2017年八年级下期中数学试卷（西安市碑林区有答案和解释）

2017年陕西省西安市碑林区八年级（下）期中数学试卷
　
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）不等式 x＜3的解集是（　　）
A．  B．x＞6 C．x＜6 D．
2．（3分）若a＜0，则不等式﹣ax+a＜0的解集是（　　）
A．x＜1 B．x＞1 C．x＜﹣1 D．x＞﹣1
3．（3分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A．  B．  C．  D．
4．（3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，若CD=1，则AB的长是（　　）
A．2 B．  C．  D．4
5．（3分）若等腰三角形的一个内角为80°，则这个等腰三角形的顶角为（　　）
A．80° B．50° C．80°或50° D．80°或20°
6．（3分）如图，在 Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB的垂直平分线交BC于点D，连接AD，则△ACD的周长是（　　）
 
A．7 B．8 C．9 D．10
7．（3分）如图，已知AB=AC=AD，∠CAD=20°，则∠CBD的度数是（　　）
 
A．10° B．15° C．20° D．25°
8．（3分）下列命题的逆命题是真命题的是（　　）
A．如果a＞0，b＜0，则a﹣b＞0 B．两直线平行，同旁内角互补
C．四边形是多边形 D．若a＞0，则|a|=a
9．（3分）下列说法正确的是（　　）
A．平移不改变图形的形状和大小，而旋转改变图形的形状和大小
B．在平面直角坐标系中，一个点向右平移2个单位，则纵坐标加2
C．在成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段都被对称中心平分
D．在平移和旋转图形中，对应角相等，对应线段相等且平行
10．（3分）在平面直角坐标系中，将点P（2， ）绕原点O顺时针旋转90°后得到点P′，则点P′的坐标是（　　）
A．  B．  C．  D．
　
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．（3分）已知点A（a，3）与点B（﹣5，b）关于原点对称，则a+b=　   　．
12．（3分）已知长度为3 cm，4 cm，x cm的三条线段可以构成一个三角形，则x的取值范围是　   　．
13．（3分）直角三角形中，两锐角的角平分线所夹的锐角是　   　度．
14．（3分）将直线y=2x+3向下平移2个单位，得直线　   　．
15 ．（3分）已知O为三边垂直平分线交点，∠BAC=80°，则∠BOC=　   　．
 
16．（3分）将点A向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到点A′（4，5），则点A的坐标是　   　．
17．（3分）用反证法证明“已知五个正数的和等于1，求证：这五个正数中至少有一个大于或等于 ”时，首先要假设　   　．
18．（3分）如图，长为1的线段AB在x轴上移 动C（0，1）、D（0，2），则AC+BD的最小值是　   　．
 
　
三、解答题（共46分）
19．（10分）解不等式（组）：
（1） ﹣ ＞﹣ ．
（2） ．
20．（7分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC= AB．求证：∠A=30°．
 
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点都在格点上，点A的坐标为（1，1）．
（1）将Rt△ABC先向左平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度得到Rt△A1B1C1，请在图中画出Rt△A1B1C1，并写出点A1的坐标．
（2）再将Rt△A 1B1C1绕点A1顺时针旋转90°后得到Rt△A2B2C2，请在图中画出Rt△A2B2C2，并直接写出Rt△A1B1C1在上述旋转过程中点B1所经过的路径长．
 
22．（6分）如图，在四边形BCDE中，∠C=∠BED=90°，∠B=60°，延长CD、BE，两线 相交于点A，已知CD=2，DE=1，求Rt△ABC的面积．
 
23．（8分）某餐厅计划购买12张餐桌和一批椅子（不少于12把），现从甲、乙两商场了解到同一型号的餐桌报价都为每张200元，餐椅报价都为每把50元．甲商场规定：每购买一张餐桌赠送一把餐椅；乙商场规定：所有餐桌、餐椅均按报价的八五折销售，那么，什么情况下到甲商场购买更优惠．
24．（7分 ）如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，AC=4，求四边形ABCD的面积．
 
 　
 

2017年陕西省西安市碑林区八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）不等式 x＜3的解集是（　　）
A．  B．x＞6 C．x＜6 D．
【解答】解：  x＜3，
两边都乘以2得：x＜6，
故选C．
　
2．（3分）若a＜0，则不等式﹣ax+a＜0的解集是（　　）
A．x＜1 B．x＞1 C．x＜﹣1 D．x＞﹣1
【解答】解：﹣ax+a＜0，
﹣ax＜﹣a，
∵a＜0，
∴﹣a＞0，
∴x＜1，
故选A．
　
3．（3分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A．  B．  C．  D．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：B．
　
4．（3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°， BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，若CD=1，则AB的长是（　　）
A．2 B．  C．  D．4
【解答】解：∵∠C=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=180°﹣∠A﹣∠C=60°，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠CBD= ∠ABC=30°，
即在Rt△BCD中，∠CBD=30°，
∴ BD=2CD=2（含30度角的直角三角形的性质），
由勾股定理得：BC= = ，
∵∠A=30°，∠C=90°，
∴AB=2BC=2 ，
故选：B．
 
