2017学年八年级数学下第二次月考试卷（鄂州市鄂城区有答案和解释）

2016-2017学年湖北省鄂州市鄂城区八年级（下）第二次月考数学试卷
　
一、选择题（本大题共10小题，共30分）
1．（3分）下列二次根式中，属于最简二次根式的是 （　　）
A．  B．  C．  D．
2．（3分）正方形面积为36，则对角线的长为（　　）
A．6 B．  C．9 D．
3．（3分）如图，菱形ABCD中对角线相交于点O，且OE⊥AB，若AC=8，BD=6，则OE的长是（　　）
 
A．2.5 B．5 C．2.4 D．不确定
4．（3分）已知直角三角形两边的长为 3和4，则此三角形的周长为（　　）
A．12 B．7+  C．12或7+  D．以上都不对
5．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在D′处，则重叠部分△AFC的面积是（　　）
 
A．8 B．10 C．20 D．32
6．（3分）已知 =﹣x ，则（　　）
A．x≤0 B．x≤﹣3 C．x≥﹣3 D．﹣3≤x≤0
7．（3分）满足下列条件的三角形：
①三边长之比为3：4：5；
②三内角之比为3：4：5；
③n2﹣1，2n，n2+1；
④ ， ，6．
其中能组成直角三角形的是（　　）
A．①③ B．②④ C．①② D．③④
8．（3分）小明准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿竖直插到离岸边1.5m远的水底，竹竿高出水面0.5m，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为（　　）
A．2m B．2.5m C．2.25m D．3m
9．（3分）如图，以正方形ABCD的对角线AC为一边作菱形AEFC，则∠FAB=（　　）
 
A．30° B．45° C．22.5° D．135°
10．（3分）已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE=AP=1，PB= ．下列结论：
①△APD≌△AEB；
②点B到直线AE的距离为 ；
③EB⊥ED；
④S△APD+S△APB=1+ ；
⑤S正方形ABCD=4+ ．
其中正确结论的序号是（　　）
 
A．①③④ B．①②⑤ C．③④⑤ D．①③⑤
　
二.填空题（本大题共9小题，共27分）
11．（3分）已知xy=8，求代数式x +y =　   　．
12．（3分）计算：  =　   　．
1 3．（3分）要在一个长方体中放入一细直木条，现知长方体的长为2，宽为 ，高为 ，则放入木盒的细木条最大长度为　   　．
14．（3分）若a，b，c是直角三角形的三条边长，斜边c上的高的长是h，给出下列结论：
①以a2，b2，c2的长为边的三条线段能组成一个三角形
②以 的长为边的三条线段能组成一个三角形
③以a+b，c+h，h的长为边的三条线段能组成直角三角形
④以 的长为边的三条线段能组成直角三角形
其中所有正确结论的序号为　   　．
15．（3分）如图，点P是▱ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，设它们的面积分别是S1、S2、S3、S4，给出如下结论：
①S1+S3=S2+S4    
②如果S4＞S2，则S3＞S1
③若S3=2S1，则S4=2S2
④若S1﹣S2=S3﹣S4，则P点一定在对角线BD上．
其中正确的结论的序号是　   　（把所有正确结论的序号都填在横线上）．
 
16．（3分）矩形ABCD的∠A的平分线AE分BC成两部分的比为1：3，若矩形ABCD的面积为36，则其周长为　   　．
17．（3分）如图所示，ABCD是一个正方形，其中几块阴影部分的面积如图所示，则四边形BMQN的面积为　   　．
 
18．（3分）在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为：A（﹣2，1），B（﹣3，﹣1），C（1，﹣1）．若以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，那么点D的坐标是　   　．
19．（3分）如图，正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，将△AEF绕其顶点A旋转，在旋转过程中，当BE=DF时，∠BAE的大小是　   　．
 
　
三.解答题（本大题共7小题，共66分）
20．（8分）计算：
（1） ；
（2） ．
21．（5分）先化简，再求值： ，其中 ．
22．（10分）如图，某公园内有一棵大树，为测量树高，小明C处用侧角仪测得∠ADE=30°，量出DC=2m，BC=30m，请帮助小明计算出树高AB．
 
