2017年七年级数学上1.2数轴相反数和绝对值教案(沪科版)

1．2　数轴、相反数和绝对值
第1课时　数轴
 
1．掌握数轴的三要素，会用数轴上的点表示给定的有理数，会根据数轴上的点读出所表示的有理数．
2．理解任何有理数都可以用数轴上唯一的一个点表示出来．
3．初步理解数形结合的数学思想．
 
重点
数轴的概念及其画法．
难点
数轴的画法以及有理数与数轴上的点的对应关系．
 
一、复习旧知，导入新知
回顾：你能说说什么叫正数，什么叫负数，什么叫有理数吗？
教师提问：(1)观察带有刻度的尺子，边缘上的点是如何表示数的呢？
(2)能不能用一条直线上的点来表示有理数呢？
二、自主合作，感受新知
回顾以前学的知识、阅读课文并结合生活实际，完成《探究在线•高效课堂》“预习导学”部分．
三、师生互动，理解新知
探究点一：认识数轴
问题1：让机器人在一条直路上做走步取物试验．根据指令：它由O处出发，向西走3 m到达A处，拿取物品，然后，返回O处将物品放入蓝中，再向东走2 m到达B处取物．
(1)在下面的直线上画出A，B两处的位置．
______________________________________
(2)把向东走记作“＋”，向西走记作“－”，在上面的直线上标出与A，B相对应的数．
问题2：观察温度计，在温度计上有刻度，刻度上有度数，根据温度计的液面的不同位置就可以读出不同的数，从而得到所测的温度．在0上10个刻度，表示10℃；在0下5个刻度，表示－5℃.
温度计可以看作表示正数、0、负数的直线吗？它和刚才那个的图有什么共同点，有什么不同点？
教师：由上述两问题我们得到什么启发？你能用一条直线上的点表示有理数吗？与温度计类似，我们也可以在一条直线上画出刻度，标上读数，用直线上的点表示正数、负数和零．
具体方法如下(边说边画)：
(1)画一条水平的直线，在这条直线上任取一点作为原点(通常取适中的位置，如果所需的都是正数，也可偏向左边)，用这点表示0(相当于温度计上的0℃)；
(2)规定直线上从原点向右为正方向(箭头所指的方向)，那么从原点向左为负方向(相当于温度计上0℃以上为正，0℃以下为负)；
(3)选取适当的长度作为单位长度，在直线上，从原点向右，每隔一个长度单位取一点，依次表示为1，2，3，…从原点向左，每隔一个长度单位取一点，依次表示为－1，－2，－3，…
在此基础上，给出数轴的定义，即：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．
进而提问：在数轴上，已知一点P表示数－5，如果数轴上的原点不选在原来位置，而改选在另一位置，那么P对应的数是否还是－5？如果单位长度改变呢？如果直线的正方向改变呢？
通过上述提问，向学生指出：数轴的三要素——原点、正方向和单位长度，缺一不可．
探究点二：有理数与数轴上的点
提问：我们能不能用这条直线表示任何有理数？(可列举几个数)
教师指出：任何有理数都可以用数轴上的唯一的一个点来表示，但数轴上的点不一定都表示有理数，这个问题以后再研究．
思考：(1)如果给你一些数，你能相应地在数轴上找出它们的准确位置吗？如果给你数轴上的点，你能读出它所表示的数吗？
(2)哪些数在原点的左边，哪些数在原点的右边，由此你会发现什么规律？
(3)如果a为正数，那么数轴上表示a的点在原点的哪边？到原点的距离是多少？－a呢？
(小组讨论，交流归纳)
归纳：一般地，设a是一个正数，则数轴上表示a的点在原点的右边，到原点的距离是a个单位长度；表示－a的点在原点的左边，到原点的距离是a个单位长度．
四、应用迁移，运用新知
1．认识数轴
例1　下列图形中是数轴的是(　　)
A. 　　　B. 
C.   D. 
解析：A中没有单位长度，错误；B中没有正方向，错误；C中满足原点、正方向、单位长度，正确；D中没有原点，错误．
方法总结：要判断一条直线是不是数轴，要抓住它的三要素：原点、正方向和单位长度，三者缺一不可．
2．读出数轴上的点所表示的数
例2　见课本P8例1.
方法总结：在确定数字时，要认真观察已知点是在原点的左边还是右边．对于点A，D这种情况，要注意它们所表示的数是在哪两个整数之间．
3．在数轴上表示有理数
例3　见课本P8例2.
方法总结：用数轴上的点表示数时，首先由数的性质符号确定该数应在原点的左边还是右边，然后再根据该数到原点的距离，确定位置．
4．数轴上两点间的距离问题
例4　数轴上的点A表示的数是＋2，那么与点A相距5个单位长度的点表示的数是(　　)
A．5　　B．±5　　C．7　　D．7或－3
解析：与点A相距5个单位长度的点表示的数有2个，分别是7或－3.
方法总结：解答此类问题要注意考虑两种情况，即要求的点在已知点的左侧或右侧．
五、尝试练习，掌握新知
课本P9练习第1、2题．
《探究在线•高效课堂》“随堂演练”部分．
六、课堂小结，梳理新知
通过本节课的学习，我们都学到了哪些数学知识和方法？
本节课学习了数轴，一条直线只有具备了原点、正方向和单位长度才能成为数轴．所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来．数轴的引入，使我们能用直观图形来理解数的有关概念，这就是数形的结合，它是一种很重要的数学思想方法，我们应特别注意掌握．
七、深化练习，巩固新知
课本P12习题1.2第4题．