　
5．（3分）若等腰三角形的一个内角为80°，则这个等腰三角形的顶角为（　　）
A．80° B．50° C．80°或50° D．80°或20°
【解答】解：当80°是等腰三角形的顶角时，则顶角就是80°；
当80°是等腰三角形的底角时，则顶角是180°﹣80°×2=20°．
故选D．
　
6．（3分）如图，在 Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB的垂直平分线交BC于点D，连接AD，则△ACD的周长是（　　）
 
A．7 B．8 C．9 D．10
【解答】解：∵AB的垂直平分线交BC于点D，
∴AD=BD，
∵BC=4，AC=3，
∴CD+AD=CD+BD=BC=4，
∴△ACD的周长为：4+3=7．
故选A．
　
7．（3分）如图，已知AB=AC=AD，∠CAD=20°，则∠CBD的度数是（　　）
 
A．10° B．15° C．20° D．25°
【解答】解：∵AC=AD，∠CAD=20°，
∴∠ACD=∠ADC=80°，
设∠ACB=β，∠CBD=α，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=β，
∴∠ABD=β﹣α，
∵AB=AD，
∴∠ADB=∠ABD=β﹣α，
∴∠BDC=∠ADC﹣∠ADB=80°﹣（β﹣α），
在△BCD中，∠CBD+∠BDC+∠BCD=180°，
∴α+80°﹣（β﹣α）+β+80°=180°，
∴α=10°，
即：∠CBD=10°，
故选A．
　
8．（3分）下列命题的逆命题是真命题的是（　　）
A．如果a＞0，b＜0，则a﹣b＞0 B．两直线平行，同旁内角互补
C．四边形是多边形 D．若a＞0，则|a|=a
【解答】解：A、如果a＞0，b＜0，则a﹣b＞0的逆命题为如果a﹣b＞0，则a＞0，b＜0，此逆命题为假命题；
B、两直线平行，同旁内角互补的逆命题为同旁内角互补，两直线平行，此逆命题为真命题；
C、四边形是多边形的逆命题为多边形为四边形，此逆命题为假命题；
D、若a＞0，则|a|=a的逆命题为若|a|=a，则a＞0，此逆命题为假命题．
故选B．
　
9．（3分）下列说法正确的是（　　）
A．平移不改变图形的形状和大小，而旋转改变图形的形状和大小
B．在平面直角坐标系中，一个点向右平移2个单位，则纵坐标加2
C．在成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段都被对称中心平分
D．在平移和旋转图形中，对应角相等，对应线段相等且平行
【解答】解：A、平移不改变图形的形状和大小，旋转也不改变图形的形状和大小，故此选项错误；
B、在平面直角坐标系中，一点向右平移2个单位，横坐标加2，故此选项错误；
C、在成中心对称的两个图形中，连结对称点的线段都被对称中心平分，此选项正确；
D、在 平移中，对应角相等，对应线段相等且平行，旋转则对应线段有可能不平行，故此选项错误．
故选：C．
　
10．（3分）在平面直角坐标系中，将点P（2， ）绕原点O顺时针旋转90°后得到点P′，则点P′的坐标是（　　）
A．  B．  C．  D．
【解答】解：如图，点P′的坐标是（ ，﹣2）．
 
故选D．
　
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．（3分）已知点A（a，3）与点B（﹣5，b）关于原点对称，则a+b=　2　．
【解答】解：∵点A（a，3）与点B（﹣5，b）关于原点对称，
∴a=5，b =﹣3，
a+b=2，
故答案为：2．
　
12．（3分）已知长度为3 cm，4 cm ，x cm的三条线段可以构成一个三角形，则x的取值范围是　1＜x＜7　．
【解答】解：根据三角形的三边关系，得4﹣3＜x＜4+3，即1＜x＜7．
故答案为1＜x＜7．
　
13．（3分）直角三角形中，两锐角的角平分线所夹的锐角是　45　度．
【解答】解：如图所示
△ACB为Rt△，AD，BE，分别是∠CAB和∠ABC的角平分线，AD，BE相交于一点F．
∵∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠ABC=90°
∵AD，BE，分别是∠CAB和∠ABC的角平分线，
∴∠FAB+∠FBA= ∠CAB+ ∠ABC=45°．
故答案为：45．
 
　
14．（3分）将直线y=2x+3向下平移2个单位，得直线　y=2x+1　．
【解答】解：将直线y=2x+3向下平移2个单位，得到直线y=2x+3﹣2，即y=2x+1．
故答案为：y=2x+1．
　
15．（3分）已知O为三边垂直平分线交点，∠BAC=80°，则∠BOC=　160°　．
 