23．（10分）去年某省将地处A、B两地的两所大学合并成了一所综合大学．为了方便A、B两地师生的交往，学校准备在相距2km的A、B两地之间修筑一条笔直公路AB．经测量，在A地的北偏东60°方向，B地的北偏西45°方向的C处有一个半径为0.7km的公园．
（1）在图中画出点C．
（2）问计划修筑的这条公路会不会穿过公园，为什么？
 
24．（10分）如图，把长方形纸片ABCD沿EF折叠后．点D与点B重合，点C落在点C′的位置上．若∠1=60°，AE=1．
（1）求∠2、∠3的度数；
（2）求长方形纸片ABCD的面积S．
 
25．（10分）如图1，在△ABC中，AB=BC，P为AB边上一点，连接CP，以PA、PC为邻边作▱APCD，AC与PD相交于点E，已知∠ABC=∠AEP=α（0°＜α＜90°）．
（1）求证：∠EAP=∠EPA；
（2）▱APCD是否为矩形？请说明理由；
（3）如图2，F为BC中点，连接FP，将∠AEP绕点E顺时针旋转适当的角度，得到∠MEN（点M、N分别是∠MEN的两边与BA、FP延长线的交点）．猜想线段EM与EN之间的数量关系，并证明你的结论．
 
26．（10分）如图，以△ABC的三边为边在BC的同一侧分别作三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF，请回答下列问题：
（1）四边形ADEF是什么四边形？
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？
（3）当△ABC满足什么条件时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在？
 
　
 

2016-2017学年湖北省鄂州市鄂城区八年级（下）第二次月考数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、选择题（本大题共10小题，共30分）
1．（3分）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　）
A．  B．  C．  D．
【考点】74：最简二次根式．
【解答】解：A、 的被开方数中含有分母，故不是最简二次根式，故A选项错误；
B、 =2 ，二次根式的被开方数中含有没开的尽方的数，故不是最简二次根式，故B选项错误；
C、 =2，二次根式的被开方数中含有没开的尽方的数，故不是最简二次根式，故C选项错误；
D、 符合最简二次根式的定义，是最简二次根式，故D选项正确．
故选：D．
　
2．（3分）正方形面积为36，则对角线的长为（　　）
A．6 B．  C．9 D．
【考点】LE：正方形的性质．
【解答】解：设对角线长是x．则有
 x2=36，
解得：x=6 ．
故选：B．
　
3．（3分）如图，菱形ABCD中对角线相交于点O，且OE⊥AB，若AC=8，BD=6，则OE的长是（　　）
 
A．2.5 B．5 C．2.4 D．不确定
【考点】L8：菱形的性质；KQ：勾股定理．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥DB，AO= AC，BO= BD，
∵AC=8，BD=6，
∴AO=4，BO=3，S菱形ABCD= ×8×6=24，
∴AB= =5，S△AOB=6，
∵ •AB•EO= ×AO×BO，
∴5EO=4×3，
EO= ，
故选：C．
　
4．（3分）已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（　　）
A．12 B．7+  C．12或7+  D．以上都不对
【考点】KQ：勾股定理．
【解答】解：设Rt△ABC的第三边长为x，
①当4为直角三角形的直角边时，x为斜边，
由勾股定理得，x=5，此时这个三角形的周长=3+4+5=12；
②当4为直角三角形的斜边时，x为直角边，
由勾股定理得，x= ，此时这个三角形的周长=3+4+ ，
故选C．
　
5．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在D′处，则重叠部分△AFC的面积是（　　）
 
A．8 B．10 C．20 D．32
【考点】PB：翻折变换（折叠问题）．
【解答】解：重叠部分△AFC的面积是矩形ABCD的面积减去△FBC与△AFD’的面积再除以2，
矩形的面积是32，
∵AB∥CD，
∴∠ACD=∠CAB，
∵△ACD′由△ACD翻折而成，
∴∠ACD=∠ACD′，
∴∠ACD′=∠CAB，
∴AF=CF，
∵BF=AB﹣AF=8﹣AF，
∴CF2=BF2+BC2
∴AF2=（8﹣AF）2+42
∴AF=5，BF=3
∴S△AFC=S△ABC﹣S△BFC=10．
故选B．
 