第2课时　相反数

 
1．在具体的情境中了解相反数，能求一个数的相反数．
2．了解两个相反数在数轴上的特征，懂得相反数的对立统一的关系．
 
重点
理解相反数的概念和求一个数的相反数．
难点
相反数概念的理解．
 
一、复习旧知，导入新知
回顾：在数轴上表示＋3的点在原点的______侧，在数轴上表示－3的点在原点的______侧；距原点5个单位的点是______．(要求学生画数轴并描点)
观察上述数轴上的点的特点，并找出还有哪些点具有同样的特点．＋3与－3这样成对出现的数就是我们今天要学习的相反数．
二、自主合作，感受新知
回顾以前学的知识、阅读课文并结合生活实际，完成《探究在线•高效课堂》“预习导学”部分．
三、师生互动，理解新知
探究点一：相反数的意义
问题： 首先，画一条数轴，然后在数轴上标出下列各点：2与－2，4与－4，12与－12.请同学们观察：
(1)上述这三对数有什么特点？
(2)表示这三对数的数轴上的点有什么特点？
(3)请你再写出同样的几对点来？
 
显然：(1)上面的这三对数中，每一对数数值相同，只有符号不同．
(2)这三对数所对应的点中每一组中的两个点，一个在原点的左边，一个在原点的右边，而且离开原点的距离相同．
1. 相反数的概念
像以上这样，只有符号不同的两个数互为相反数，如2与－2互为相反数，即2的相反数是－2，－2的相反数是2.
说明：(1)从数轴上看，位于原点两旁，且与原点距离相等的两点所表示的两个数互为相反数．如4与－4是互为相反数．
(2)0的相反数是0.也只有0的相反数是它的本身．
2．相反数的表示
在一个数的前面添上“－”号就成为原数的相反数．若a表示一个有理数，则a的相反数表示为－a.在一个数的前面添上“＋”号仍与原数相同．例如，＋7＝7，特别地，＋0＝0，－0＝0.
3．相反数的特性
若a、b互为相反数，则a＋b＝0；反之若a＋b＝0，则a、b互为相反数．
探究点二：多重符号的化简
提出问题：a前面加“－”表示a的相反数，－(＋1.1)表示什么？－(－7)呢？－(－9.8)呢？它们的结果应是多少？
学生活动：讨论、分析、回答．
学生回答后教师引导：在一个数前面加上“－”表示这个数的相反数，如果在这些数前面加上“＋”呢？
学生讨论后回答．
说明：(1)相反数的意义是简化多重符号的依据．如－(－1)是－1的相反数，而－1的相反数为＋1，所以－(－1)＝＋1＝1.
(2)多重符号化简的结果是由“－”号的个数决定的．如果“－”号是奇数个，则结果为负；如果是偶数个，则结果为正．可简写为“奇负偶正”．
归纳：化简一个数就是把多重符号化成单一符号，若结果是“＋”号，一般省略不写．
四、应用迁移，运用新知
1．相反数的代数意义
例1　见课本P10例3.
方法总结：求一个数的相反数，只需改变它前面的符号，符号后面的数不变；0的相反数是0.
2．相反数的几何意义
例2　(1)数轴上离原点3个单位长度的点所表示的数是______，它们的关系为______．
(2)在数轴上，若点A和点B分别表示互为相反数的两个数，点A在点B的左侧，并且这两个数的距离是12.8，则A＝______，B＝______．
解析：(1)左边距离原点3个单位长度的点所表示的数是－3；右边距离原点3个单位长度的点所表示的数是3，所以距离原点3个单位长度的点所表示的数是3或－3.它们互为相反数；(2)因为点A和点B分别表示互为相反数的两个数，所以原点到点A与点B的距离相等，原点到点A和点B的距离都等于6.4.因为点A在点B的左侧，所以这两点所表示的数分别是－6.4，6.4.
方法总结：本题考查了相反数的几何意义，解题时应从相反数的意义入手，明确互为相反数的两数到原点距离相等．
3．相反数与数轴相结合的问题
例3　如图，图中数轴(缺原点)的单位长度为1，点A，B表示的两数互为相反数，则点C所表示的数为(　　)
 