【解答】解：∵已知点O为三边垂直平分线交点，
∴点O为△ABC的外心，
∴∠BOC=2∠BAC，
∵∠BAC=80°，
∴∠BOC=160°，
故答案为：160°．
　
16．（3分）将点A向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到点A′（4，5），则点A的坐标是　（2，8）　．
【解答】解：把点A′（4，5）向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得对应点A的坐标为（2，8）．
故答案为（2，8）．
　
17．（3分）用反证法证明“已知五个正数的和等于1，求证：这五个正数中至少有一个大于或等于 ”时，首先要假设　这五个数都小于 　．
【解答】解：首先要假设这五个数都小于 ．
故答案为：这五个数都小于 ．
　
18．（3分）如图，长为1的线段AB在x轴上移动C（0，1）、D（0，2），则AC+BD的最小值是　 　．
 
【解答】解：如图所示，以AB，BD为边构造平行四边形ABDE，作点C关于x轴的对称点F，连接AF，则DE⊥y轴，OF=OC=1，
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴BD=AE，DE=AB=1，
∵AB垂直平分线CF，
∴AC=AF，
∴AC+BD=AE+AF，
如图，当点E，A，F在同一直线上时，AE+AF=EF（最短），
此时，∵Rt△DEF中，DE=1，DF=2+1=3，
∴EF= = = ，
∴AC+BD的最小值是 ．
故答案为： ．
 
　
三、解答题（共46分）
19．（10分）解不等式（组）：
（1） ﹣ ＞﹣ ．
（2） ．
【解答】解：（1） ﹣ ＞﹣ ，
去分母得5（2x+1）﹣（1﹣3x）＞﹣2，
去括号得10x+5﹣1+3x＞﹣2，
移项得10x+3x＞﹣2﹣5+1，
合并同类项得13x＞﹣6，
系数化为1得x＞﹣ ；

（2） ，
由①得x≤2，
由②得x＞﹣1．
故不等式组的解集是﹣1＜x≤2．
　
20．（7分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC= AB．求证：∠A=30°．
 
【解答】证明：取AB的中点D，连接CD，
∵∠C=90°，点D是AB的中点，
∴CD=AD=BD= AB，
∴∠A=∠DCA，
∵BC= AB，
∴CD=BD=BC，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠BDC=60°，
∴∠A=∠DCA=30°．
 
　
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点都在格点上，点A的坐标为（1，1）．
（1）将Rt△ABC先向左平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度得到Rt△A1B1C1，请在图中画出Rt△A1B1C1，并写出点A1的坐标．
（2）再将Rt△A1B1C1绕点A1顺时针旋转90°后得到Rt△A2B2C2，请在图中画出Rt△A2B2C2，并直接写出Rt△A1B1C1在上述旋转过程中点B1所经过的路径长．
 
【解答】解：（1）如图所示，Rt△A1B1C1即为所求，点A1的坐标为（﹣4，0）．
 
（2）如图所示，Rt△A2B2C2即为所 求；
∵A1B1= =5，∠B1A1B2=90°，
∴点B1所经过的路径长为 = π．
　
22．（6分）如图，在四边形BCDE中，∠C=∠BED=90°，∠B=60°，延长CD、BE，两线相交于点A，已知CD=2，DE=1，求Rt△ABC的面积．
 
【解答】解：∵∠C=90°，∠B=60°，
∴∠A=30°，
∴AD=2DE=2，
∴AC=AD+CD=4，
设BC=x，则AB=2x，
由勾股定理得，（2x）2﹣x2=16，
解得，x= ，即BC= ，
则Rt△ABC的面积= ×BC×AC= ．
　
23．（8分）某餐厅计划购买12张餐桌和一批椅子（不少于1 2把），现从甲、乙两商场了解到同一型号的餐桌报价都为每张200元，餐椅报价都为每把50元．甲商场规定：每购买一张餐桌赠送一把餐椅；乙商场规定：所有餐桌、餐椅均按报价的八五折销售，那么，什么情况下到甲商场购买更优惠．
【解答】解：设学校计划购买x把餐椅，到甲、乙两商场购买所需要费用分别为y甲、y乙，
①当椅子的数量小于12时，
y甲=2400；
y乙=（200×12+50x）×85%；
当y甲＜y乙时，2400＜2040+ x，
解得：x＞8.47，即x≥9．
②y甲=200×12+50（x﹣12），
即：y甲=1800+50x；
y乙=（200×12+50x）×85%，
即y乙=2040+ x；
当y甲＜y乙时，1800+50x＜2040+ x，
∴x＜32，又根据题意可得：x≥12，
∴12≤x＜32，
综上所述，当购买的餐椅大于等于9少于32把时，到甲商场购买更优惠．
　
24．（7分）如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，AC=4，求四边形ABCD的面积．
 
【解答】解：作AE⊥CD于E，AF⊥CB于F．
∴∠AEC=∠ECF=∠F=90°，
∴四边形AECF是矩形，
∴∠EAF=∠DAB=90°，
∴∠DAE=∠BAF．
∵AD=AB，∠AED=∠ F=90°，
∴△AED≌△AFB，
∴AE=AF，△AED与△AFB的面积相等，
∴四边形AECF是正方形，
∴S四边形ABCD=S正方形AECF= •AC2=8．