　
6．（3分）已知 =﹣x ，则（　　）
A．x≤0 B．x≤﹣3 C．x≥﹣3 D．﹣3≤x≤0
【考点】73：二次根式的性质与化简．
【解答】解：∵ =﹣x ≥0，
∴x≤0，x+3≥0，
∴﹣3≤x≤0，
故选D．
　
7．（3分）满足下列条件的三角形：
①三边长之比为3：4：5；
②三内角之比为3：4：5；
③n2﹣1，2n，n2+1；
④ ， ，6．
其中能组成直角三角形的是（　　）
A．①③ B．②④ C．①② D．③④
【考点】KS：勾股定理的逆定理；K7：三角形内角和定理．
【解答】解：①三边长之比为3：4：5；则有（3x）2+（4x）2=（5x）2，为直角三角形；
②三个内角度数之比为3：4：5，
则各角度数分别为180°× =45°，180°× =60°，180°× =75°，不是直角三角形；
③∵（n2﹣1）2+（2n）2=（n2+1）2，∴是直角三角形，∠C是直角．
④∵（ +1）2+（ ﹣1）2≠62，∴不是直角三角形；
故选：A．
　
8．（3分）小明准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿竖直插到离岸边1.5m远的水底，竹竿高出水面0.5m，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为（　　）
A．2m B．2.5m C．2.25m D．3m
【考点】KU：勾股定理的应用．
【解答】解：若假设竹竿长x米，则水深（x﹣0.5）米，由题意得，
x2=1.52+（x﹣0.5）2解之得，x=2.5
所以水深2.5﹣0.5=2米．
故选A．
 
　
9．（3分）如图，以正方形ABCD的对角线AC为一边作菱形AEFC，则∠FAB=（　　）
 
A．30° B．45° C．22.5° D．135°
【考点】L8：菱形的性质；LE：正方形的性质．
【解答】解：因为AC为正方形ABCD的对角线，则∠CAE=45°，又因为菱形的每一条对角线平分一组对角，则∠FAB=22.5°，
故选：C．
　
10．（3分）已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE=AP=1，PB= ．下列结论：
①△APD≌△AEB；
②点B到直线AE的距离为 ；
③EB⊥ED；
④S△APD+S△APB=1+ ；
⑤S正方形ABCD=4+ ．
其中正确结论的序号是（　　）
 
A．①③④ B．①②⑤ C．③④⑤ D．①③⑤
【考点】LE：正方形的性质；KB：全等三角形的判定；KU：勾股定理的应用．
【解答】解：①∵∠EAB+∠BAP=90°，∠PAD+∠BAP=90°，
∴∠EAB=∠PAD，
又∵AE=AP，AB=AD，
∴△APD≌△AEB（故①正确）；
③∵△APD≌△AEB，
∴∠APD=∠AEB，
又∵∠AEB=∠AEP+∠BEP，∠APD=∠AEP+∠PAE，
∴∠BEP=∠PAE=90°，
∴EB⊥ED（故③正确）；
②过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，
∵AE=AP，∠EAP=90°，
∴∠AEP=∠APE=45°，
又∵③中EB⊥ED，BF⊥AF，
∴∠FEB=∠FBE=45°，
又∵BE= = = ，
∴BF=EF= （故②不正确）；
④如图，连接BD，在Rt△AEP中，
∵AE=AP=1，
∴EP= ，
又∵PB= ，
∴BE= ，
∵△APD≌△AEB，
∴PD=BE= ，
∴S△ABP+S△ADP=S△ABD﹣S△BDP= S正方 形ABCD﹣ ×DP×BE= ×（4+ ）﹣ × × = + ．（故④不正确）．
⑤∵EF=BF= ，AE=1，
∴在Rt△ABF中，AB2=（AE+EF）2+BF2=4+ ，
∴S正方形ABCD=AB2=4+ （故⑤正确）；
故选：D．
 
　
二.填空题（本大题共9小题，共27分）
11．（3分）已知xy=8，求代数式x +y =　±4 　．
【考点】78：二次根式的加减法．
【解答】解：∵xy=8，
∴当x＜0，y＜0时，原式=  +  =﹣2 =﹣4 ；
当x＞0，y＞0时，原式=4 ．
故答案为：±4
　
12．（3分）计算：  =　5﹣2 　．
【考点】79：二次根式的混合运算．
【解答】解：原式=[（2 +5）（2 ﹣5）2007•（2 ﹣5）
=（24﹣25）2007•（2 ﹣5）
=﹣（2 ﹣5）
=5﹣2 ．
故答案为5﹣2 ．
　
13．（3分）要在一个长方体中放入一细直木条，现知长方体的长为2，宽为 ，高为 ，则放入木盒的细木条最大长度为　3　．
【考点】KU：勾股定理的应用．
【解答】解：由题意可知FG= 、EF=2、CG= ，连接EG、CE，
在直角△EFG中，
EG= = = ，
在Rt△EGC中，EG= ，CG= ，
由勾股定理得CE= =3，
故答案为：3．
 