A．2　　B．－4　　C．－1　　D．0
解析：由题意如图，
 
数轴向右为正方向，数轴(缺原点)的单位长度为1，所以点C所表示的数为－1.
方法总结：先在数轴上找到原点，从而确定点C所表示的数，同时牢记互为相反数的两个点到原点的距离相等．
4．多重符号的化简
例4　化简下列各数：
(1)－(－8)＝______；
(2)－(＋1518)＝______；
(3)－[－(＋6)]＝______；
(4)＋(＋35)＝______．
解析：(1)－(－8)表示－8的相反数；
(2)－(＋1518)表示1518的相反数；
(3)先看括号内－(＋6)表示＋6的相反数，即－6，所以－[－(＋6)]＝－(－6)；
(4)正数前面的“＋”号可以省略．
解：(1)8；(2)－1518；(3)6；(4)35.
方法总结：化简多重符号时，只需数一下数字前面有多少个负号，若有偶数个，则结果为正；若有奇数个，则结果为负．
五、尝试练习，掌握新知
课本P10练习第1、2、3题．
《探究在线•高效课堂》“随堂演练”部分．
六、课堂小结，梳理新知
通过本节课的学习，我们都学到了哪些数学知识和方法？
本节课学习了相反数的意义，并认识了相反数在数轴上的特征，数a的相反数是－a，0的相反数是0，在数轴上，表示互为相反数(零除外)的两个点，位于原点的两侧，并且到原点的距离相等．
七、深化练习，巩固新知
课本P12习题1.2第1、2、5题．
第3课时　绝对值