　
14．（3分）若a，b，c是直角三角形的三条边长，斜边c上的高的长是h，给出下列结论：
①以a2，b2，c2的长为边的三条线段能组成一个三角形
②以 的长为边的三条线段能组成一个三角形
③以a+b，c+h，h的长为边的三条线段能组成直角三角形
④以 的长为边的三条线段能组成直角三角形
其中所有正确结论的序号为　②③　．
【考点】KS：勾股定理的逆定理；K6：三角形三边关系．
【解答】解：（1）直角三角形的三条边满足勾股定理a2+b2=c2，因而以a2，b2，c2的长为边的三条线段不能满足两边之和＞第三边，故不能组成一个三角形，故错误；

（2）直角三角形的三边有a+b＞c（a，b，c中c最大），而在 三个数中 最大，如果能组成一个三角形，则有 成立，即 ，即a+b+ ，（由a+b＞c），则不等式成立，从而满足两边之和＞第三边，则以 的长为边的三条线段能组成一个三角形，故正确；

（3）a+b，c+h，h这三个数中c+h一定最大，（a+b）2+h2=a2+b2+2ab+h2，（c+h）2=c2+h2+2ch
又∵2ab=2ch=4S△ABC
∴（a+b）2+h2=（c+ h）2，根据勾股定理的逆定理
即以a+b，c+h，h的长为边的三条线段能组成直角三角形．故正确；

（4）若以 的长为边的3条线段能组成直角三角形，
假设a=3，b=4，c=5，
∵（ ）2+（ ）2≠（ ）2，
∴以这三个数的长为线段不能组成直角三角形，故错误．
故填②③．
　
15．（3分）如图，点P是▱ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，设它们的面积分别是S1、S2、S3、S4，给出如下结 论：
①S1+S3=S2+S4    
②如果S4＞S2，则S3＞S1
③若S3=2S1，则S4=2S2
④若S1﹣S2=S3﹣S4，则P点一定在对角线BD上．
其中正确的结论的序号是　①④　（把所有正确结论的序号都填在横线上）．
 
【考点】L5：平行四边形的性质．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，
设点P到AB、BC、CD、DA的距离分别为h1、h2、h3、h4，
则S1= ABh1，S2= BCh2，S3= CDh3，S4= ADh4，
∵ ABh1+ CDh3= AB•hAB，  BCh2+ ADh4= C•hBC，
又∵S平行四边形ABCD=AB•hAB=BC•hBC
∴S2+S4=S1+S3，故①正确；
根据S4＞S2只能判断h4＞h2，不能判断h3＞h1，即不能得出S3＞S1，∴②错误；
根据S3=2S1，能得出h3=2h1，不能推出h4=2h2，即不能推出S4=2S2，∴③错误；
∵S1﹣S2=S3﹣S4，
∴S1+S4=22+S3=S平行四边形ABCD，
此时S1+S4=S2+S3=S△ABD=S△BDC= S平行四边形ABCD，
即P点一定在对角线BD上，
∴④正确；
故答案为：①④．
　
16．（3分）矩形ABCD的∠A的平分线AE分BC成两部分的比为1：3，若矩形ABCD的面积为36，则其周长为　30或14 　．
【考点】LB：矩形的性质．
【解答】解：
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE=∠EAB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，DC=AB，AD∥BC，
∴∠DEA=∠BEA，
∴∠EAB=∠BEA，
∴AB=BE，
①设BE=x，CE=3x，则AD=4x，AB=x，
∵矩形ABCD的面积为36，
∴x•4x=36，
解得：x=3，
即AD=BC=4x=12，AB=CD=x=3，
∴矩形的周长为：AB+BC+CD+AD=2×（3+12）=30；
②设BE=3x，CE=x，则AD=4x，AB=3x，
∵矩形ABCD的面积为36，
∴3x•4x=36，
解得：x= ，
即AD=BC=4x=4 ，AB=CD=3x=3 ，
∴矩形的周长为：AB+BC+CD+AD=2×（4 +3 ）=14 ；
故答案为：30或14 ．
　
17．（3分）如图所示，ABCD是一个正方形，其中几块阴影部分的面积如图所示，则四边形BMQN的面积为　24　．
 
【考点】LE：正方形的性质．
【解答】解：S四边形BMQN=S正方形ABCD﹣（S△ADN+S△DMC﹣S四边形PQRD）﹣S△APM﹣S△CNR
=S正方形ABCD﹣S正方形ABCD+S四边形PQRD﹣S△APM﹣S△CNR
=51﹣15﹣12
=24．
故答案为：24．
　
18．（3分）在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为：A（﹣2，1），B（﹣3，﹣1），C（1，﹣1）．若以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，那么点D的坐标是　（﹣6，1）或（2，1）或（0，﹣3）　．
【考点】D5：坐标与图形性质 ；L5：平行四边形的性质．
【解答】解：过点A、D作AE⊥BC、DF⊥BC，垂足分别为E、F
∵以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，
∴AD∥BC，B（﹣3，﹣1）、C（1，﹣1）；
∴BC∥x轴∥AD，又A（﹣2，1）．
∴点D纵坐标为1；
∵▱ABCD中，AE⊥BC，DF ⊥BC．
∴△ABE≌△DCF
∴CF=BE=1；
∴点D横坐标为1+1=2
∴点D（2，1）．
同理可得D点坐标还可以为（﹣6，1）或（2，1）或（0，﹣3）；
故点D为（﹣6，1）或（2，1）或（0，﹣3）．
 
　
19．（3分）如图，正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，将△AEF绕其顶点A旋转，在旋转过程中，当BE=DF时，∠BAE的大小是　15°或165°　．
 
【考点】R2：旋转的性质；KK：等边三角形的性质；LE：正方形的性质．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，AB=AD，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE=AF，∠EAF=60°，
分两种情况：
①如图，当正△AEF在正方形ABCD内部时，
在△ABE和△ADF中，
∴△ABE≌△ADF（SSS），
∴∠BAE=∠DAF= （90°﹣60°）=15°
②如图，当正△AEF在正方形ABCD外部时，
在△ABE和△ADF中，
∴△ABE≌△ADF（SSS），
∴∠BAE=∠DAF= （360°﹣90°+60°）=165°
故答案为：15°或165°．
 
 
　
三. 解答题（本大题共7小题，共66分）
20．（8分）计算：
（1） ；
（2） ．
【考点】79：二次根式的混合运算．
【解答】解：（1）原式=5+2 +2﹣（5﹣2 +2）
=7+2 ﹣7+2
=4 ；
（2）原式=（9 + ﹣2 ）÷4
=8 ÷4
=2．
　
21．（5分）先化简，再求值： ，其中 ．
【考点】6D：分式的化简求值．
【解答】解：原式= • = • = ，
当a= ﹣1时，原式= ．
　
22．（10分）如图，某公园内有一棵大树，为测量树高，小明C处用侧角仪测得∠ADE=30°，量出DC=2m，BC=30m，请帮助小明计算出树高AB．
 
【考点】KU：勾股定理的应用．
【解答】解：∵在D处用测角仪测得树顶端A的仰角为30°，
∴∠ADE=30°， ED=CB=30cm，
∴AE=DE•tan30°=30× =10 ，
∵DC=2m，
则树高AB=AE+EB=AE+DC=（10 +2）m．
答：树高AB约为（10 +2）米．
　
23．（10分）去年某省将地处A、B两地的两所大学合并成了一所综合大学．为了方便A、B两地师生的交往，学校准备在相距2km的A、B两地之间修筑一条笔直公路AB．经测量，在A地的北偏东60°方向，B地的北偏西45°方向的C处有一个半径为0.7km的公园．
（1）在图中画出点C．
（2）问计划修筑的这条公路会不会穿过公园，为什么？
 
【考点】TB：解直角三角形的应用﹣方向角问题．
【解答】解：（1）根据题意如图：
 

（2）过点C作CD⊥AB于D，
设CD为xkm，则BD为xkm，AD为 km，则有x+ x=2，
解得：x= ﹣1≈0.7321＞0.7，
则计划修筑的这条公路不会穿过公园．
　
24．（10分）如图，把长方形纸片ABCD沿EF折叠后．点D与点B重合，点C落在点C′的位置上．若∠1=60°，AE=1．
（1）求∠2、∠3的度数；
（2）求长方形纸片ABCD的面积S．
 