 
1．借助数轴，初步理解绝对值的概念，能求一个数的绝对值．
2．通过应用绝对值解决实际问题，体会绝对值的意义和作用．
 
重点
正确理解绝对值的概念，能求一个数的绝对值．
难点
正确理解绝对值的几何意义和代数意义．
 
一、复习旧知，导入新知
回顾：(1)在数轴上分别标出－5，3.5，0及它们的相反数所对应的点．
(2)在数轴上找出与原点距离等于6的点．　
(3)相反数是怎样定义的？
引导学生从代数与几何两方面的特点出发回答相反数的定义．从几何方面可以说在数轴上原点两旁，离原点距离相等的两个点所表示的两个数互为相反数；从代数方面说只有符号不同的两个数互为相反数．那么互为相反数的两个数有什么相同的特征呢？由此引入新课，归纳出绝对值的定义．
二、自主合作，感受新知
回顾以前学的知识、阅读课文并结合生活实际，完成《探究在线•高效课堂》“预习导学”部分．
三、师生互动，理解新知
探究点一：绝对值的代数与几何意义
问题1：在练习本上画一个数轴，并标出表示－4，12，0及它们的相反数的点．
学生活动：一个学生板演，其他学生在练习本上画．
提问：－4与4是相反数，它们只有符号不同，它们什么相同呢？
学生活动：思考讨论．
教师归纳：在数轴上标出到原点距离是4个单位长度的点，显然A点(表示4的点)到原点的距离是4，B点(表示－4的点)到原点距离同样是4个单位长度，两者相同，我们把这个距离叫＋4与－4的绝对值．
－4的绝对值是表示－4的点到原点的距离，－4的绝对值是4；4的绝对值是表示4的点到原点的距离，4的绝对值是4.
学生活动：(1)12的绝对值表示什么？－12呢？0呢？(2)思考：a的绝对值呢？
教师小结归纳：在数轴上，表示数a的点到原点的距离，叫做数a的绝对值，记作|a|.
探究点二：绝对值的非负性
思考：从上面结果中，你能发现什么规律？(小组讨论，合作学习)．
引导学生得出：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．
因为正数可用a>0来表示，负数可用a<0来表示，所以上述三条可改写成：
(1)如果a>0，那么|a|＝a，
(2)如果a<0，那么|a|＝－a，
(3)如果a＝0，那么|a|＝0.
上面这几个式子可合并写成：
|a|＝a　（a>0）0  （a＝0）－a  （a<0）
由上面的几个式子可以看出，不论a取何值，它的绝对值总是正数或0(通常也称为非负数)，即对任意有理数a而言，总有：|a|≥0.
这是一条非常重要的性质，这里的“非负”就是“不是负数”，而有可能是正数或者是0.
上面的这几个式子还告诉咱们怎样求一个数的绝对值：
如果求一个正数的绝对值，根据法则，就直接写出结果即可．
如果求一个负数的绝对值，根据法则，就需要找它的相反数．
而就“0”而言，它的绝对值就是它本身．
四、应用迁移，运用新知
1．求一个数的绝对值
例1　见课本P11例4.
例2　－3的绝对值是(　　)
A．3　　　B．－3　　　 C．－13　　　 D.13
解析：根据一个负数的绝对值是它的相反数，所以－3的绝对值是3.
方法总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
2．利用绝对值求有理数
例3　如果一个数的绝对值等于23，则这个数是______．
解析：因为23或－23的绝对值都等于23，所以绝对值等于23的数是23或－23.
方法总结：绝对值等于某一个数(0除外)的值有两个，它们互为相反数．
3．绝对值的非负性及应用
例4　若|a－3|＋|b－2015|＝0，求a，b的值．
解析：由绝对值的性质可得|a－3|≥0，|b－2015|≥0.
解：由题意得|a－3|≥0，|b－2015|≥0，又因为|a－3|＋|b－2015|＝0，所以|a－3|＝0，|b－2015|＝0，所以a＝3，b＝2015.
方法总结：如果几个非负数的和为0，那么这几个非负数都等于0.
4．含绝对值的化简计算
例5　化简：－35＝______；
－|－1.5|＝______；|－(－2)|＝______．
解析：－35＝35；－|－1.5|＝－1.5；|－(－2)|＝|2|＝2.
方法总结：根据绝对值的意义解答．即若a＞0，则|a|＝a；若a＝0，则|a|＝0；若a＜0，则|a|＝－a.
5．绝对值在实际问题中的应用
例6　第53届世乒赛于2015年4月26日至5月3日在苏州举办，此次比赛中对球的质量有严格的规定，下表是6个乒乓球质量检测的结果(单位：克，超过标准质量的克数记为正数)．

一号球 二号球 三号球 四号球 五号球 六号球
－0.5 0.1 0.2 0 －0.08 －0.15
　　(1)请找出三个误差相对较小一些的乒乓球，并用绝对值的知识说明．
(2)若规定与标准质量误差不超过0.1 g的为优等品，超过0.1 g但不超过0.3 g的为合格品，在这六个乒乓球中，优等品、合格品和不合格品分别是哪几个乒乓球？请说明理由．
 解析：由绝对值的几何定义可知，一个数的绝对值越小，离原点越近．将实际问题转化为距离标准质量越小，即绝对值越小，就越接近标准质量．
解：(1)四号球，|0|＝0，正好等于标准的质量，五号球，|－0.08|＝0.08，比标准球轻0.08克，二号球，|＋0.1|＝0.1，比标准球重0.1克；
(2)一号球|－0.5|＝0.5，不合格，二号球|＋0.1|＝0.1，优等品，三号球|0.2|＝0.2，合格品，四号球|0|＝0，优等品，五号球|－0.08|＝0.08，优等品，六号球|－0.15|＝0.15，合格品．
方法总结：判断质量、零件尺寸等是否合格，关键是看偏差的绝对值的大小，而与正、负数无关．
五、尝试练习，掌握新知
课本P11～12练习第1～5题．
《探究在线•高效课堂》“随堂演练”部分．
六、课堂小结，梳理新知
通过本节课的学习，我们都学到了哪些数学知识和方法？
本节课学习了绝对值的概念，了解了绝对值的非负性，并认识了绝对值的性质，即正数的绝对值是它本身；0的绝对值是0；负数的绝对值是它的相反数．互为相反数的两个数的绝对值相等．
七、深化练习，巩固新知