【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；LB：矩形的性质．
【解答】解：（1）∵AD∥BC，
∴∠2=∠1=60°；
又∵∠4=∠2=60°，
∴∠3=180°﹣60°﹣60°=60°．

（2）在直角△ABE中，由（1）知∠3=60°，
∴∠5=90°﹣60°=30°；
∴BE=2AE=2，
∴AB= = ；
∴AD=AE+DE=AE+BE=1+2=3，
∴长方形纸片ABCD的面积S为：AB•AD= ×3=3 ．
 
　
25．（10分）如图1，在△ABC中，AB=BC，P为AB边上一点，连接CP，以PA、PC为邻边作▱APCD，AC与PD相交于点E，已知∠ABC=∠AEP=α（0°＜α＜90°）．
（1）求证：∠EAP=∠EPA；
（2）▱APCD是否为矩形？请说明理由；
（3）如图2，F为BC中点，连接FP，将∠AEP绕点E顺时针旋转适当的角度，得到∠MEN（点M、N分别是∠MEN的两边与BA、FP延长线的交点）．猜想线段EM与EN之间的数量关系，并证明你的结论．
 
【考点】R2：旋转的性质；KB：全等三角形的判定；KH：等腰三角形的性质；L5：平行四边形的性质；LC：矩形的判定．
【解答】（1）证明：在△ABC和△AEP中，
∵∠ABC=∠AEP，∠BAC=∠EAP，
∴∠ACB=∠APE，
在△ABC中，AB=BC，
∴∠AC B=∠BAC，
∴∠EPA=∠EAP．

（2）解：▱APCD是矩形．理由如下：
∵四边形APCD是平行四边形，
∴AC=2EA，PD=2EP，
∵由（1）知∠EPA=∠EAP，
∴EA=EP，
则AC=PD，
∴▱APCD是矩形．

（3）解：EM=EN．
证明：∵EA=EP，
∴∠EPA= = =90°﹣ α，
∴∠EAM=180°﹣∠EPA=180°﹣（90°﹣ α）=90°+ α，
由（2）知∠CPB=90°，F是BC的中点，
∴FP=FB，
 ∴∠FPB=∠ABC=α，
∴∠EPN=∠EPA+∠APN=∠EPA+∠FPB=90°﹣ α+α=90°+ α，
∴∠EAM=∠EPN，
∵∠AEP绕点E顺时针旋转适当的角度，得到∠MEN，
∴∠AEP=∠MEN，
∴∠AEP﹣∠AEN=∠MEN﹣∠AEN，即∠MEA=∠NEP，
在△EAM和△EPN中，
 
∴△EAM≌△EPN（ASA），
∴EM=EN．
　
26．（10分）如图，以△ABC的三边为边在BC的同一侧分别作三个等边三角形，即△ ABD、△BCE、△ACF，请回答下列问题：
（1）四边形ADEF是什么四边形？
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？
（3）当△ABC满足什么条件时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在？
 
【考点】LC：矩形的判定；KD：全等三角形的判定与性质；L6：平行四边形的判定．
【解答】解：（1）四边形ADEF是平行四边形．
理由：∵△ABD，△EBC都是等边三角形．
∴AD=BD=AB，BC=BE=EC
∠DBA=∠EBC=60°
∴∠DBE+∠EBA=∠ABC+∠EBA．
∴∠DBE=∠ABC．
在△DBE和△ABC中
∵BD=BA
∠DBE=∠ABC
BE=BC，
∴△DBE≌△ABC．
∴DE=AC．
又∵△ACF是等边三角形，
∴AC=AF．
∴DE=AF．
同理可证：AD=EF，
∴四边形ADEF平行四边形．

（2）∵四边形ADEF是矩形，
∴∠FAD=90°．
∴∠BAC=360°﹣∠DAF﹣∠DAB﹣∠FAC=360°﹣90°﹣60°﹣60°=150°．
∴∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形．

（3）当∠BAC=60°时，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在．
理由如下：
若∠BAC=60°，则∠DAF=360°﹣∠BAC﹣∠DAB﹣∠FAC=360°﹣60°﹣60°﹣60°=180°．
此时，点A、D、E、F四点共线，
∴以A、D、E、F为顶点的四边形不存在．